4.4三角形的高、中线、角平分线应用的常见题型
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解：如图，过点 A 作 BC 边上的高 AE， 交 CB 的延长线于点 E. 因为12BC·AE＝12AC·BD，AC＝8，BC＝4，BD＝3， 所以12×4·AE＝12×8×3，则 AE＝6.
2．已知 AD 是△ABC 的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°.求∠BAC 的度数．
【点拨】本题没有给出图形，应分△ABC的高AD在三角 形的内部和在三角形的外部两种情况讨论．
(2)△ABE 的面积；
解：S△ABE＝12BE·AD＝12×12BC·AD＝12×12×10×4.8＝12(cm2)．
8．如图，已知 AD，AE 分别是△ABC 的高和中线，AB＝6 cm， AC＝8 cm，BC＝10 cm，∠CAB＝90°.试求：
(3)△ACE 和△ABE 周长的差．
解：(AC＋CE＋AE)－(AB＋BE＋AE) ＝AC－AB＝8－6＝2(cm)， 即△ACE 和△ABE 周长的差为 2 cm.
7．如图，在△ABC 中，D，E 分别为 BC，AD 的中点，且 S△ABC ＝40，CM⊥AD 于点 M.
(1)S△ABD＝___2_0____； (2)若 AE＝5，求 CM 的长；
解：由题意知 S△AEC＝12S△ACD＝14S△ABC＝10.因为 S△AEC＝12AE·CM， 所以12×5·CM＝10.所以 CM＝4.
8．如图，已知 AD，AE 分别是△ABC 的高和中线，AB＝6 cm， AC＝8 cm，BC＝10 cm，∠CAB＝90°.试求：
(1)AD 的长； 解：因为 S△ABC＝12AB·AC＝12BC·AD， 所以 AB·AC＝BC·AD， 即 6×8＝10×AD.所以 AD＝4.8 cm.
8．如图，已知 AD，AE 分别是△ABC 的高和中线，AB＝6 cm， AC＝8 cm，BC＝10 cm，∠CAB＝90°.试求：
解：如图①，∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝90°； 如图②，∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝50°.
3．如图，在△ABC 中，BC＝4，AC＝5，若 BC 边上的高 AD＝4. (1)求△ABC 的面积及 AC 边上的高 BE 的长；
解： S△ABC＝12BC·AD＝12×4×4＝8. 因为 S△ABC＝12AC·BE＝12×5×BE＝8， 所以 BE＝156.
解：因为 AE 平分∠BAC，所以∠BAE＝∠CAE. 因为∠1＝∠2＝15°，所以∠BAE＝∠1＋∠2＝15°＋15°＝30°. 所以∠CAE＝∠BAE＝30°，即∠CAE＝∠4＋∠3＝30°. 又因为∠4＝15°，所以∠3＝15°. 所以∠2＝∠3＝15°. 所以 AE 是△DAF 的角平分线．
10．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AE 平分∠BAC，∠ B＝70°，∠C＝30°.
(1)求∠BAE 的度数．
解：因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°， 所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－70°－30°＝80°. 因为 AE 平分∠BAC，所以∠BAE＝12∠BAC＝40°.
3．如图，在△ABC 中，BC＝4，AC＝5，若 BC 边上的高 AD＝4. (2)求 AD∶BE 的值．
解： AD∶BE＝4∶156＝54.4．如图，在△ABC 中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥ AC，垂足分别为点 E，F，G.试说明：DE＋DF＝BG. 解：如图，连接 AD. 因为 S△ABC＝S△ABD＋S△ADC， 所以12AC·BG＝12AB·DE＋12AC·DF. 又因为 AB＝AC， 所以 DE＋DF＝BG.
7．如图，在△ABC 中，D，E 分别为 BC，AD 的中点，且 S△ABC ＝40，CM⊥AD 于点 M.
(3)若 BN⊥AD 交 AD 的延长线于点 N， 解试：说由明题：意B知N＝S△CAMBD.＝S△ACD＝12S△ABC. 因为 S△ABD＝12AD·BN，S△ACD＝12AD·CM， 所以12AD·BN＝12AD·CM. 所以 BN＝CM.
9．(1)如图，在△ABC 中，D，E，F 是边 BC 上的三点，且∠1 ＝∠2＝∠3＝∠4，以 AE 为角平分线 的三角形有_△__A_B__C_，__△__A_D__F__；
(2)如图，若已知 AE 平分∠BAC， 且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3 的度数，并说明 AE 是△DAF 的角平分线．
(3)探究：小明认为，如果条件∠B＝70°，∠C＝30°改成∠B－∠ C＝40°，也能得出∠DAE 的度数，你认为能吗？若能，请你 写出求解过程；若不能，请说明理由．
解：能． 因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°， 所以∠BAC＝180°－∠B－∠C.
