【步步高】2021届高考数学总温习 第一章 集合与经常使用逻辑用语章末检测 理 北师大版(1)

【步步高】2021届高考数学总温习 第一章 集合与经常使用逻辑用语章末检测 理
北师大版
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)
1．(2020·安徽)假设集合A ＝{x |log 12x ≥12
}，那么∁R A 等于( ) A ．(－∞，0]∪(22，＋∞) B ．(22
，＋∞) C ．(－∞，0]∪[22，＋∞) D ．[22
，＋∞) 答案 A
解析 log 12x ≥12⇔log 12x ≥log 1222
. ⇔0<x ≤2
2.
∴∁R A ＝(－∞，0]∪(22，＋∞)． 2．(2020·广东)“m <14
”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( ) A ．充分非必要条件 B ．充分必要条件
C ．必要非充分条件
D ．非充分必要条件
答案 A
解析 一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解⇔Δ＝1－4m ≥0⇔m ≤14，m <14⇒m ≤14
且m ≤14D /⇒m <14
，应选A. 3．(2020·南平一中期中)已知命题p ：∀x ∈R ，x >sin x ，那么( )
A ．綈p ：∃x ∈R ，x <sin x
B ．綈p ：∀x ∈R ，x ≤sin x
C ．綈p ：∃x ∈R ，x ≤sin x
D ．綈p ：∀x ∈R ，x <sin x
解析对全称命题的否定既要否定量词又要否定结论，
应选C.
4．(2020·华南师大附中期中)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1,2,4,5}，全集U＝A∪B，那么集合∁U(A∩B)中的元素共有( )
A．3个B．4个C．5个D．6个
答案A
解析由题意得A∪B＝{0,1,2,3,4,5}，A∩B＝{1,2,4}，因此∁U(A∩B)＝{0,3,5}．
5．(2020·合肥一中期中)设集合M＝{x|2x2－2x<1}，N＝{x|y＝lg(4－x2)}，那么( )
A．M∪N＝M B．(∁R M)∩N＝R
C．(∁R M)∩N＝∅D．M∩N＝M
答案D
解析依题意，化简得M＝{x|0<x<2}，N＝{x|－2<x<2}，因此M∩N＝M.
6．(2020·西安交大附中月考)以下命题错误的选项是( )
A．命题“假设m≤0，那么方程x2＋x＋m＝0有实数根”的逆否命题为：“假设方程x2＋x＋m＝0无实数根，那么m>0”
B．“x＝2”是“x2－x－2＝0”的充分没必要要条件
C．假设p∧q为假命题，那么p，q中必有一真一假
D．关于命题p：∃x∈R，x2＋x＋1<0，那么綈p：∀x∈R，x2＋x＋1≥0
答案C
解析假设p∧q为假命题，那么p，q中至少有一个为假命题．故C错．
7．(2020·威海模拟)已知命题p：无穷数列{a n}的前n项和为S n，假设{a n}是等差数列，那么点列{(n，S n)}在一条抛物线上；命题q：假设实数m>1，那么mx2＋(2m－2)x－1>0的解集为(－∞，＋∞)．关于命题p的逆否命题s与命题q的逆命题r，以下判定正确的选项是( )
A．s是假命题，r是真命题
B．s是真命题，r是假命题
C．s是假命题，r是假命题
D．s是真命题，r是真命题
解析 关于命题p ，当{a n }为常数数列时为假命题，从而其逆否命题s 也是假命题；由于使mx 2＋(2m －2)x －1>0的解集为(－∞，＋∞)的m 不存在，故命题q 的逆命题r 是假命题．
8．已知命题p ：关于x 的不等式x 4－x 2＋1
x 2>m 的解集为{x |x ≠0，x ∈R }；命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函
数．假设“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，那么实数m 的取值范围是( )
A ．(1,2)
B ．[1,2)
C ．(－∞，1]
D ．(－∞，1)
答案 B
解析 p 真⇔m <x 2＋1x 2－1恒成立⇔m <1. q 真⇔5－2m >1⇔m <2.
∵p 与q 中一真一假，∴1≤m <2.
9．(2020·淮南月考)已知集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，那么M ∩N 等于( )
A ．{(1,1)}
B ．{(1,1)，(－2，－2)}
C ．{(－2，－2)}
D ．∅
答案 C
解析 方式一 M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }
＝{a |a ＝(1＋3λ，2＋4λ)，λ∈R }，
N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }
＝{a |a ＝(－2＋4λ，－2＋5λ)，λ∈R }．
令(1＋3λ1 ,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋3λ1＝－2＋4λ2，2＋4λ1＝－2＋5λ2，解得λ1＝－1，λ2＝0， ∴M ∩N ＝{a |a ＝(－2，－2)}．
方式二 设OA =(1，2)+λ(3，4)，λ∈R ， OB = (－2，－2)+λ(4，5)，λ∈R ，
∴点A 的轨迹方程为y －2＝43
(x －1)， 点B 的轨迹方程为y ＋2＝54
(x ＋2)， 由①②联立解得x ＝－2，y ＝－2，
∴M ∩N ＝{(－2，－2)}．
10．设f (x )是R 上的减函数，且f (0)＝3，f (3)＝－1，设P ＝{x ||f (x ＋t )－1|<2}，
Q ＝{x |f (x )<－1}，假设“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分没必要要条件，那么实数t 的取值范围是( )
A ．t ≤0
B ．t ≥0
C ．t ≤－3
D ．t ≥－3
答案 C
解析 P ＝{x ||f (x ＋t )－1|<2}＝{x |－1<f (x ＋t )<3}＝{x |f (3)<f (x ＋t )<f (0)}＝{x |0<x ＋t <3}＝{x |－t <x <3－t }，
Q ＝{x |x >3}，又由已知得P
Q ， ∴－t ≥3，∴t ≤－3.
