2021-2022年三门峡市九年级数学上期末一模试题带答案(1)

一、选择题
1．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点О在原点，A ，C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，反比例函数()0k y k x =
>图象交AB 边于点D ，交BC 边于点E ，连接EO 并延长，交()0k y k x
=>的图象于点F ，连接DE ，DO ，DF ，若:1:2CE BE =，8DOF S =△，则k 的值等于（ ）
A ．3
B ．4.6
C ．6
D ．8 【答案】C
【分析】
由反比例函数()0k y k x
=>图象的中心对称性质，则OE=OF ，由四边形OABC 为正方形，可得OA=OC ，∠OCA=∠OAB=90°由点E ，D 在反比例函数图像上，可证CE=AD ，可证△OCE ≌△OAD （SAS ）可得OE=OD=OF ，由中线性质S △ODE =S △ODF =8，由:1:2CE BE =，可知CE 13BC =
，BE=23BC 设正方形的边长为m ，利用正方形面积构造方程，求出2=18m 进而求 21
1=633k m m m ⋅=
=即可． 【详解】
解：由反比例函数()0k y k x
=
>图象的中心对称性质， 则OE=OF ，
∵四边形OABC 为正方形， ∴OA=OC ，∠OCA=∠OAB=90°，
由点E ，D 在反比例函数图像上，
∴CE=AD=
=k k OA OC
， 在△OCE 和△OAD 中，
OC OA OCE OAD CE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△OCE ≌△OAD （SAS ），
∴OE=OD=OF ，
∴S △ODE =S △ODF =8，
∵:1:2CE BE =，
∴CE=()11+33CE
BE BC =，BE=23BC ， 设正方形的边长为m ，
S 正方形OABC =2S △OCE +S △BED +S △OED ， 即m 2=2×21112·82323m m m ⎛⎫⨯++⨯ ⎪⎝⎭
， ∴2=18m ，
∵点E 在反比例函数图像上E （1
,3
m m ）， ∴211633
k xy m m m ==
⋅==． 故选择：C ．
【点睛】
本题考查反比例函数性质，正方形性质，三角形中线性质，掌握反比例函数性质，正方形性质，三角形中线性质，掌握关键是抓住正方形面积构造方程．
2．如果点()12,A y -，()21,B y -，()33,C y 都在反比例函(0)k y k x
=<的图象上，那么1y 、2y 与3y 的大小关系是（ ）
A ．123y y y <<
B ．312y y y <<
C ．213y y y <<或312y y y <<
D ．123y y y ==
【答案】B
【分析】
根据k ＜0，判定图像分布在第二，第四象限，且在每一个象限内，y 随x 的增大而增大，
从判定120y y <<，3y ＜0，整体比较判断即可．
【详解】
∵k ＜0，
∴反比例函(0)k y k x
=
<的图象分布在第二，第四象限，且在每一个象限内，y 随x 的增大而增大，
∴120y y <<，3y ＜0，
∴312y y y <<，
故选B ．
【点睛】
本题考查了反比例函数图像的分布，函数的增减性，熟练掌握图像的分布和增减性是解题的关键．
3．下列说法正确的是（ ）
A ．对角线垂直的平行四边形是矩形
B ．方程x 2+4x+16＝0有两个相等的实数根
C ．抛物线y ＝﹣x 2+2x+3的顶点为（1，4）
D ．函数2y x =-
，y 随x 的增大而增大 【答案】C
【分析】
根据矩形的判定方法、一元二次方程的解、二次函数的性质及反比例函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A 、对角线垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
B 、方程x 2+4x+16＝0没有实数根，故说法错误，不符合题意；
C 、抛物线y ＝﹣x 2+2x+3的顶点为（1，4），正确，符合题意；
D 、函数y ＝﹣
2x
，在每一象限内y 随x 的增大而增大，错误，不符合题意， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了矩形的判定方法、一元二次方程的解、二次函数的性质及反比例函数的性质，属于基础题，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度不大．
4．在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的影子长，那么，在晚上同一路灯下（ ） A ．不能够确定谁的影子长
B ．小刚的影子比小红的影子短
C ．小刚跟小红的影子一样长
D ．小刚的影子比小红的影子长
5．如图所示的主视图和俯视图，其对应的几何体（阴影所示如图）可以是下列（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 6．如图1是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将它左侧的小正方体移动后得到图2.关于移动前后的几何体的三视图，下列说法正确的是（ ）
A ．主视图相同
B ．左视图相同
C ．俯视图相同
D ．三种视图都不相同 7．如图，▱ABCD 中，点
E 是AD 的中点，EC 交对角线BD 于点
F ，则DF BF =（ ）
A ．23
B ．2
C ．13
D ．12
