(复习指导)第三章第三讲 第二课时 三角函数式的化简与求值含答案

第二课时 三角函数式的化简与求值
考点突破·互动探究
考点一 三角函数式的化简——师生共研
例1 化简下列各式：
(1)sin (α＋β)－2sin αcos β
2sin αsin β＋cos (α＋β)； (2)11－tan θ－11＋tan θ； (3)tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α.
[解析] (1)原式 ＝sin α·cos β＋cos α·sin β－2sin α·cos β
2sin α·sin β＋cos α·cos β－sin α·sin β
＝－(sin α·cos β－cos α·sin β)
cos α·cos β＋sin α·sin β
＝
－sin (α－β)
cos (α－β)
＝－tan(α－β)．
(2)原式＝(1＋tan θ)－(1－tan θ)
1－tan 2θ
＝
2tan θ
1－tan 2θ
＝tan 2θ.
(3)原式＝
sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·
cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭
⎫π4＋α ＝
cos 2α
2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭
⎫π4＋α
＝
cos 2αsin ⎝⎛⎭
⎫π2＋2α＝cos 2α
cos 2α＝1.
名师点拨
(1)此类化简题，对公式既要会正用，又要会逆用，甚至变形应用． (2)应用公式时特别注意角不要化错，函数名称、符号一定要把握准确． (3)对a sin x ＋b cos x 化简时，辅助角φ的值如何求要清楚． 〔变式训练1〕
(1)化简sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－3cos ⎝⎛⎭
⎫2π
3－x ＝ 0 . (2)(2020·开封模拟)化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝ 1
2
.
[解析] (1)解法一：原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos
2π
3cos x －3sin
2π3sin x ＝⎝⎛⎭⎫cos π3＋2cos π3－3sin 2π3sin x ＋⎝⎛ sin π3－2sin π
3
－3cos
⎭⎫2π3cos x ＝⎝⎛⎭⎫12＋1－3×32sin x ＋⎝⎛⎭⎫32
－3＋3×12cos x ＝0.
解法二：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π
3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋2sin ⎝⎛⎭
⎫x －π
3＝0. (2)解法一：(从“角”入手，化复角为单角)
原式＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－1
2(2cos 2α－1)(2cos 2β－1)
＝sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β－1
2
＝sin 2αsin 2β＋cos 2αsin 2β＋cos 2β－1
2
＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝1
2
.
解法二：(从“名”入手，化异名为同名) 原式＝sin 2αsin 2β＋(1－sin 2α)cos 2β－1
2cos 2αcos 2β
＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－1
2cos 2αcos 2β
＝cos 2β－sin 2αcos 2β－1
2cos 2αcos 2β
＝cos 2β－cos 2β(sin 2α＋1
2cos 2α)
＝
1＋cos 2β2－12cos 2β＝1
2
. 解法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)
原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12
cos 2α·cos 2β
＝14(1＋cos 2αcos 2β－cos 2α－cos 2β＋1＋cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－1
2cos 2αcos 2β＝14＋14＝12
. 解法四：从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方
原式＝(sin α·sin β－cos α·cos β)2＋2sin α·sin β·cos α·cos β－1
2
cos 2α·cos 2β
＝cos 2(α＋β)＋12sin 2α·sin 2β－1
2cos 2α·cos 2β
＝cos 2(α＋β)－1
2·cos(2α＋2β)
＝cos 2(α＋β)－12·[2cos 2(α＋β)－1]＝1
2.
考点二 求值问题——多维探究 角度1 给角求值
例2 求下列各式的值．
(1)sin 7°＋cos 15°sin 8°
cos 7°－sin 15°sin 8°； (2)3tan 12°－3sin 12°(4cos 212°－2)
. [解析] (1)原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°
＝
sin 15°cos 8°
cos 15°cos 8°
＝tan 15°＝tan(45°－30°)
＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－
3
31＋
33
＝3－1
3＋1
＝2－ 3. (2)3tan 12°－3sin 12°(4cos 212°－2)＝3(sin 12°－3cos 12°)2cos 24°
sin 12°cos12°＝23sin (12°－60°)
12
sin 48°＝－4 3.
名师点拨
给角求值问题的解题思路
给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意： (1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分； (2)观察名，尽可能使函数统一名称； (3)观察结构，利用公式，整体化简． 角度2 给值求值
例3 已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝ 4－3310
. [解析] 由题意可得cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π
22＝110，cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45，即sin 2θ＝4
5
.
因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝⎛⎭
⎫0，π2，
所以0<θ<π
4
，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝3
5，
由两角差的正弦公式，可得 sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3 ＝45×12－35×32＝4－3310
.
