沪科版九年级(上册)数学知识点整理

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初三上册数学知识点归纳沪科版

初三上册数学知识点归纳沪科版
一、数的概念：
1.数的分类，定义：
（1）自然数（n）：1、2、3、4、5、6……
（2）整数：正整数、负整数和零
（3）有理数：带有有理分数、无理分数等
（4）实数：有理数、无理数和根号数
2.基本运算
（1）加法：相加运算、逆序加法运算、分配律、根号和
（2）减法：相减法、借位减法、去除法
（3）乘法：口算、相乘法、从大到小乘法、乘方法、乘方展开法（4）除法：口算、×0.1、0.01、0.001等变形法、倒数法、约简法、公约数法
二、代数：
1.代数的概念：广义的代数是研究非数的的结构的数学，特指求解一元二次方程时用到的代数学知识
2.一元二次方程：
（1）正定解：一元二次方程ax²+bx+c=0有一对相等的实数根
（2）无解：一元二次方程ax²+bx+c=0，当a=0、b=0、c≠0时有无解
（3）重根：一元二次方程ax²+bx+c=0，当a≠0、b²-4ac=0时有重根
三、平面几何：
1.平面几何图形：
（1）直线：由若干点组成的一条没有曲线的折线段。

（2）圆：由一个点为中心，其余所有点与它的距离都相等的图形。

（3）三角形：由三条直线汇合而成的图形，其内角之和为180度。

（4）多边形：由若干条直线段汇合而成的图形，其内角和等于360度
2.相关知识：
（1）全等三角形
（2）三角形的边、角关系
（3）三角形的有关公式：三角形的面积公式、内角和公式、外角和公式等
（4）四边形的角关系
（5）多边形的内角和公式
（6）等腰三角形、等边三角形、等边六边形等。

沪科版初三数学知识点总结

伊顿教育初三数学知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)2二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（）3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

沪科版九年级上册数学期末复习知识点考点总结汇编

沪科版九年级上册数学期末复习知识点考点总结汇编二次函数记忆导图()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠++=形、平行四边形等直角三角形、等腰三角几何图形存在性几何图形面积最值线段和（或周长）最值线段最值二次函数的综合应用利润面积用二次函数在实际中的应二次函数的应用程及不等式的联系二次函数与一元二次方交点式一般式顶点式待定系数法数学规律及关系二次函数解析式的确定对称平移图象的变换规律与图象的关系二次函数一般式中系数轴的交点与轴的交点与顶点二次函数中的特殊点最值增减性顶点坐标对称轴开口方向形状：抛物线图象与性质二次函数的图象与性质一般形式：定义二次函数的定义二次函数c b a x y a c bx ax y ,,02考点1 二次函数的概念1.二次函数的概念一般地，形如c bx ax y ++=2()0,,,,≠a c b a 为常数的函数，叫做二次函数。

2.二次函数一般式()02≠++=a c bx ax y 的结构特征：①等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次多项式，x 的最高次数是2。

②a 、b 、c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

考点2 二次函数的图象与性质1.二次函数几种形式的图象与性质：①基本形式：2axy=的图象与性质a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

图象自己手动画②c=2的图象与性质y+ax上加下减。

图象自己手动画③()2h x a y -=的图象与性质左加右减。

图象自己手动画④顶点式：()k h x a y +-=2的图象与性质⑤一般式：c bx ax y ++=2的图象与性质通过配方法将“一般式”转化为“顶点式”。

a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=⑥交点式：()()21x x x x a y --=的图象与性质()0,1x ，()0,2x 为二次函数与x 轴的交点。