8．如图，在四边形ABCD 中，如果ADC BAC ∠=∠，那么下列条件中不能判定ADC 和BAC 相似的是（ ）
A ．DAC ABC ∠=∠
B ．CA 是BCD ∠的平分线
C ．A
D DC AB AC
= D ．2AC BC CD =⋅ 9．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，M 为AD 中点，连接CM ，交BD 于点N ，则:CNO CND S S ∆∆=（ ）
A ．1:2
B ．2:3
C ．1:3
D ．3:4
10．先后随机抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，第一次掷出的点数记为a ，第二次掷出的点数记为c ，则使关于x 的一元二次方程260ax x c ++=有实数解的概率为（ ） A ．49 B ．1736 C ．12 D ．1936
11．若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2kx +k ﹣3＝0有实数根，则k 的取值范围为（ ）
A ．k ≥0
B ．k ≥0且k ≠1
C ．k ≥34
D ．k ≥34
且k ≠1 12．如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB 、点F 是AD 的中点，作CE ⊥AB 垂足E 在线段AB 上，连接 EF 、CF ，则下列结论：①2BCD DCF ∠=∠；②EF ＝CF ； ③S △BCE ＝S △CEF ；④∠DFE ＝3∠AEF ．其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
13．点A 1(2,)y -，2(5,)B y 在反比例函数y ＝
2k x
-图象上，且12y y >,则k 的范围为___． 14．如图，反比例函数k y x
=
的图象经过矩形ABCD 的顶点D 和BC 边上中点E ，若△CDE 面积为2，则k 的值为_______
15．小明希望测量出电线杆AB 的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点D 处立一标杆CD ，使标杆的影子DE 与电线杆的影子BE 部分重叠(即点E 、C 、A 在一直线上)，量得ED ＝2米，DB ＝4米，CD ＝1.5米，则电线杆AB 长为_____
16．如图是一个组合几何体，右边是它的两种视图，根据图中的尺寸，这个几何体的表面积是__（结果保留)π．
17．如图，ABC 中，10AB AC ==，16BC =．P 为边BC 上的一个动点，点D 在边AC 上，且始终保持APD B ∠=∠，若PCD 为直角三角形，则线段BP 的长为__________．
18．袋中有6个黑球和n 个白球，经过若干次试验，发现“若从中任意摸一个球，恰好摸到白球的概率为14
”，则这个袋中的白球大约有_____个. 19．等腰ABC 中，4AB AC ==，30BAC ∠=︒，以AC 为边作等边ACD △，则点B 到CD 的距离为________．
20．D 为等腰Rt △ABC 斜边BC 上一点（不与B 、C 重合），DE ⊥BC 于点D ，交直线BA 于点E ，作∠EDF ＝45°，DF 交AC 于F ，连接EF ，BD ＝nDC ，当n ＝__________时，△DEF 为等腰直角三角形．
三、解答题
21．如图1，一次函数y ＝kx ﹣3（k ≠0）的图象与y 轴交于点B ，与反比例函数
()0m y x x
=
>的图象交于点A （8，1）． （1）k ＝ ；m ＝ ； （2）点C 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），过点C 作y 轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D ，连接OC ，OD ，AD ，当四边形OCAD 的面积等于24时，求点C 的坐标； （3）在（2）的前提下，将△OCD 沿射线BA 方向平移一定的距离后，得到△O ′C ′D ′，若点O 的对应点O ′恰好落在该反比例函数图象上（如图2），请直接写出此时点D 的对应点D ′
的坐标．
22．画出下面几何体从三个方向看到的三种形状图．
【答案】见解析
【分析】
从正面看，得到从左往右3列正方形的个数依次为1，3，2；从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为3，1；从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为1，2，1，依此画出图形即可．
【详解】
解：如图所示：
．
【点睛】
此题主要考查了三视图的画法，注意三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
，F为垂足．求CF的23．在边长为1的正方形ABCD中，E是AB的中点，CF DE
长．
24．在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏
（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转运甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则刘凯获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；
（2）计算平局的概率．
（3）刘凯说：“这种规则不公平”，你认同他的说法吗?请说明理由．
（4）若你认为不公平，请你帮他们修改规则使游戏公平?
