高中数学第二章等式与不等式2.2不等式2.2.3一元二次不等式的解法bb高一第一册数学

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解析 原不等式可化为 x2＋50x－30000<0，(x－150)·(x＋200)<0，所以不 等式的解集为(－200,150)．
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解析
4．若 t>2，则关于 x 的不等式(x－t)x－1t <0 的解集为(
(2)若二次项系数为定值，则按不含参数的步骤解，再根据参数的取值确 定解集范围．
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[跟踪训练2] 解关于 x 的不等式 x2－(a＋a2)x＋a3>0.
解 原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.
方程 x2－(a＋a2)x＋a3＝0 的两根为 x1＝a，x2＝a2.
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本课结束(jiéshù)
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③当 a＝0 时，原不等式为 x2>0，∴x≠0，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，
＋∞)．
(4)当 a＝1 时，原不等式为(x－1)2>0，∴x≠1，不等式的解集为(－∞，
1)∪(1，＋∞)．
综上可知，
当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为(－∞，a)∪(a2，＋∞)；
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1．在下列不等式中，解集是∅的是( ) A．x2－3x＋5>0 B．x2＋4x＋4>0 C．x2＋4x－4<0 D．－2＋3x－2x2>0
答案 D
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[跟踪训练1] 求下列不等式的解集： (1)3x2＋5x－2>0；(2)－9x2＋6x－1<0； (3)x2－4x＋5>0；(4)2x2＋x＋1<0.
解 (1)原不等式可化为(3x－1)(x＋2)>0，所以原不等式的解集为(－∞， －2)∪13，＋∞.
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答案
2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)不等式 x2－2x＋3>0 的解集为________． (2)不等式－x2－3x＋4>0 的解集为________． (3)已知不等式 ax2－bx＋2<0 的解集为{x|1<x<2}，则 a＋b＝________.
答案 (1)R (2){x|－4<x<1} (3)4
)
A.1t ，t
B．(－∞，t)∪1t ，＋∞
C.－∞，1t ∪(t，＋∞)
D.t，1t
答案 A 解析 ∵t>2，∴t>1t ，∴(x－t)x－1t <0 的解集为1t ，t.
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解析
5．解不等式 1<x2－3x＋1<9－x.
由 a2－a＝a(a－1)可知：
①当 a<0 或 a>1 时，a2>a.
解原不等式得 x>a2 或 x<a，不等式的解集为(－∞，a)∪(a2，＋∞)．
②当 0<a<1 时，a2<a，解原不等式得 x>a 或 x<a2，不等式的解集为(－∞，
a2)∪(a，＋∞)．
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因此原不等式的解集为[－1,5]．
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(3)原不等式可化为2x－292≤0，所以原不等式的解集为xx＝94
.
(4)原不等式可化为 x2－6x＋10<0，即(x－3)2＋1<0，因此原不等式的解集
为∅.
(5)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0，即 2x－342＋78>0，因此原不等式的解 集为 R.
2.2.3 一元(yī yuán)二次不等式的解法
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(教师独具内容) 课程标准：1.理解一元二次不等式和一元二次不等式的解集的概念.2.理 解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系.3.熟练掌握一元二 次不等式的两种解法． 教学重点：1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关 系.2.一元二次不等式的解法． 教学难点：一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.
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2．含有参数的一元二次型的不等式 在解含有参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论， 为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑： ①关于不等式类型的讨论：二次项系数 a>0，a<0，a＝0. ②关于不等式对应的方程根的讨论：两个不同的实根(Δ>0)，两个相同的 实根(Δ＝0)，无实根(Δ<0)． ③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2.
当 0<a<1 时，原不等式的解集为(－∞，a2)∪(a，＋∞)；
当 a＝0 时，原不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当 a＝1 时，原不等式的解集为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
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题型二 含参数的一元二次不等式的解法 例 2 求不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)的解集．
[解] 若 a＝0，原不等式为－x＋1<0，解集为(1，＋∞)；
若 a<0，原不等式可化为x－1a(x－1)>0，解集为－∞，1a∪(1，＋∞)； 若 a>0，原不等式可化为x－1a(x－1)<0，(*) 其解的情况应由1a与 1 的大小关系决定，故
A．(0,2) B．(－2,1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
答案 B
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解析 ∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0，∴x2＋x－2<0 即(x－1)(x＋ 2)<0，解集为(－2,1)．∴选 B.