11．(2020·昆明模拟)假设集合
A ＝{x |x 2－9x <0，x ∈N *}，
B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫y |4y ∈N *，y ∈N *，那么A ∩B 中元素的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
答案 D
解析 A ＝{x |0<x <9，x ∈N *}＝{1,2，…，8}， B ＝{1,2,4}，∴A ∩B ＝B .
12．(2020·吉林实验中学高三月考)已知f (x )＝(12
)x ，命题p ：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≤1，那么( ) A ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈[0，＋∞)，f (x 0)>1
B ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥1
C ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈[0，＋∞)，f (x 0)>1
D ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥1
答案 C
解析 ∵f (x )＝(12
)x 是R 上的减函数， ∴当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤f (0)＝1.
∴p 为真命题，全称命题p 的綈p 为：∃x 0∈[0，＋∞)，
f (x 0)>1.
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)
13．(2020·济南一中期中)“lg x >lg y ”是“10x >10y ”的________条件．
答案 充分没必要要
解析 考虑对数的真数需大于零即可．
14．命题“∃x <0，有x 2>0”的否定是______________．
答案 ∀x <0，有x 2≤0
解析 “存在”即“∃”的否定词是“任意”即“∀”，而对“>”的否定是“≤”．
15．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：5x －6>x 2，那么非p 是非q 的________条件． 答案 充分没必要要
解析 ∵p ：x <－3或x >1，
∴綈p ：－3≤x ≤1.
∵q ：2<x <3，
∴綈q ：x ≤2或x ≥3，那么綈p ⇒綈q .
16．(2020·江苏苏北三市高三联考)假设命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，那么实数a 的取值范围为______．
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析 要使命题为真命题，只需Δ＝(a －1)2－4>0，
即|a －1|>2，
∴a >3或a <－1.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知A ＝{a ＋2,2a 2＋a }，假设3∈A ，求a 的值．
解 假设a ＋2＝3，得a ＝1.
∴a ＝1时不符合题意．(4分)
若2a 2＋a ＝3，
解得a ＝1或a ＝－32.(6分) 由上面知a ＝1不符合题意，
a ＝－32 时，A ＝{12
，3}，(8分) 综上，符合题意的a 的值为－32
.(10分) 18．(12分)(2020·铁岭月考)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，是不是存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，假设存在，求出m 的范围．
解 P ＝{x |x 2－8x －20≤0}＝{x |－2≤x ≤10}，
S ＝{x |1－m ≤x ≤m ＋1}．
假设存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，那么必有P ＝S .(6分)
因此⎩
⎪⎨⎪⎧
－2＝1－m ，10＝m ＋1，此方程组无解．(10分) 因此不存在实数m 使条件成立．(12分)
19．(12分)(2020·温州模拟)设命题p ：(4x －3)2≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，假设綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
解 设A ＝{x |(4x －3)2≤1}， B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}，
易知A ＝{x |12
≤x ≤1}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． (6分)
由綈p 是綈q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分没必要要条件，即A B ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1≥1.(10分)
故所求实数a 的取值范围是[0，12
]．(12分) 20．(12分)已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ： 不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．假设p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围． 解 由命题p ，得a >1，关于命题q ，
因x ∈R ，ax 2－ax ＋1>0恒成立，
又因a >0，因此Δ＝a 2－4a <0，
即0<a <4.由题意知p 与q 一真一假，(6分)
当p 真q 假时 ，⎩
⎪⎨⎪⎧
a >1，a ≤0或a ≥4. 因此a ≥4.(8分) 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤1，0<a <4，
即0<a ≤1.(10分) 综上可知，a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．
(12分)
21．(12分)(2020·温州模拟)已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数；命题q ：
当x ∈[12，2]时，函数f (x )＝x ＋1x >1c
恒成立，若是p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题， 求c 的取值范围．
解 ∵函数y ＝c x 为减函数，
∴0<c <1，即p 真时，0<c <1.(2分)
函数f (x )＝x ＋1x >1c 对∈[12，2]恒成立， f (x )min ＝2x ·1x
＝2， 当x ＝1x ，即x ＝1∈[12，2]时，有1c <2，得c >12，即q 真时，c >12
.(5分)
①p 真q 假时，0<c ≤12
；(9分) ②p 假q 真时，c ≥1.(11分)
故c 的取值范围为0<c ≤12
或c ≥1.(12分) 22．(14分)(2020·沈阳模拟)已知三个集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x |x 2－bx ＋2＝0}，问同时知足B
A ，A ∪C ＝A 的实数a 、b 是不是存在？假设存在，求出a 、b ；假设不存在，请说明
理由．
解 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{2,1}， B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}
＝{x |(x －1)[x －(a －1)]＝0}，
又∵B A ，∴a －1＝1，∴a ＝2.(4分)
∵A ∪C ＝A ，∴C ⊆A ，那么C 中元素有以下三种情形： ①若C ＝∅，即方程x 2－bx ＋2＝0无实根，
∴Δ＝b 2－8<0，∴－22<b <22，(7分)
②若C ＝{1}或{2}，即方程x 2－bx ＋2＝0有两个相等的实根， ∴Δ＝b 2－8＝0，∴b ＝±22，现在C ＝{2}或{－2}不符合题意，舍去．(9分) ③若C ＝{1,2}，那么b ＝1＋2＝3，而两根之积恰好为2.(11分) 综上所述，a ＝2，b ＝3或－22<b <2 2.(12分)。