25．宋代数学家杨辉所著《杨辉算法》中有一题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文为：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多了多少步？
26．如图一，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=5，对角线AC，BD相交于O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．（所需图形须在备用图中画出）
（1）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（2）求证：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（3）在旋转过程中，当EF⊥BD，旋转的角度小于180°时，求出此时绕点O顺时针旋转的度数．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．无
2．无
3．无
4．A
解析：A
【分析】
在同一路灯下由于两人所在位置不同，因此影长也不同，所以无法判断谁的影子长．【详解】
在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长．
故选：A．
【点睛】
本题综合考查了平行投影和中心投影的特点及规律，正确理解平行投影和中心投影的特点和规律是解题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
根据几何体的主视图确定A、B、C选项，然后根据俯视图确定D选项即．
【详解】
解：A、B、D选项的主视图符合题意；
C选项的主视图和俯视图都不符合题意，
D选项的俯视图符合题意，
综上：对应的几何体为D选项中的几何体．
故选：D．
【点睛】
考查由视图判断几何体；由俯视图得到底层正方体的个数及形状是解决本题的突破点．6．B
解析：B
【分析】
根据三视图解答即可．
【详解】
解：图1的三视图为：
图2的三视图为：
故选：B ．
【点睛】
本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
7．D
解析：D
【分析】
根据四边形ABCD 是平行四边形，得到AD ∥BC ，AD=BC ，证得△DEF ∽△BCF ，由点E 是AD 的中点，得到1122DE AD BC =
=，由此得到12DF DE BF BC ==． 【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD=BC ，
∴△DEF ∽△BCF ，
∵点E 是AD 的中点， ∴1122DE AD BC =
=， ∴12
DF DE BF BC ==， 故选：D ．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，熟记平行四边形的性质证得△DEF ∽△BCF 是解题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
已知∠ADC ＝∠BAC ，则A 、B 选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C 选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；D 选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似.
【详解】
在△ADC 和△BAC 中，∠ADC ＝∠BAC ，
如果△ADC ∽△BAC ，需满足的条件有：
①∠DAC ＝∠ABC 或AC 是∠BCD 的平分线； ②
AD DC AB AC
=； 故选：D ．
【点睛】 此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键． 9．A
解析：A
【分析】
由四边形ABCD 为平行四边形，得到对边平行，即可证得：△BCN ∽△DMN ；可求相似比为2:1，继而求出ON:DN ，从而可求:CNO CND S S ∆∆．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，M 为AD 中点，
∴AD ∥BC ，BC=AD=2 DM ，OB=OD ，
∴∠BCN=∠DMN ，∠NBC=∠MDN ，
∴△BCN ∽△DMN ；
∴BN:DN=BC:DM=2:1，
设DN=x ，则BN =2x ，
∴BD=3x ，
∴OD=
32x ， ∴ON=12
x ， ∴ON:DN=12
x: x =1:2， ∴:CNO CND S S ∆∆= ON:DN =1:2．
故选：A ．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．要掌握等高三角形面积的比等于其对应底边的比．
10．B
解析：B
【分析】
列表展示所有36种等可能的结果数，再根据判别式的意义得到△≥0，从而得到使得一元二次方程ax 2-6x+c=0有相等实数解的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：列表得：
∵b=6，当b 2-4ac≥0时，有实根，即36-4ac≥0有实根，
∴ac≤9，
∴方程有实数根的有17种情况，
∴方程有实数根的概率=
1736
， 故选：B ．
【点睛】
本题考查列表法与树状图法求概率，一元二次方程实根的情况，是一个综合题，解题的关键是对于一元二次方程的解的情况的分析，解题时有一定难度． 11．D
解析：D
【分析】
根据二次项系数不为0和△≥0列不等式组即可．
【详解】