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解析 A 的解集为 R；B 的解集是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)；方程 x2＋ 4x－4＝0 的 Δ＝42＋4×4>0，故 C 的解集不为空集，用排除法应选 D.
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2．在 R 上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足 x⊙(x－2)<0 的实数 x 的取值范围为( )
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【新知拓展】 1．代数法 将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解． 当 m<n 时，若(x－m)(x－n)>0，则可得 x>n 或 x<m； 若(x－m)(x－n)<0，则可得 m<x<n. 有口诀如下：大于取两边，小于取中间．
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题型一 不含参数的一元二次不等式的解法 例 1 求下列不等式的解集： (1)2x2＋7x＋3>0；(2)x2－4x－5≤0； (3)－4x2＋18x－841≥0；(4)－12x2＋3x－5>0； (5)－2x2＋3x－2<0.
ax2＋bx＋c＝0 的解有关．( )
(4)设二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两解为 x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式
ax2＋bx＋c>0 的解集不可能为{x|x1<x<x2}．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
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解 由 x2－3x＋1>1 得 x2－3x>0， x(x－3)>0，不等式的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞)． 由 x2－3x＋1<9－x，得 x2－2x－8<0， (x＋2)(x－4)<0，不等式的解集为(－2,4)． (－∞，0)∪(3，＋∞)与(－2,4)的交集为(－2,0)∪(3,4)，所以，原不等式 的解集为(－2,0)∪(3,4)．
为(1，＋∞)；当 0<a<1 时，解集为1，1a；当 a＝1 时，解集为∅；当 a>1 时，
解集为1a，1. 12/9/2021 核心概念掌握
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金版点睛 解含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大 于 0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
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金版点睛 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为 0，使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则用配方法求解．
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[解] (1)方程可变为(2x＋1)(x＋3)>0，从而转化为两个不等式组
2x＋1>0， x＋3>0
或2x＋x＋3<1<0.0，
因此原不等式的解集为(－∞，－3)∪－12，＋∞. (2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，
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【情境导学】(教师独具内容) 我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积(矩形面积)，八百六 十四(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少 12 步)，问阔及长各几 步？” 若将上述问题改为“阔(宽)不及长一十二步(宽比长少 12 步)，直田积(矩 形面积)不小于八百六十四(平方步)”，你能求出阔和长的取值范围吗？
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)x(x－2)>0 的解集为(0,2)．( )
(2)(x＋a)(x＋a＋1)<0(a 是常数)是一元二次不等式．( )
(3)不论实数 a 取什么值，不等式 ax2＋bx＋c≥0 的解集一定与相应方程
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解析
3．不等式－0.1x2－5x＋3000>0 的解集为( ) A．(－∞，－200) B．(150，＋∞) C．(150,200) D．(－200,150)
答案 D
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答案
①当 a＝1 时，由(*)式可得解集为∅；
②当 a>1 时，由(*)式可得解集为1a，1；
③当 0<a<1 时，由(*)式可得解集为1，1a.
综上所述，当 a<0 时，解集为－∞，1a∪(1，＋∞)；当 a＝0 时，解集
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答案
(2) 原 不 等 式 可 化 为 (3x － 1)2>0 ， 所 以 原 不 等 式 的 解 集 为 －∞，13 ∪ 13，＋∞.
(3)原不等式可化为(x－2)2＋1>0，所以原不等式的解集为 R. (4)原不等式可化为 2x＋142＋78<0，所以原不等式的解集为∅.
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【知识导学】
知识点 一元二次不等式的概念
一般地，形如 ax2＋bx＋c>0 的不等式称为 □01 一元二次 不等式，其中 a， b，c 是常数，而且 □02 a≠0 .一元二次不等式中的不等号也可以是 □03 “<”“≥”“≤”等．