初三上册数学知识点归纳沪科版

初三上册数学知识点归纳沪科版
一、整数与分数
1.整数的概念、绝对值、相反数和加减法
2.带分数的加减法、乘法和除法
3.分数的概念、化简、加减法和乘除法
4.数轴及其上的整数和分数的表示
二、代数初步
1.代数的基本概念、字母的运算和表示
2.算式计算、正负数的混合运算
3.代数式的概念、含有一个未知数的代数式的计算
4.二元一次方程的概念、解的概念和解线性方程
三、图形初步
1.基本图形的概念，包括点、线段、直线、射线和角
2.平面图形的概念，包括三角形、四边形、多边形和圆
3.平移、旋转和对称的概念
4.直线与平面的关系、直线的倾斜度和对应的斜率
四、数表与数图
1.表格的制作和表示
2.折线图和直方图的制作和表示
3.用折线图和直方图进行数据的分析和比较
五、比例与百分数
1.比例的概念和性质
2.比例中的四则运算
3.百分数的概念和计算方法
4.分数与百分数之间的转换
六、三角形的性质
1.三角形中角的性质
2.三角形中边的性质
3.三角形的合同和相似
4.三角形的面积和周长的计算
七、图形的变换
1.平移的概念和性质
2.旋转的概念和性质
3.对称的概念和性质
4.缩放的概念和性质
以上是初三上册数学知识点的归纳，涵盖了整数与分数、代数初步、图形初步、数表与数图、比例与百分数、三角形的性质和图形的变换等内容。

掌握了这些知识点，学生将会对初中数学的基本概念和基本运算有一个全面的了解，为进一步学习数学打下坚实的基础。

九年级沪科版数学知识点归纳

九年级沪科版数学知识点归纳1、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离九年级沪科版数学知识点归纳，|a|≥0。

零的绝对值时它本身九年级沪科版数学知识点归纳，也可看成它的相反数九年级沪科版数学知识点归纳，若|a|=a九年级沪科版数学知识点归纳，则a≥0九年级沪科版数学知识点归纳；若|a|=-a，则a≤0。

2.(5)定理:不在同一直线上的三点确定一个圆。

(6)圆的切线上的一点与切点之间的线段长度，称为该点到圆的切线长度；切线长度定理:圆的两条切线可以从圆外的一点画出，它们的切线长度相等。

该点和圆心之间的连线平分两条切线之间的夹角。

3.数学的基本概念、定义和公式，数学知识点之间的内在联系，解决数学问题的基本思想和方法是复习的重中之重。

初三数学上册知识点总结归纳绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。

等腰三角形的定义:两条边相等的三角形是等腰三角形。

(5)定理:不在同一直线上的三点确定一个圆。

(6)圆的切线上的一点与切点之间的线段长度，称为该点到圆的切线长度；切线长度定理:圆的两条切线可以从圆外的一点画出，它们的切线长度相等。

该点和圆心之间的连线平分两条切线之间的夹角。

九年级沪科版数学复习清单?越详细越好。

九年级上海理科版数学知识点初步认识:数轴的定义、性质、绝对值及应用。

图形的概念:平行四边形、正方形、圆形、三角形、矩形、梯形、圆柱、圆锥、球面的定义和性质。

并且数学复习应在数学知识的运用过程中进行九年级沪科版数学知识点归纳，通过运用九年级沪科版数学知识点归纳，达到深化理解、发展能力的目的，因此在新的一年要在教师的指导下做一定数量的数学习题，做到举一反熟练应用，避免以“练”代“复”的题海战术。

初中数学的两个分支枣-代数和几何，代数是研究“数”的，几何是研究“形”的。

沪教版九年级上册数学知识点【四篇】等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合(“三线合一”)等腰三角形的两底角的平分线相等。

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初三数学知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

沪科版初三数学知识点总结

初三数学知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查2-32y=-2x 22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

沪科版九年级上册数学知识点总结

十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是 2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴交点的纵坐标是－32（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例1 （1）二次函数2y ax bx c =++的图像如图1，则点),(ac b M 在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图2所示，•则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个(1) (2)【点评】弄清抛物线的位置与系数a ，b ，c 之间的关系，是解决问题的关键．例2.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点(-2，O)、(x 1，0)，且1<x 1<2，与y 轴的正半轴的交点在点(O ，2)的下方．下列结论：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a -b+1>O ，其中正确结论的个数为( )A 1个 B. 2个 C. 3个 D ．4个答案：D会用待定系数法求二次函数解析式例3.已知：关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( )A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D ．(3，2) 答案：C例4、如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合．设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y m 2．（1）写出y 与x 的关系式；（2）当x=2，3.5时，y 分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例5、已知抛物线y=12x 2+x-52．（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长．【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．例6、 “已知函数c bx x y ++=221的图象经过点A （c ，－2），求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。