解：根据关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2kx +k ﹣3＝0有实数根，
列不等式组得，210(2)4(1)(3)0k k k k -≠⎧⎨----≥⎩
， 解得，k ≥
34
且k ≠1， 故选：D ．
【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练运用根的判别式列不等式，注意：一元二次方程二次项系数不为0．
12．C
解析：C
【分析】
由在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，证明AF=FD=CD ，继而证得①2BCD DCF ∠=∠；然后延长EF ，交CD 延长线于M ，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF ≌△DMF （ASA ），可得EF MF =，再证明
90ECM ∠=︒，从而可判断②；由,CBE CEF S S =可得：13
CBE ABCD S S =，可得：
2,3
BE AB =与已知不符，从而可判断③；设∠FEC=x ，则∠FCE=x ，再分别表示∠EFD=9018022703x x x ︒-+︒-=︒-，∠AEF=90,M FCM x ∠=∠=︒-从而可判断④．
【详解】
解：①∵F 是AD 的中点，
∴AF=FD ，
∵在▱ABCD 中，
AD=2AB ，
∴AF=FD=CD ，
∴∠DFC=∠DCF ，
∵AD ∥BC ，
∴∠DFC=∠FCB ，
∴∠DCF=∠BCF ，
∴∠BCD 2DCF =∠，故①正确；
②延长EF ，交CD 延长线于M ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴∠A=∠MDF ，
∵F 为AD 中点，
∴AF=FD ，
在△AEF 和△DFM 中，
A FDM AF DF
AFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AEF ≌△DMF （ASA ），
∴FE=MF ，∠AEF=∠M ，
∵CE ⊥AB ，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF ，
∴EF=CF ，故②正确；
③∵EF=FM ，
EFC CFM S S ∴=，
若,CBE CEF S
S = 则13CBE ABCD S S = 11,23
BE EC AB EC ∴= 32,BE AB ∴=
2,3
BE AB ∴= 与已知条件不符， 故CBE CEF
S S =不一定成立，故③错误； ④设∠FEC=x ，
,EF CF =
∴∠FCE=x ，
∴∠DCF=∠DFC=90x ︒-，∠EFC=1802x ︒-，
∴∠EFD=9018022703x x x ︒-+︒-=︒-，
∵∠AEF=90,M FCM x ∠=∠=︒-
∴∠DFE=3∠AEF ，故④正确．
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题关键．
二、填空题
13．k ＜2【分析】把点AB 坐标代入反比例函数可知==k-2变形得=由与异号且可得＜0＜可知点A 在第二象限点B 在第四象限进而解不等式即可【详解】根据题意把点AB 坐标代入反比例函数y=可知==k-2∴=∴与
解析：k ＜2
【分析】
把点A 、B 坐标代入反比例函数12=2k y --，225
k y -=，可知1-2y =25y =k-2．变形得1y =25-2
y ，由1y 与2y 异号且12y y >可得2y ＜0＜1y ，可知点A 在第二象限，点B 在第
四象限进而20k -<解不等式即可．
【详解】
根据题意，把点A 、B 坐标代入反比例函数y=2k x
-． 12=2k y --，225
k y -=， 可知1-2y =25y =k-2． ∴1y =25-
2y ， ∴1y 与2y 异号，
∵12y y >，
∴2y ＜0＜1y ，
∴点A 在第二象限，点B 在第四象限，
∴20k -<，
∴2k <．
故答案为：2k <．
【点睛】
本题主要考查反比例函数性质与图像，掌握反比例函数性质与图像位置与k-2的关系．会根据函数值的大小确定点的位置是解题关键．
14．8【分析】设E 的坐标是（mn ）k ＝mn 则C 的坐标是（m2n ）求得D 的坐标然后根据三角形的面积公式求得mn 的值即k 的值【详解】解：设E 的坐标是（mn ）则k ＝mn 点C 的坐标是（m2n ）在y ＝中令y ＝2n
解析：8
【分析】
设E 的坐标是（m ，n ），k ＝mn ，则C 的坐标是（m ，2n ），求得D 的坐标，然后根据三角形的面积公式求得mn 的值，即k 的值．
【详解】
解：设E 的坐标是（m ，n ），则k ＝mn ，点C 的坐标是（m ，2n ），
在y ＝mn x
中，令y ＝2n ， 解得：x ＝
2
m ， ∵S △CDE ＝2， ∴12|n|•|m−2m |＝2，即12n×2
m ＝2， ∴mn ＝8．
∴k ＝8．
故答案是：8．
【点睛】
本题考查了反比例函数与矩形的综合，设E 的坐标是（m ，n ），利用m ，n 表示出三角形的面积是关键．
15．5【分析】根据题意求出△ECD ∽△EAB 利用相似三角形的对应边成比例即可解答【详解】∵CD ∥AB ∴△ECD ∽△EAB ∴ED ：EB=CD ：AB ∴2：6=15：AB ∴AB=45米答：电线杆AB 长为45米
解析：5
【分析】
根据题意求出△ECD ∽△EAB ，利用相似三角形的对应边成比例即可解答．
【详解】
∵CD ∥AB ，
∴△ECD ∽△EAB ，
∴ED ：EB=CD ：AB ，
∴2：6=1.5：AB ，
∴AB=4.5米．
答：电线杆AB 长为4.5米．
故答案为4.5.
