高一上学期期末考试数学试题(教师版)

珠海市2015～2016学年度第一学期期末学生学业质量监测
高一数学试题答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） B CAD BCDC CAAB
1．已知全集{}0,1,2,3U =， 集合{}1,2A =，则U C A = A ．{}0 B ．{}0,3 C ．{}0,1 D ． {}2,3
2．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为
A ．四棱台、圆锥、三棱柱、圆台
B ．三棱锥、圆锥、三棱台、圆台
C ．四棱锥、圆锥、三棱柱、圆台
D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台 3．函数)26lg(1)(x x x f -+-=
的定义域是
A ．[2,3)
B ．(2,3)
C ．[2,3]
D ．(2,3]
4．直线1:24l x y -=与直线2:21l x y -=-相交，其交点P 的坐标为 A ．(2,1) B ．72(,)33
C ．(1,1)
D ．(3,2)
5．已知在空间坐标系O xyz -中，点(1,2,3)A -关于平面xOz 对称的点的坐标为 A ．(1,2,3) B ．(1,2,3)-- C ．(1,2,3)-- D ．(1,2,3)--- 6．已知函数3()233f x x x =+-，在下列区间中函数()f x 一定存在零点的是 A ．(1,0)- B ．1(0,)2 C ．1(,1)2
D ．(1,2)
7．设1
.02=a ，25lg
=b ，10
9log 3=c ，则c b a ,,的大小关系是 A ．b c a >> B ． a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >> 8．下列运算正确的是
A ．238()a a = B
．35
log 2732
-= C ．106
484÷= D ．222log (3)2log (3)-=-
（4）
（2）
（3）
（1）
9．设函数42()1(,)f x ax bx x a b R =+-+∈，若(2)9f =，则(2)f -= A ．9 B ．11 C ．13 D ．不能确定
10．已知正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1111,A D D C 的中点，则异面直线EF 与
1AB 所成角为
A ．060
B ．045
C ．090
D ．030
11．将进货单价为40元的商品按60元一个售出时，能卖出400个。

已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得最大利润，售价应定为
A ．每个70元
B ．每个85元
C ．每个80元
D ．每个75元
12．各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）高为2，体积为 8，则这个球的表面积是
A ．16π
B ．12π
C ．10π
D ．8π
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 13．已知幂函数y x α=的图象过点(8,2)，则α=________。

13
14．函数25(2)()(2)(2)
x x f x f x x ⎧-≥=⎨
+<⎩，则(2)f -= 。

1-
15．过点(1,2)P 且与直线:23l x y -=垂直的直线方程为 。

（用斜截式方程表示）
24y x =-+
16．函数2
()(31)2f x x a x a =+++在(,4)-∞上为减函数，则实数a 的取值范围为 ________。

3a ≤- 17．已知()y f x =是定义在[)2,0-∪(]0,2上的奇函数，当0>x 时，
()y f x =的图象如图所示，那么()y f x =的值域是 。

[3,2)(2,3]--
18．等边三角形的边长为a ，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为 ________
2
a
19．已知,m n 为两条不同直线，,αβ为两个不同平面，给出下列命题：
①//m n m n αα⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ②//m n m n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩
③//m m αβαβ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ④////m n m n α
βαβ
⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩
， 其中正确的序号是________。

（填上你认为正确的所有序号） ②③
20．直线1y =-与曲线2||()y x x a a R =-+∈有四个交点，则a 的取值范围为___________。

3
(1,)4
--
三、解答题（本大题共5小题，共 50 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 21．（本题满分8分）已知集合{|4,}A x m x m m R =≤≤+∈，{|5B x x =<-或3}x > ；
（1） 若1m =，求,A B A B ； （2） 若A B ⊆，求m 的取值范围。

解：(1) 当1m =时，{|15}A x x =≤≤； …………………1分 ∴ A B = {|15}x x ≤≤ {|5x x <-或3}x >{|35}x x =<≤。

……………3分
A B = {|15}x x ≤≤ {|5x x <-或3}x >{|5x x =<-或1}x ≥。

…………5分
(2)由题意得：A φ≠，
则：3m >或45m +<-；解得：3m >或9m <-；； … ……………………7分 ∴ m 的取值范围为(,9)(3,)-∞-+∞ 。

… …………………8分
22．（本题满分10分）已知点(0,3),(4,0)M N -及点(2,4)P -； （1）若直线l 经过点P 且//l MN ，求直线l 的方程； （2）求MNP 的面积。