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第21章二次函数与反比例函数21.1 二次函数【知识与技能】认识二次函数，知道二次函数自变量的取值范围，并能熟练地列出二次函数关系式．【过程与方法】通过对实际问题的探索，熟练地掌握列二次函数关系式和求自变量的取值范围.【情感态度】培养学生探索新知的能力，鼓励学生通过观察、猜想、验证，主动地获取知识.【教学重点】能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围.【教学难点】熟练地列出二次函数关系式.一、情景导入，初步认知1.什么叫函数？它有几种表示方法？2.什么叫一次函数？(y=kx+b)自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k≠0的条件？k值对函数性质有什么影响？【教学说明】复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解.强调k≠0的条件，以便与二次函数中的a进行比较.二、思考探究，获取新知1.函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数.看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系.问题1 某水产养殖户用长40米的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗，要使围成的水面的面积最大，则它的边长应是多少米？设：围成的矩形的一边长为x米，那么，矩形水面的另一边长为（20-x)米，若面积是Sm2,则有：S=x(20-x)问题2 有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人每天可装配玩具190个，如果增加人数，那么每增加1人，可使每人每天少装配玩具10个，问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多？玩具总数最多是多少？设：增加x人，这时，共有（15+x)人，每人每天可少装配10x个玩具，因此，每人每天只装配（190-10x)个，所以，增加人数后，每天装配玩具总数y可表示为：y=（190-10x)（15+x)在问题1中函数的表达式可化简为：S=-x2+20x在问题2中函数的表达式可化简为：y=-10x2+40x+28502.教师引导学生观察问题1.问题1中的函数关系式，提出以下问题让学生思考回答；（1）这两个函数关系式的自变量各有几个?（2）多项式-2x2＋20x和-10x2＋40x＋2850分别是几次多项式?（3）这两个函数关系式有什么共同特点?（4）你能结合一次函数的概念，给这种函数下个概念吗？【归纳结论】表达式形如y=ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数，其中x是自变量.a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c 叫做常数项.3.想一想，在二次函数中自变量的取值范围有什么要求呢？说出问题1、问题2中自变量的取值范围.【归纳结论】二次函数自变量的取值范围一般都是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中，自变量x的取值范围为0＜x＜20.【教学说明】学生通过实际问题的分析，列出关系式，并观察、利用类比的思想总结出二次函数的概念.三、运用新知，深化理解1.下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( A )【分析】紧抓二次函数的概念.2.m 取哪些值时，函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)是以x 为自变量的二次函数？【分析】若函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)是二次函数，须满足的条件是：m 2-m≠0. 解：若函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)是二次函数，则m 2-m≠0.解得m≠0且m≠1.因此，当m≠0且m≠1时，函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)是二次函数.3.（1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；【分析】（1）根据正方体表面积公式可得.（2）面积与半径有关，所以根据周长表示出半径就可求出面积.解：（1）S=6a 2(a ＞0).（2）y=42x (x ＞0). 4.正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子.(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积.解：（1）S 2=152-4x 2=225-4x 2(0＜x ＜215)；（2）当x=3cm 时，S=225-4×32=189（cm2）.5.已知二次函数y=x 2+px+q,当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5.求这个二次函数的解析式.解：把x=1，y=4；x=2,y=-5分别代入y=x 2+px+q ，得方程组所以这个二次函数的表达式为y=x2-12x+15【教学说明】理论学习完二次函数的概念后，让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践操作中.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.布置作业:教材“习题21.1”中第1、2、5题.本节课通过简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数.通过复习类比，大部分同学对于二次函数的理解都比较好，会找自变量，会列简单的函数关系式，总体效果良好！*3.二次函数表达式的确定【知识与技能】经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识.【过程与方法】会用待定系数法求二次函数的表达式.【情感态度】逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.【教学重点】求二次函数的解析式.【教学难点】求二次函数的解析式.一、情景导入，初步认知问题1：如何求一次函数的解析式？至少需要几个点的坐标？问题2：你能求二次函数的解析式吗？如果要求二次函数的解析式需要几个点的坐标？【教学说明】通过类比的思想猜想求二次函数的解析式需要坐标点的个数.二、思考探究，获取新知问题：1.已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2），求函数的解析式.【分析】可设函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，根据二次函数的图象经过三个已知点，可得出一个关于a,b,c的三元一次方程组，从而可以求出a,b,c的值。