【点睛】
本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出电线杆AB 长．
16．【分析】根据视图可知两个视图分别为主视图俯视图根据视图中的数据即可得到答案【详解】解：两个视图分别为主视图俯视图由主视图和俯视图中的数据可得：这个几何体的表面积是故答案为：【点睛】此题考查由三视图求 解析：13224π+
【分析】
根据视图可知两个视图分别为主视图、俯视图，根据视图中的数据即可得到答案．
【详解】
解：两个视图分别为主视图、俯视图，由主视图和俯视图中的数据可得：
这个几何体的表面积是
(582825)246π⨯+⨯+⨯⨯+⨯
66224π=⨯+
13224π=+．
故答案为：13224π+．
【点睛】
此题考查由三视图求表面积，由几何体的三视图得到相应的数据是解题的关键． 17．8或【分析】因为∠C 为定角DP 为动点所以△PCD 为直角三角形有两种情况：∠PDC=90°时△PCD 为直角三角形如详解图根据等腰三角形三线合一的性质
求出BP 的长；当∠DPC=90°时△PCD 为直角三角
解析：8或252 【分析】
因为∠C 为定角，D 、P 为动点，所以△PCD 为直角三角形有两种情况： ①∠PDC=90°时，△PCD 为直角三角形，如详解图，根据等腰三角形三线合一的性质求出BP 的长；②当∠DPC=90°时，△PCD 为直角三角形，如详解图，作AF BC ⊥，根据△BFA ∽△BAP 求出BP 的长．
【详解】
分两种情况:
①∠PDC=90°时，△PCD 为直角三角形，如图：
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠APD=∠B
∴∠APD=∠C
∵90C DPC ∠+∠=︒
∴90APD DPC ∠+∠=︒
AP BC ∴⊥
∴点P 为BC 中点
∴12
BP BC = 16BC =
11682
BP ∴=⨯= ②当∠DPC=90°时，△PCD 为直角三角形，如图，作AF BC ⊥，
10,16AB AC BC ===，AF BC ⊥
90AFB ∴∠=︒
∴点F 为BC 中点
1116822
BF BC ∴==⨯= ∵∠APD=∠B ，∠DPC=90
90APB APD ∴∠+∠=∠︒
90APB B ∴∠+∠=︒
90BAP ∴∠=︒
BFA BAP ∴△∽△
AB BF BP AB
∴= 10810
BP ∴= 252BP ∴=
故答案为：8或
252
． 【点睛】 本题考查了等腰三角形，相似三角形的性质和判定，同时还运用了分类讨论的思想，利用相似三角形对应边成比例求线段长是解题关键．
18．2【解析】分析：根据若从中任摸一个球恰好是白球的概率为列出关于n 的方程解方程即可详解：∵袋中装有6个黑球和n 个白球∴袋中一共有球（6+n ）个∵从中任摸一个球恰好是白球的概率为=解得：n=2故答案为2
解析：2
【解析】 分析：根据若从中任摸一个球，恰好是白球的概率为
14
，列出关于n 的方程，解方程即可．
详解：∵袋中装有6个黑球和n 个白球，∴袋中一共有球（6+n ）个． ∵从中任摸一个球，恰好是白球的概率为146n n ∴+，=14
，解得：n =2． 故答案为2． 点睛：本题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．注意方程思想的应用．
19．或【分析】分两种情况讨论利用等边三角形的性质和勾股定理可求解【详解】解：当点D 在AC 的左侧时设AB 与CD 交于点E ∵△ACD 是等边三角形∴AC=AD=CD=4∠DAC=60°又∵∠BAC=30°∴∠D
解析：2或4-
【分析】
分两种情况讨论，利用等边三角形的性质和勾股定理可求解．【详解】
解：当点D在AC的左侧时，设AB与CD交于点E，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=CD=4，∠DAC=60°，
又∵∠BAC=30°，
∴∠DAE=∠BAC=30°，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC=30°，
∴CE=1
2AC=2，AE=2222
4223
AC EC
-=-=，
∴BE=AB-AE=423
-；
当点D在AC的右侧时，过点B作BE⊥CD，交DC的延长线于点E，连接BD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=CD=AB=4，∠DAC=60°，
∴∠BAD=90°，
∴22161642
AB AD=+=
+
∵AB=AC，∠BAC=30°，
∴∠ACB=75°，
∴∠BCE=180°-∠ACD-∠ACB=45°，
∵BE ⊥CE ，
∴∠BCE=∠CBE=45°，
∴BE=CE ，
∵BD 2=BE 2+DE 2，
∴32=BE 2+（CE+4）2，
∴BE=232-， 综上所述：点B 到CD 的距离为232-或423-．