名师点拨
给值求值问题的解题关键
给值求值问题的解题关键在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围的讨论．如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫
π4
－α等． 角度3 给值求角 例4 已知A ，B 均为钝角，sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510，且sin B ＝1010
，则A ＋B ＝( C )
A.3π
4 B ．5π4
C ．7π4
D ．7π6
[解析] 由题意知12(1－cos A )＋12cos A －32sin A ＝12－1510，得sin A ＝55，sin B ＝10
10.
A ，
B 均为钝角，π<A ＋B <2π，cos A ＝－255，cos B ＝－310
10，cos(A ＋B )＝cos A cos B －
sin A sin B ＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫
－31010－55
×1010＝22>0，
那么，3π2<A ＋B <2π，所以A ＋B ＝7π
4
，故选C.
名师点拨
(1)已知三角函数值求角的解题步骤：①求出角的某一三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围确定角．
(2)给值求角的原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π
2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭
⎫－π2，π
2，选正弦较好． 〔变式训练2〕
(1)(角度1)3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝( D ) A.12 B ．
22
C ．1
D ． 2
(2)(角度2)(2021·黑龙江哈师大附中模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( C )
A.1
8 B ．－18
C ．78
D ．－78
(3)(角度3)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010
，α，β均为锐角，则角β等于( C ) A.5π12 B ．π
3
C ．π4
D ．π6
[解析] (1)3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝2，故选D.
(2)由题意可得2(cos 2α－sin 2α)＝cos π4cos α＋sin π
4sin α，即2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝
22(cos α＋sin α)．由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，可得cos α＋sin α≠0，所以cos α－sin α＝2
4，等式两边平方，可得1－sin 2α＝18，所以sin 2α＝7
8
，故选C.
(3)∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π
2，
∴cos α＝1－sin 2α＝
25
5
， cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝310
10
∴sin β＝sin [α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝
55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22
， ∴β＝π
4
，故选C.
名师讲坛·素养提升 三角形中的恒等变换问题
在三角形中，常用的角的变形结论有：A ＋B ＝π－C ；2A ＋2B ＋2C ＝2π；A 2＋B 2＋C 2＝π
2.
三角函数的结论有：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，tan(A ＋B )＝－tan C ，sin A ＋B 2
＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2
.
A >
B ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B ．
例5 (1)设A ，B 是△ABC 的内角，且cos A ＝35，sin B ＝5
13
，则sin C ＝( D )
A.6365或－1665 B ．16
65
C ．1665或－6365
D ．6365
(2)(2021·河北唐山一中质检)在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是( D )
A ．等边三角形
B ．不含60°的等腰三角形
C ．钝角三角形
D ．直角三角形
[分析] (1)由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B 知求sin A 、cos B 即可． (2)利用cos(B ＋C )＝－cos A ，sin(A ＋C )＝sin B 及两角差的正弦公式求解． [解析] (1)∵cos A ＝3
5，0<A <π，∴A 为锐角，
且sin A ＝1－cos 2A ＝45.又sin B ＝5
13<sin A ，∴B <A ，
∴B 为锐角且cos B ＝1－sin 2B ＝
12
13
. ∴sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝63
65.故选D.
(2)∵sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )·sin(A ＋C )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝1－2cos A sin B ， ∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝1，即sin(A ＋B )＝1， ∴sin C ＝1，又0<C <π，∴C ＝π2，
∴△ABC 为直角三角形，故选D.
[误区警示] 本题(1)极易求得两解，问题出在∠B 上，因为由sin B ＝5
13，可得两个B 值，
考虑A 的因素，只有一个适合，因此sin C 只有一个结果．
名师点拨
利用三角函数解决三角形问题要注意一些隐含条件，再根据所给的三角函数值确定角的范围，然后再进行求值．本题应用三角形中大角对大边，也可知A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，知B 为锐角．
〔变式训练3〕
(1)在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，则C ＝( D ) A.π6 B ．π4
C ．π3
D ．7π12
(2)(2020·宁夏平罗中学期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin A ＝2sin B cos C ，则△ABC 一定是( A )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
[解析] 由已知得⎩⎨⎧
－sin A ＝－2sin B ①，3cos A ＝2cos B ②，
①2＋②2，得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±2
2.
当cos A ＝
22时，cos B ＝3
2
，又A ，B 是三角形的内角， 所以A ＝π4，B ＝π6，所以C ＝π－(A ＋B )＝7π
12.
当cos A ＝－
22时，cos B ＝－3
2
，又A ，B 是三角形的内角， 所以A ＝34π，B ＝5
6π不符题意，舍去．
综上可得C ＝7π
12
，故选D.
(2)由题意知sin(B ＋C )＝2sin B cos C ， 整理化简得sin B cos C －cos B sin C ＝0 即sin(B －C )＝0，又－π<B －C <π， ∴B －C ＝0，即B ＝C ，故选A.。