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沪科版初三数学知识点总结

初三数学知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2.2y ax c =+的性质：上加下减。

3.()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a b c，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2y ax bx c=---；=++关于x轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c()2=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2y a x h ky a x h k=---；2. 关于y轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k=-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a++≠本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：y=-2x2y=3(x+4)22y=3x2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（）0 x o-1 x 0 x 0 -1 xA B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

沪科版九年级数学上册知识点总结

沪科版九年级数学上册知识点总结二次函数基本知识一．二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．二．二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.4. 一次项系数bab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 5. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．相似三角形基本知识一．比例性质1.基本性质: bcad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积）2.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） 3.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ．二．黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBC AB AC =，即AC 2=AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。

数学九年级上册沪科知识点

数学九年级上册沪科知识点数学九年级上册沪科知识点包括了数学九年级上册的重要概念和内容，下面将一一进行介绍。

一、有理数1. 有理数的定义：有理数包括整数和分数，可以表示为整数和真分数的有理数统称为混合数。

2. 有理数的大小关系：两个有理数比较大小时，可以将其转化为相同分母进行比较。

3. 有理数的加法和减法：有理数加法和减法满足交换律、结合律和分配律。

4. 有理数的乘法和除法：有理数乘法和除法满足交换律、结合律和分配律。

二、平方根和立方根1. 平方根和立方根的定义：平方根是指一个数的平方等于该数的非负根，立方根是指一个数的立方等于该数的根。

2. 平方根的性质：平方根具有非负性和唯一性。

3. 立方根的性质：立方根具有正负性和唯一性。

4. 平方根和立方根的运算：可以进行平方根和立方根的运算，如开方、化简等。

三、比例与比例运算1. 比例的定义：比例是指两个比较相等的数之间的关系。

2. 比例的性质：比例具有可比性、对称性、传递性等性质。

3. 比例的四种关系：等比例、反比例、正比例和反比例。

4. 比例的应用：比例在实际生活中的应用广泛，如比例尺、相似图形等。

四、全等与相似1. 全等的定义：全等是指两个图形的形状和大小完全相同。

2. 全等的判定条件：全等的判定条件包括SSS、SAS、ASA、HL等条件。

3. 相似的定义：相似是指两个图形的形状相同，但大小不同。

4. 相似的判定条件：相似的判定条件包括AAA、AA、SAS、等角比例等条件。

5. 全等与相似的应用：全等与相似在几何问题中的应用广泛，如证明几何定理、计算图形面积等。

五、平行四边形1. 平行四边形的定义：平行四边形是指具有两边平行的四边形。

2. 平行四边形的性质：平行四边形具有相对边相等、对角线互相平分等性质。

3. 平行四边形的判定条件：平行四边形的判定条件包括两组对边平行、两组对角相等等条件。

4. 平行四边形的应用：平行四边形在几何问题中的应用广泛，如计算图形面积、计算边长等。

沪科版九年级上册数学期末复习知识点考点总结汇编

2.二次函数一般式()02≠++=a c bx ax y 的结构特征：①等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次多项式，x 的最高次数是2。

②a 、b 、c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

考点2 二次函数的图象与性质1.二次函数几种形式的图象与性质：①基本形式：2axy=的图象与性质a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

图象自己手动画②c=2的图象与性质y+ax上加下减。

图象自己手动画③()2h x a y -=的图象与性质左加右减。

图象自己手动画④顶点式：()k h x a y +-=2的图象与性质⑤一般式：c bx ax y ++=2的图象与性质通过配方法将“一般式”转化为“顶点式”。

a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=⑥交点式：()()21x x x x a y --=的图象与性质()0,1x ，()0,2x 为二次函数与x 轴的交点。