解：（1）由题意得：303
0(4)4
MN k -=
=--; ………………………2分
∴ 直线l 的方程为：3
4(2)4
y x -=
+，即34220x y -+=； ∴ 直线l 方程为：34220x y -+= ………………………4分
（2）由题意得直线MN 的方程为：143
x y
+=-，即：34120x y -+=；…………6分 ∴ 点P 到直线MN 的距离为：
2d =
=；
||5MN ==； …………………………………………………8分
∴ NMP 的面积11
||52522
S MN d =
=⨯⨯=， ∴ NMP 的面积为5。

…………………………………………10分
23．(本题满分10分)已知坐标平面上两个定点(0,3)A ，(0,0)O ，动点(,)M x y 满足：
||2||MA OM =．
（1）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为C ，过点(1,3)N -的直线l 被C
所截得的线段的长为线l 的方程．
解：(1)由||2||MA OM =
=……1分
化简得：22230x y y ++-=，即：22(1)4x y ++=； …………3分 ∴ 点M 的轨迹方程是：22(1)4x y ++=，轨迹是以(0,1)-为圆心，以2为半径的 圆。

…………4分 (2)当直线l 的斜率不存在时，直线:1l x =-，
此时直线l 被C
所截得的线段的长为：=
∴ 直线:1l x =-符合题意； …………6分 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为：3(1)y k x -=+，即(3)0kx y k -++=， ∴ 圆心到l
的距离d =
，
由题意得：2
22
2⎛⎫+=，解得：158k =-； …………8分 此时直线l 的方程为：159
088
x y --+=，即：15890x y +-=； ∴ 直线l 的方程为：:1l x =-或15890x y +-=。

…………10分
24．（本题满分12分）已知如图：四边形ABCD 是矩形，BC ⊥平面ABE ,
且AE =,
2EB BC ==,点F 为CE 上一点，且BF ⊥平面ACE . (1)求证：//AE 平面BFD ； (2)求三棱锥A DBE -的体积； (3)求二面角D BE A --的大小。

（1）证明:连接AC 交BD 于G ，连结GF ，
ABCD 是矩形, ∴G 为AC 的中点； …………………………………… 1分 由BF ⊥平面ACE 得：BF CE ⊥；
F
E D
C
B A
由EB BC =知：点F 为CE 中点；……………………………………………………2分 ∴FG 为ACE ∆的中位线
∴FG //AE ；…………………………………………………………………………… 3分 ∵ AE ⊄平面BFD ；FG ⊂平面BFD ；
∴ //AE 平面BFD ；…………………………………………………………………… 4分 （2）解：由BF ⊥平面ACE 得：BF AE ⊥；
由BC ⊥平面ABE 及//BC AD 得: BC AE ⊥，AD ⊥平面ABE ；
∵BC BF F = , ∴AE ⊥平面BCE ，则BE AE ⊥；……………………… 6分 ∴
11122332A DBE D ABE ABE V V S AD --==
=⨯⨯⨯=
, 即三棱锥A DBE -
8分 （3）解：由（2）知：BE AE ⊥，AD BE ⊥， ∴ BE ⊥平面ADE ，则BE DE ⊥；
∴ DEA ∠是二面角D BE A --的平面角； …………………………………… 10分 在Rt ADE ∆
中，4DE ==,
∴ 1
2
AD DE =
,则030DEA ∠=； ∴ 二面角D BE A --的大小为0
30。

………………………………………12分
25.（本题满分10分）（1）求证：函数4
()f x x x
=+在[2,)+∞上是增函数； （2）已知函数()a
f x x x
=+
有如下性质：若常数0a >，
那么该函数在上是减函数，
在)+∞上是增函数。

设常数(2,9)a ∈，求函数()a
f x x x
=+
在[1,4]x ∈上的最大值和最小值。

（1）证明：设122x x >≥，则： …………1分
2121212121
4444()()()()()f x f x x x x x x x x x -=+
-+=-+-1221122121212121
4()()(4)4
()()(1)x x x x x x x x x x x x x x x x ---=-+
=--=， …………3分
∵122x x >≥， ∴2112120,0,40x x x x x x -<>->， ∴ 21()()0f x f x -<，即21()()f x f x <；
∴ 函数4
()f x x x
=+在[2,)+∞是增函数. …………5分
（2）∵(2,9)a ∈， ∴3< …………6分
∴ 函数()a
f x x x
=+在上是减函数，在上是增函数，
∴ 当x =
()f x 有最小值 ……………………7分
又(1)1,(4)44
a f a f =+=+
， ①当(1)(4)f f ≥即144
a
a +≥+，也即49a ≤<时，函数()f x 有最大值1a +；……8分 ②当(1)(4)f f <即144
a
a +<+
，也即24a <<时，函数()f x 有最大值44a +。

……9分
∴ 当24a <<时，函数()f x 最大值为44
a
+
，最小值为当49a ≤<时，函数()f x
最大值为1a +，最小值为 ……………………10分
注：如有不同解答，请参考以上标准计分。