因为 AE 平分∠BAC， 所以∠BAE＝12∠BAC＝12(180°-∠B－∠C)＝90°－12(∠B＋∠C)． 因为 AD⊥BC，所以∠ADB＝90°. 所以∠B＋∠BAD＝90°.所以∠BAD＝90°－∠B. 所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－12(∠B＋∠C)－(90°－∠B) ＝12(∠B－∠C)． 因为∠B－∠C＝40°，所以∠DAE＝12×40°＝20°.
6．如图，△ABC 的周长是 21 cm，AB＝AC，中线 BD 分△ABC 为两个三角形，且△ABD 的周长比△BCD 的周长大 6 cm.求 AB，BC 的长．
解：因为 BD 是△ABC 的中线，所以 AD＝CD＝12AC. 因为△ABD 的周长比△BCD 的周长大 6 cm， 所以(AB＋AD＋BD)－(BD＋CD＋BC)＝AB－BC＝6 cm. 所以 AB＝BC＋6 cm.① 因为△ABC 的周长是 21 cm，AB＝AC， 所以 2AB＋BC＝21 cm.② 将①代入②，可得 BC＝3 cm.所以 AB＝9 cm.
10．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AE 平分∠BAC，∠ B＝70°，∠C＝30°.
(2)求∠DAE 的度数．
解：因为 AD⊥BC， 所以∠ADB＝90°. 所以∠B＋∠BAD＝90°. 所以∠BAD＝90°－∠B＝90°－70°＝20°. 又由(1)可知∠BAE＝40°， 所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝40°－20°＝20°.
期末提分练案
第4讲 三角形及其相关概念 第4课时 三角形的高、中线、角平分线
应用的常见题型
提示：点击 进入习题
1 见习题 2 见习题 3 见习题 4 见习题 5 见习题
6 见习题 7 见习题 8 见习题 9 见习题 10 见习题
答案显示
1．如图，在△ABC 中，AC＝8，BC＝4，高 BD＝3，试作出 BC 边上的高 AE，并求 AE 的长．
5．如图，△ABC 的中线 AD，BE，CF 的公共点为点 G，且 AG∶ GD＝2∶1.若 S△ABC＝12，求图中阴影部分的面积．
解：因为 AG∶GD＝2∶1，所以 AG∶AD＝2∶3. 所以 S△ABG＝23S△ABD. 因为 AD，BE，CF 为△ABC 的中线， 所以 S△ABD＝12S△ABC.所以 S△ABG＝23×12S△ABC＝13S△ABC. 所以 S△BGF＝12S△ABG＝16S△ABC＝16×12＝2. 同理可得 S△CGE＝2， 所以图中阴影部分的面积为 4.
2．已知 AD 是△ABC 的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°.求∠BAC 的度数．
【点拨】本题没有给出图形，应分△ABC的高AD在三角 形的内部和在三角形的外部两种情况讨论．
(2)△ABE 的面积；
解：S△ABE＝12BE·AD＝12×12BC·AD＝12×12×10×4.8＝12(cm2)．
8．如图，已知 AD，AE 分别是△ABC 的高和中线，AB＝6 cm， AC＝8 cm，BC＝10 cm，∠CAB＝90°.试求：
(3)△ACE 和△ABE 周长的差．
解：(AC＋CE＋AE)－(AB＋BE＋AE) ＝AC－AB＝8－6＝2(cm)， 即△ACE 和△ABE 周长的差为 2 cm.
7．如图，在△ABC 中，D，E 分别为 BC，AD 的中点，且 S△ABC ＝40，CM⊥AD 于点 M.
(1)S△ABD＝___2_0____； (2)若 AE＝5，求 CM 的长；
解：由题意知 S△AEC＝12S△ACD＝14S△ABC＝10.因为 S△AEC＝12AE·CM， 所以12×5·CM＝10.所以 CM＝4.
8．如图，已知 AD，AE 分别是△ABC 的高和中线，AB＝6 cm， AC＝8 cm，BC＝10 cm，∠CAB＝90°.试求：
(1)AD 的长； 解：因为 S△ABC＝12AB·AC＝12BC·AD， 所以 AB·AC＝BC·AD， 即 6×8＝10×AD.所以 AD＝4.8 cm.
8．如图，已知 AD，AE 分别是△ABC 的高和中线，AB＝6 cm， AC＝8 cm，BC＝10 cm，∠CAB＝90°.试求：
解：如图①，∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝90°； 如图②，∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝50°.
3．如图，在△ABC 中，BC＝4，AC＝5，若 BC 边上的高 AD＝4. (1)求△ABC 的面积及 AC 边上的高 BE 的长；
解： S△ABC＝12BC·AD＝12×4×4＝8. 因为 S△ABC＝12AC·BE＝12×5×BE＝8， 所以 BE＝156.
