沪科版九年级(上册)数学知识点整理

第 21章 二次函数与反比例函数

【知识点 1 函数 y=ax 2+bx+c 的解析式】

1. 形如2

y ax bx c =++（a ≠0）的函数叫做x 的二次函数；

2. 形如(0)k

y k x

=

≠的函数叫做x 的反比例函数； 典例 1 在下列函数表达式中，表示y 是 x 的二次函数关系的有 。

①213y x =-；②(5)y x x =-；③21

3y x =；④3(1)(2)y x x =+-；⑤4221y x x =++；

⑥22(1)y x x =--；⑦2y ax bx c =++

典例2 在下列函数表达式中，表示y 是 x 的反比例函数关系的有 。

①32y x =-；②k y x =-；③31y x -=+；④12y x =-；⑤21

y x =；⑥12y x -=-

；⑦xy =典例 3 若函数

22

(2)a y a x

-=-是反比例函数，则a= ,若是二次函数，则a= 。

典例 4 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如表：则下列判断中正确C.当x=4时，y ＞0 D.方程ax 2+bx+c=0的正根在2与3之间

典例 5 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点 A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点M （-2，y 1），N （﹣1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数y=ax 2+bx+c 的图象上，则下列结论正确的是（ ）

A.y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 1＜y 3

C ．y 3＜y 1＜y 2

D ．y 1＜y 3＜y 2

【知识点 3 二次函数解析式的确定】

1.待定系数法：

一般式：y=ax 2+bx+c(a ≠0) (条件：任意 点坐标)

顶点式：2y ()(0)a x h k a =++≠（条件： 坐标+任意 点坐标）

交点式：12()()y a x x x x =-- （条件：与 轴两交点坐标及任意 点坐标） 2.平移规律：左加右减，上加下减

典例 6 抛物线y ＝ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （－3，0），对称轴为x ＝－1，顶点C 到x 轴的距离为 2，则此抛物线表达式为 。

典例7 抛物线在x 轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），则这个函数的关系式为 。

典例 8 抛物线y=x 2+bx +c 向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的表达式为y=x 2-2x-3，则b= ，c= 。

典例 9 若抛物线y=x 2+2bx+4 的顶点在坐标轴上，则抛物线的解析式为 。

【知识点 4 二次函数系数与图象】 考查角度 1：判断a 、b 、c 与0比较大小， 决定了开口方向， 和 共同决定了对称轴的位置（左同右异）， 决定了抛物线与y 轴交点；（填a 、b 、c ） 考查角度 2：判断 b 2-4ac ，b 2-4ac>0（图象与坐标轴有 个交点），b 2-4ac=0(图象与坐标轴有 个交点), b 2-4ac<0(图象与坐标轴 交点)。 考查角度 3：判断2a+b 与0比较大小，用对称轴x=与1比较大小即可（解不等式过程中注意a 的符号），判断2a-b 与0比较大小，用对称轴x=与-1比较大小即可。 考查角度 4：（1）判断a+b+c 与0比较，可将x=1代入抛物线解析式，观察此时图象函数值在x 轴上方还是下方判断即可；判断a-b+c 与0比较，可将x=-1代入抛物线解析式，观察此时图象函数值在x 轴上方还是下方判断即可；

（2）判断42a b c ±+与0比较大小，可将x= 代入抛物线解析式，观察此时图象函数值在x 轴上方还是下方判断即可；

（3）判断93a b c ±+与0比较大小，可将x= 代入抛物线解析式，观察此时图象函数值在x 轴上方还是下方判断即可；之后判断同理……

典例 10： 如图，是抛物线y ＝ax 2+bx+c (a ≠0) 的部分图象，则下列结论： ① abc>0 ；② 2a+b=0 ；③ b 2-4ac>0；④ a+b+c>0 ；⑤ 9a-3b+c>0 ；⑥ 3a+c>0；⑦ 2c<3b 其中正确的结论有 。

典例11 如图，是抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，其顶点的纵坐标为m，则下列结论：

①a－b＋c>0；②4a＋c>2b；③2a-b<0；④b2＝4a(c－m)；⑤一元二次方程ax2＋bx＋c＝m －1有两个不相等的实数根．其中正确结论有。

典例12如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点在（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：

①abc＞ 0 ；② b2-4ac＞ 0；③ 2a=b；④ a+b+c＞0 ；⑤ 3b+2c＜ 0；

⑥ t（at+b）≤a-b（ t 为任意实数）。其中正确结论有。

【知识点 5 二次函数与一元二次方程】

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标，因此一元二次方程中的△=b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点：

（1）当△>0时，图像与x轴有个交点；

（2）当△=0时，图像与x轴有个交点；

（3）当△=b2-4ac <0时，图像与x轴交点。

典例 13二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，求：

(1)函数解析式 _________________ ；

(2)当 x______时， y 随 x 增大而减小；

(3)由图象回答：

当y＞ 0 时， x 的取值围 ______；

当y＝ 0 时， x＝ ______；

当y＜ 0 时， x 的取值围 ______；

(4) 方程 ax2＋bx＋c=－3 的解为： ______．