沪科版九年级数学上册知识点总结

沪科版九年级数学上册知识点总结二次函数基本知识.二次函数y ax 2 bx c 的性质有最大值畔.二次函数解析式的表示方法1.0时，抛物线开口向上，对称轴为—，顶点坐标为 2ab 4ac b 22a ' 4a2.时,—时，y 随x 的增大而减小; 2a—时，y 随x 的增大而增大; 2ab_ 2ay 有最小值窖0时，抛物线开口向下，对称轴为一，顶点坐标为 2ab 2a4ac b 24a一时，y 随x 的增大而增大；当x 2a y 随x 的增大而减小；当2a 时，y4.一般式： y2ax bx c (a , 顶点式： y a(x h)2k (a , 两根式：y a(x xj(xX 2)( c 为常数，a 0 );k 为常数，a 0 );a 0,为,X 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标)ab 的符号的判定: 对称轴b——在y 轴左边则ab 0,在y 轴的右侧则ab 0 ,2a概括的说就是“左同右异” 5.常数项c⑴当C 0时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正; ⑵当c 0时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 ;1 b,2h,3次项系数⑶ 当c 0时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来，c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置.总之，只要a , b, c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.相似三角形基本知识比例性质a c ad bcb d（两外项的积等于两内项积）2合比性质:f 扌即宁（分子加（减）分母,分母不变） 3.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果a c— m(b d fn 0)，那么a c em a b d fnb d fn b.黄金分割1）定义：在线段上，点 C 把线段分成两条线段和（＞）,如果些匹，即2x,那么称AB AC线段被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比。