故答案为：232-或423-
【点睛】
本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 20．或1【分析】分两种情况①当∠DEF ＝90°时由题意得出EF ∥BC 作FG ⊥BC 于G 证出△CFG △BDE 是等腰直角三角形四边形EFGD 是正方形得出
BD=DE=EF=DG=FG=CG 继而可得结果；②当∠E
解析：12
或1 【分析】
分两种情况①当∠DEF ＝90°时，由题意得出EF ∥BC ，作FG ⊥BC 于G ，证出△CFG 、△BDE 是等腰直角三角形，四边形EFGD 是正方形，得出BD=DE=EF=DG=FG=CG ，继而可得结果；②当∠EFD ＝90°时，求出∠DEF ＝45°，得出E 与A 重合，D 是BC 的中点，BD=CD ，即可得出结果.
【详解】
解：分两种情况：①当∠DEF ＝90°时，如图1所示：
∵DE ⊥BC ，
∴∠BDE ＝90°＝∠DEF ，
∴EF ∥BC ，作FG ⊥BC 于G ，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴△CFG 、△BDE 是等腰直角三角形，四边形EFGD 是正方形，
∴BD=DE=EF=DG=FG=CG ，
∴BD=
12CD, ∴n=12；
②当∠EFD ＝90°时，
如图2所示：
∵∠EDF ＝45°，
∴∠DEF ＝45°，此时E 与A 重合，D 是BC 的中点，
∴BD=CD ，
∴n=1.
综上所述：n=
12或1, 故答案为：
12
或1 【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定、正方形的判定与性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键. 三、解答题
21．（1）
12，8；（2）()2,2C -；（3）()6,6'D 【分析】
(1)将A(8,1)代入解析式中，利用待定系数法即可解决问题；
(2)设C(a ，
12a-3)(0＜a ＜8)，则D(a ，8a )，根据四边形的面积构建方程即可求出C 点坐标；
(3)根据一次函数，利用方程组求出点O’的坐标，再根据平移规律即可求出D’坐标．
【详解】
解：(1)把点A （8，1）分别代入y ＝kx ﹣3和()0m y x x =
>中， 得：1＝8k ﹣3，1＝
8m ， 解得：k ＝
12，m ＝8， 故答案为12
，8； (2)设C (a ，12a ﹣3)（0＜a ＜8），则D (a ，8a
)，
∴CD ＝8a -12
a +3， 设A 、C 的横坐标分别用,A C x x 表示， ∴
11118=()(3)822222
四边形∆∆+=⋅+⋅-=⋅=-+⨯OCD ACD C A C A ADOC a S S S CD x CD x x CD x a ，
∵S 四边形ADOC ＝24， 即
18(3)82422
-+⨯=a a ， ∴a 2+6a -16＝0，
∴a 1＝-8，a 2＝2， 经检验：a 1＝﹣8，a 2＝2是原方程的解，
∵0＜a ＜8，
∴a ＝2，代回C 点坐标中，
∴C (2，﹣2)，
故答案为：C (2，﹣2)；
(3)由平移可知：OO ′∥AB ，
∴直线OO ′的解析式为y ＝12
x ， 由812
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y x y x ，解得42=⎧⎨=⎩x x 或42=-⎧⎨=-⎩x x (舍去)， ∴O ′(4，2)，
即O(0,0)通过往右平移4个单位，往上平移2个单位得到O ′(4，2)，
又由(2)中知D 坐标为(2，4)，
∴D(2，4)往右平移4个单位，往上平移2个单位得到D ′(6，6)，
故答案为：D ′(6，6)．
【点睛】
本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，点的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．
22．无
23
【分析】
利用正方形是性质和平行线的性质可得∠CDF ＝∠DEA ，∠CFD ＝∠A ，则可利用相似三角形
的判定证明△ADE ∽△FCD ，根据相似三角形的性质可得比例式，结合勾股定理即可求解CF 的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠A ＝90°，AB ∥CD ．
∴∠CDF ＝∠DEA ．
又CF ⊥DE ，
∴∠CFD ＝90°，即∠CFD ＝∠A ．
∴△FCD ∽△ADE ． ∴CF CD AD DE
=． ∴CD AD CF DE ⋅=
． ∵AD ＝CD ＝1，E 是AB 的中点，
∴AE ＝12
．
∴由勾股定理得DE 2
==．
∴CF ． 【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据正方形的性质正确证明△ADE ∽△FCD 是解题的关键
