椭圆中的两个最大张角

椭圆中的两个最大张角
在椭圆中有两个比较特殊的角，一个是短轴上的一个顶点到两焦点的张角，另一个是 短轴上的一个顶点到长轴上两个顶点的张角，
张角中最大的两个角，它们有着重要的应用， 下：
一. 两个重要结论
利用余弦定理可得。

证明：如图，由已知：|p F j+I PF 2 |=2a, I F 1F 2 1= 2c ，
所以 I PF i IIPF 2 ^(
IPFl
^
1 PF
2 I )^a 2
,(当 I PF i I=IP F 2I 时取等号)
2 | PF i II PF 2 I
2 2 2 2
4a -4c 4b 2b = ------------ —1 = -------------- —1>^—1 (当 I PFiH PF2I 时取等号)， 2IPF i PF 2I 2IPF i II PF 2 I a 所以当I PF i 戸PF 2 I 时，cos N F I PF 2的值最小，因为N F I PF 2亡(0,兀)，所以此时N F ’PF 2
最大。

即点P 为椭圆短轴的端点时 N F i PF 2最大。

2 2
X y
命题2.如图：已知A, B 为椭圆飞+ — =1(a>bA0)长轴上的两个顶点， Q 为椭圆上
a b
它们都是椭圆上任意一点到这两对点的所有
给解决一些问题带来很大的方便，现归纳如 由余弦定理得：cos N F ’ PF 2
2 2 2
I PF i I +I PF 2 I -I F 1F 2 I 2 | PF i II PF 2 |
2 2
只要求 y =cos X 的最小值，又知 I PF ’ I + I PF 2 I=2a,I F 1F 2 I= 2c ,
2 2
(I PF i I +I PF2 I) -2 I PF i II PF2 I —I F1F2 I
4b2
解析：由结论1知：当点P o为椭圆短轴的端点时，N F I P O F2最大，因此要最大角
点时，N AQB 最大。

二. 两个结论的应用
利用上面两个结论，在解决一些问题带来很大的方便:
例1.已知F 1 , F 2为椭圆的两个焦点， 若椭圆上存在点P 使得N F 1 PF 2 = 60。

,求椭圆 离心率的
取值范围。

存在N F I PF 2 =60 °，所以只要最大角P o F Z 60°，即
任意一点,则当点Q 为椭圆短轴的端点时，N AQB 最大。

分析：当N AQB 最大时，N AQB 一定是钝角, 而y =tanx 在(沢，兀)上是增函数，利用点 Q 的坐标,
2 表示出tan Z AQB ，再求tan N AQB 的最大值。

证明：如图，不妨设Q(x, y)(0 <x c a,。

c y <b)，则AP
=a + X, BP = a _x, PQ = y
a +x
所以 tan N AQP = --------- , tan N BQP =
y
y
2a
则 ta ^AQ ^
ta ^AQP
^ta ^BQP
1 -tan N AQP g an N BQP
y
2
2
a -x
1
———
y
2ay
2 2 2
x + y —a
2
又 X * 2 =a 2 —Ly 2
，所以 tan Z A Q B =
b 2
(1 2a 2
a —=)y
b
2
匚口仏
a 乂 兀
，因为 1—=£0 , N AQB <^(—,兀),
b 2 2
所以当 y =b 时，tan N AQB 取得最大值, 此时N AQB 最大，所以当点Q 为椭圆短轴的端
分析：因为 1
N F 1 Pf >30 °, 2
解析：由结论 1知：当点P o 为椭圆短轴的端点时 ，N F I P O F 2最大，因此要最大角 是一个直角三角形的三个顶点，且
I PF i ⑴PF 2I ，求旦」
的
值。

分析：由结论1知：当点
P 0为椭圆短轴的端点时 ^F 1P 0F 2最大，且最大角为钝角, 所以本题有两种情况： N P =90
°或 N F 2 = 90 °。

解析：由已知可得，当点P o 为椭圆短轴的端点时
,Z F I P 0F 2最大且Z F i P o F 2为钝角,
由结论1知，椭圆上存在一点 P ，使N F ’PF ?为直角, 又N PF 2F I 也可为直角，所以本题
有两解；由已知有 IP F’h IP F 2 I=6，I RF 2 I =2j 5
(1)若 N PF 2F 1 为直角，则 IPF 1 I^I PF 2 I 2
+ IF ’F ? I 2
，所以 | P F 1 |2=(6—I PF i |)2
+20，
/口 14 4 斗 得 I PF i U —,I PF 2 匸一，故 3 3
IPF 1 I 7
I P F 2 I 2
(2)若 N F 一PF 2 为直角，则 I F 1F 2 I 2 斗 PF ’ I 2 +I PF 2 I 2 ，所以 20 =| PF 1 I 2 +(6 — IP F 1 I)2
， I P F I
得 I PF 1 I = 4,I PF 2 =2I ，故——-=2。

I PF 2 I
评注：利用最大角知道，Z F I PF 2可以为直角，从而容易判断出分两种情况讨论,
避免了漏解的情况。

2 2
例3.已知椭圆 + + ■y 7=1(a Ab >0)，长轴两端点为A, B ，如果椭圆上求这个椭 a b
圆的离心率的取值范围。

1
訂3
c
N F 1P 0F 2 >60 4,即卩一N F 1 P 。

F 2 >30。

，即 tan
P 。

O >、一，也就是一
2
3 b
,C
> —，得e >2，故椭圆的离心率 e 引丄,1)。

J a 2
-C 2
3 2
2
2 2
例2.设F 一，F 2为椭圆 —=1的两个焦点，P 为椭圆上任意一点,
4
解不等式 已知 P, F i , F 2
分析：由结论2知：当点P o 为椭圆短轴的端点时’N AP o B 最大，因此只要最大角不小 于120。

即可。

解析：由结论2知：当点P 0为椭圆短轴的端点时，N AP 0B 最大，因此只要 N AP 0 B >120
则一定存在点 Q ,使 N AQB =120。

，一 N AQ B > 60。

,即 N AP O > 60 *
2
所以- —a
/ 2 一2 V a -c
故椭圆的离心率的取值范围是 e
,1）。

3
三. 巩固练习:
2 2
x V
1.已知焦点在 x 轴上的椭圆 ——+ 2y=1(b>0),
4 b
1•解：由结论1知，当点P 为椭圆短轴的端点时 上F i PF 2最大，若此时PF ’申F 2 =0 ,
则有：b =c ，又a =2，所以b = J 2，因为椭圆越扁，这样的点一定存在，所以 b 的取
值范围为：0 <b < J 2。

2. 解:由结论1知，当点P 越接近短轴的端点时，Z F I PF 2越大，所以只要求
为直角时点P 的横坐标的值，因为c =J 5，所以当N F ’PF ?为直角时，点P 在圆 x? + y =5上，解方程组:
2
2
2+厶=1曰 3需
375 3
忑
{ 9
4
，得：x =± ------- ，所以点P 横坐标的取值范围是：— -------- C x V -------- 。

1^ 2
5
5 5
[x + V =5
F I ,F 2是它的两个焦点，若椭圆上
存在点P ，使得 PF ’申F 2 =0，求b 的取值范围。

2.已知椭圆 2 2
x V
—=1
, F ,, F 2是它的两个焦点,
9
4
点P 为其上的动点，当N F I
PF 2为
钝角时，求点P 答案：
横坐标的取值范围。

即tan N F I P o O > —，也就是- >—，从而求出e的范围。

3 b 3。