解：因为 AE 平分∠BAC，所以∠BAE＝∠CAE. 因为∠1＝∠2＝15°，所以∠BAE＝∠1＋∠2＝15°＋15°＝30°. 所以∠CAE＝∠BAE＝30°，即∠CAE＝∠4＋∠3＝30°. 又因为∠4＝15°，所以∠3＝15°. 所以∠2＝∠3＝15°. 所以 AE 是△DAF 的角平分线．
10．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AE 平分∠BAC，∠ B＝70°，∠C＝30°.
(1)求∠BAE 的度数．
解：因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°， 所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－70°－30°＝80°. 因为 AE 平分∠BAC，所以∠BAE＝12∠BAC＝40°.
3．如图，在△ABC 中，BC＝4，AC＝5，若 BC 边上的高 AD＝4. (2)求 AD∶BE 的值．
解： AD∶BE＝4∶156＝54.4．如图，在△ABC 中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥ AC，垂足分别为点 E，F，G.试说明：DE＋DF＝BG. 解：如图，连接 AD. 因为 S△ABC＝S△ABD＋S△ADC， 所以12AC·BG＝12AB·DE＋12AC·DF. 又因为 AB＝AC， 所以 DE＋DF＝BG.
7．如图，在△ABC 中，D，E 分别为 BC，AD 的中点，且 S△ABC ＝40，CM⊥AD 于点 M.
(3)若 BN⊥AD 交 AD 的延长线于点 N， 解试：说由明题：意B知N＝S△CAMBD.＝S△ACD＝12S△ABC. 因为 S△ABD＝12AD·BN，S△ACD＝12AD·CM， 所以12AD·BN＝12AD·CM. 所以 BN＝CM.
9．(1)如图，在△ABC 中，D，E，F 是边 BC 上的三点，且∠1 ＝∠2＝∠3＝∠4，以 AE 为角平分线 的三角形有_△__A_B__C_，__△__A_D__F__；
(2)如图，若已知 AE 平分∠BAC， 且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3 的度数，并说明 AE 是△DAF 的角平分线．
(3)探究：小明认为，如果条件∠B＝70°，∠C＝30°改成∠B－∠ C＝40°，也能得出∠DAE 的度数，你认为能吗？若能，请你 写出求解过程；若不能，请说明理由．
解：能． 因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°， 所以∠BAC＝180°－∠B－∠C.
因为 AE 平分∠BAC， 所以∠BAE＝12∠BAC＝12(180°-∠B－∠C)＝90°－12(∠B＋∠C)． 因为 AD⊥BC，所以∠ADB＝90°. 所以∠B＋∠BAD＝90°.所以∠BAD＝90°－∠B. 所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－12(∠B＋∠C)－(90°－∠B) ＝12(∠B－∠C)． 因为∠B－∠C＝40°，所以∠DAE＝12×40°＝20°.
6．如图，△ABC 的周长是 21 cm，AB＝AC，中线 BD 分△ABC 为两个三角形，且△ABD 的周长比△BCD 的周长大 6 cm.求 AB，BC 的长．
解：因为 BD 是△ABC 的中线，所以 AD＝CD＝12AC. 因为△ABD 的周长比△BCD 的周长大 6 cm， 所以(AB＋AD＋BD)－(BD＋CD＋BC)＝AB－BC＝6 cm. 所以 AB＝BC＋6 cm.① 因为△ABC 的周长是 21 cm，AB＝AC， 所以 2AB＋BC＝21 cm.② 将①代入②，可得 BC＝3 cm.所以 AB＝9 cm.
10．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AE 平分∠BAC，∠ B＝70°，∠C＝30°.
(2)求∠DAE 的度数．
解：因为 AD⊥BC， 所以∠ADB＝90°. 所以∠B＋∠BAD＝90°. 所以∠BAD＝90°－∠B＝90°－70°＝20°. 又由(1)可知∠BAE＝40°， 所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝40°－20°＝20°.
期末提分练案
第4讲 三角形及其相关概念 第4课时 三角形的高、中线、角平分线
应用的常见题型
提示：点击 进入习题
1 见习题 2 见习题 3 见习题 4 见习题 5 见习题
6 见习题 7 见习题 8 见习题 9 见习题 10 见习题
答案显示
1．如图，在△ABC 中，AC＝8，BC＝4，高 BD＝3，试作出 BC 边上的高 AE，并求 AE 的长．
5．如图，△ABC 的中线 AD，BE，CF 的公共点为点 G，且 AG∶ GD＝2∶1.若 S△ABC＝12，求图中阴影部分的面积．
解：因为 AG∶GD＝2∶1，所以 AG∶AD＝2∶3. 所以 S△ABG＝23S△ABD. 因为 AD，BE，CF 为△ABC 的中线， 所以 S△ABD＝12S△ABC.所以 S△ABG＝23×12S△ABC＝13S△ABC. 所以 S△BGF＝12S△ABG＝16S△ABC＝16×12＝2. 同理可得 S△CGE＝2， 所以图中阴影部分的面积为 4.