24．（1）见解析，12种；（2）
14
；（3）认同，见解析；（4）见解析． 【分析】
（1）根据题意画出树状图，得出游戏中两数和的所有可能的结果数；
（2）根据（1）得出两数和共有的情况数和其中和等于12的情况数，再根据概率公式即可得出答案；
（3）根据（1）得出两数和共有的情况数和其中和小于12的情况、和大于12的情况数，再根据概率公式即可得出答案；
（4）应保证双方赢的概率相同．
【详解】
解：（1）画树状图：
可见，两数和共有12种等可能性；
（2）两数和共有12种等可能性，其中平局的情况有3种，
∴P （出现平局）31124
==； （3）由（1）可知，两数和共有12种等可能的情况，其中和小于12的情况有6种，和大于12的情况有3种，
P ∴（李燕获胜）61122=
=， P （刘凯获胜）31124=
=， ∵1142
<， ∴这个游戏规则对双方不公平．
（4）游戏规则：（答案不唯一）
如：两人分别同时转运甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数等于12，则李燕胜；若指针所指区域内两数和大于12，则刘凯获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．
或：两人分别同时转运甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数小于12，则李燕胜；否则就刘凯获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．
【点睛】
本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25．长比宽多12步．
【分析】
选择合适的未知数，利用矩形这个桥梁构造一元二次方程求解即可．
【详解】
解：设矩形的长为x 步，则宽为60x -（）
步， 根据题意，得
(60)864x x -=．
解得 136x =，224x =（舍去）
∴当36x =时，
6024
-=，
x
-=．
362412
答：长比宽多12步．
【点睛】
本题考查了一元二次方程与几何图形的关系，熟练运用一元二次方程解决几何图形的面积是解题的关键．
26．（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）45°．
【分析】
（1）根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，对角线互相平分可得OA=OC，再根据两直线平行，内错角相等求出∠FAO=∠ECO，然后利用“角边角”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等即可得到AF=CE；
（2）根据垂直的定义可得∠BAO=90°，然后求出∠BAO=∠AOF，再根据内错角相等，两直线平行可得AB∥EF，然后根据平行四边形的对边平行求出AF∥BE，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；
（3）根据（1）的结论可得AF=CE，再求出DF∥BE，DF=BE，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求出四边形BEDF平行四边形，再求出对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形；根据勾股定理列式求出AC=2，再根据平行四边形的对角线互相平分求出AO=1，然后求出∠AOB=45°，再根据旋转的定义求出旋转角即可．
【详解】
解：（1）如图一
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠FAO=∠ECO，
又∵∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=EC，
∴在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等．
（2）如备用图一：
证明：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°．
∵∠AOF=90°，
∴∠BAC=∠AOF，
∴AB∥EF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴四边形ABEF是平行四边形．
（3）如备用图二：
在Rt△ABC中，
AC22
．
BC AB
∵AO=OC，
∴AO=1=AB．
∵∠BAO=90°，
∴∠AOB=45°
∵EF⊥BD，
∴∠BOF=90°，
∴∠AOF=45°，
即AC绕点O顺时针旋转45°．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键.。