九年级数学沪科版复习知识点

九年级数学沪科版复习知识点九年级数学是学生们学习数学的最后一年，也是对之前所学知识的一次综合梳理和巩固。

本文将回顾九年级数学沪科版的重要知识点，帮助学生们更好地复习。

一、代数与函数1.代数式与方程式代数式是由数字、字母和运算符号组成的式子，表达数学关系。

方程式则是含有未知数的等式，表示等式两边的值相等。

学生们需要熟练掌握代数式化简和方程的解法。

2.一次函数与二次函数一次函数的标准式为y = kx + b，k为斜率，b为截距。

二次函数的标准式为y = ax²+ bx + c，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

学生们需要了解函数图像的特点并能进行图形分析。

3.幂指对数与指数函数幂指函数是y = a^x，a为大于0且不等于1的实数。

指数函数是y = a^x，a为正数且不等于1。

学生们需要学会求幂指函数的值以及指数函数的性质。

4.根式与分式根式是方程x² = a的解，可以是正数、负数或零。

分式则是含有分数形式的代数式，包括有理数与无理数的运算。

学生们需要学会化简分式和求根式的值。

二、几何与空间1.三角形与四边形学生们需要了解平面上的各种三角形（等边三角形、等腰三角形、直角三角形等）和四边形（矩形、正方形、菱形等）的性质和计算方法。

2.相似与全等相似和全等是几何中常见的两个概念。

相似是指两个图形的形状和比例相同，但大小不同；全等是指两个图形的形状和大小完全相同。

学生们需要学会判断和证明相似和全等关系。

3.立体几何与三视图立体几何包括棱柱、棱锥、球等等。

学生们需要了解立体几何的表面积和体积计算方法，并能绘制物体的三视图。

三、数据与概率1.数据的收集与整理学生们需要了解如何进行数据的收集、整理和呈现，包括样本调查、频数表、条形图、折线图等。

2.统计指标与概率计算统计指标包括平均数、中位数、众数等，学生们需要学会计算和分析统计数据。

概率计算则涉及到事件发生的可能性，学生们需要掌握概率的基本概念和计算方法。

沪版九年级上册数学知识点

沪版九年级上册数学知识点数学作为一门重要的学科，对于我们的日常生活和学业发展都起着至关重要的作用。

在九年级上册的数学学习中，我们将会接触到许多新的知识点和概念。

下面，我们来一起探讨一下沪版九年级上册的数学知识点。

1. 有理数有理数是数学中一个非常重要的概念。

在九年级上册的数学中，我们将会继续学习有理数的运算法则，包括加法、减法、乘法和除法。

我们需要掌握有理数的基本性质，如相反数和绝对值，并能够运用这些性质解决实际问题。

2. 整式与多项式整式是指只包含整数及其各种乘方的代数式。

多项式是一个或多个相加的整式。

在九年级上册的数学中，我们需要学习整式和多项式的加法、减法和乘法运算，并能够应用到实际问题中。

我们还需要了解一次多项式、二次多项式等不同形式的多项式，并能够对其进行简化和展开。

3. 方程与不等式方程和不等式是数学中常见的概念。

在九年级上册的数学中，我们将会学习一元一次方程和一元一次不等式的解法。

我们需要掌握方程和不等式的基本操作，如同加减、乘除等，并能够运用这些方法解决实际问题。

4. 平面图形平面图形是数学中一个重要的内容，涉及到的知识点也很多。

在九年级上册的数学中，我们将会学习平面图形的种类、性质和相关的计算方法。

我们需要了解三角形、四边形、圆等常见平面图形的性质，并能够计算其周长和面积。

我们还需要学习如何进行图形的变换，如平移、旋转和翻转等。

5. 数据的收集和统计数据的收集和统计是数学中一个实用且重要的内容。

在九年级上册的数学中，我们将会学习如何正确地收集数据，并能够运用统计的方法进行分析和总结。

我们需要了解数据的表示方法，如表格、图表等，并能够对数据进行处理和分析，如计算平均值、中位数和众数等。

总结：沪版九年级上册的数学知识点内容丰富多样，涵盖了有理数、整式与多项式、方程与不等式、平面图形以及数据的收集和统计等多个方面。

通过学习这些知识点，我们可以提升自己的数学素养，加深对数学的理解和应用能力。

沪科版九年级上册知识点

沪科版九年级上册知识点一、数与式1. 数的认识数是用于计数和量度的基本概念。

数包括自然数、整数、有理数和实数等。

2. 数的运算数的运算包括加法、减法、乘法和除法四则运算。

四则运算可以通过运算律和法则进行简化。

3. 数的性质数的性质主要包括奇偶性、整除性、质数与合数等。

可以通过这些性质来分析和判断数的特点。

4. 代数式与多项式代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式。

多项式是由代数式相加或相乘得到的表达式。

二、方程与不等式1. 一元一次方程一元一次方程是只含有一个未知数，且次数最高是一次的方程式。

解一元一次方程可以通过移项和化简等方法。

2. 一元一次不等式一元一次不等式是只含有一个未知数，且次数最高是一次的不等式。

求解一元一次不等式要注意不等号的方向和运算规则等。

3. 一次函数与方程一次函数是指关于未知数的一元一次方程。

通过一次函数的图象可以分析其增减性、零点和斜率等特点。

4. 一元二次方程一元二次方程是含有一个未知数，且最高次数为二次的方程。

求解一元二次方程可以通过配方法、求根公式和完全平方公式等。

三、平面图形与尺规作图1. 平面图形的认识平面图形包括点、线、面等基本图形。

可以通过边数、角度等特点来分类和认识平面图形。

2. 三角形的性质与分类三角形是由三条边和三个内角组成的图形。

可以根据边长和角度特点来分类和判断三角形的性质。

3. 平行四边形与矩形平行四边形是具有两组对边平行的四边形。

矩形是一种特殊的平行四边形，具有等边和直角的特点。

4. 尺规作图尺规作图是指使用直尺和圆规进行图形构造。

可以通过给定条件来绘制指定的图形。

四、数据与统计1. 统计与统计图统计是通过调查和分析数据来得出结论和规律。

统计图可以直观地表示和比较数据的分布和趋势。

2. 中心倾向与离散程度中心倾向是指数据的集中趋势，可以通过平均数、中位数和众数等来表示。

离散程度是指数据的分散程度，可以通过极差和方差等来衡量。

3. 概率与事件概率是指事件发生的可能性，可以通过实验、频率和几何概率等方法计算和分析。