2020年揭阳市初二数学下期中试题含答案

2020年揭阳市初二数学下期中试题含答案
一、选择题
1．下列运算正确的是（ ） A ．347+=
B ．1232=
C ．2(-2)2=-
D ．
1421
6
= 2．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB BC =时，它是菱形 B ．当AC BD ⊥时，它是菱形 C ．当90ABC ︒∠=时，它是矩形 D ．当AC BD =时，它是正方形
3．如图，ABC 中，CD AB ⊥于,D E 是AC 的中点．若6,5,AD DE ==则CD 的长
等于（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
4．如图，直线y x m =-+与3y
x 的交点的横坐标为-2，则关于x 的不等式
30x m x -+>+>的取值范围（ ）
A ．x>-2
B ．x<-2
C ．-3<x<-2
D ．-3<x<-1
5．星期天晚饭后，小丽的爸爸从家里出去散步，如图描述了她爸爸散步过程中离家的距离（km ）与散步所用的时间（min ）之间的函数关系，依据图象，下面描述符合小丽爸爸散步情景的是（ ）
A ．从家出发，休息一会，就回家
B ．从家出发，一直散步（没有停留），然后回家
C ．从家出发，休息一会，返回用时20分钟
D ．从家出发，休息一会，继续行走一段，然后回家
6．在水平地面上有一棵高9米的大树， 和一棵高4米的小树，两树之间的水平距离是12米，一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行( )
A ．12米
B ．13米
C ．9米
D ．17米
7．对于次函数21y x =-，下列结论错误的是( )
A ．图象过点()0,1-
B ．图象与x 轴的交点坐标为1(,0)2
C ．图象沿y 轴向上平移1个单位长度，得到直线2y x =
D ．图象经过第一、二、三象限
8．如图所示，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE EB =，3OE =，5AB =，▱ABCD 的周长（ ）
A ．11
B ．13
C ．16
D ．22
9．如图，点E F G H 、、、分别是四边形ABCD 边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.则下列说法：①若AC BD =，则四边形EFGH 为矩形；②若AC BD ⊥，则四边形EFGH 为菱形；③若四边形EFGH 是平行四边形，则AC 与BD 互相平分；④若四边形EFGH 是正方形，则AC 与BD 互相垂直且相等.其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．下列运算正确的是（ ） A 235+=B 3
62
=C 2
35=
D 1
333
=
11．为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2）观察所得到的四边形，下列判断正确的是（）
A．∠BCA＝45°B．AC＝BD
C．BD的长度变小D．AC⊥BD
12．小带和小路两个人开车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，小带和小路两人车离开A城的距离y(km)与行驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示．有下列结论；
①A，B两城相距300 km；②小路的车比小带的车晚出发1 h，却早到1 h；③小路的车出
发后2.5 h追上小带的车；④当小带和小路的车相距50 km时，t＝5
4
或t＝
15
4
.其中正确的
结论有()
A．①②③④B．①②④
C．①②D．②③④
二、填空题
13．某校在“爱护地球，绿化祖国“的创建活动中，组织了100名学生开展植数造林活动，其植树情况整理如下表：
植树棵数（单位：棵）456810
人数（人）302225158
则这100名学生所植树棵数的中位数为_____．
14．小明这学期第一次数学考试得了72分，第二次数学考试得了86分，为了达到三次考试的平均成绩不少于80分的目标，他第三次数学考试至少得____分．
15．如图所示的网格是正方形网格，则BAC DAE
∠-∠=__________︒（点A，B，C，D，E是网格线交点）．
16．在矩形ABCD 中，点E 为AD 的中点，点F 是BC 上的一点，连接EF 和DF ，若AB=4，BC=8，EF=25，则DF 的长为___________．
17．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边上的高，AC ＝4，BC ＝3，则CD ＝______．
18．如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿翻折，
点落在点处，当
为直角三角形时，________.
19．在△ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=2，则AB 边上的中线CD=______．
20．放学后，小刚和同学边聊边往家走，突然想起今天是妈妈的生日，赶紧加快速度，跑步回家．小刚离家的距离()s m 和放学后的时间之间()t min 的关系如图所示，给出下列结论：①小刚边走边聊阶段的行走速度是125/m min ；②小刚家离学校的距离是1000m ；③小刚回到家时已放学10min ；④小刚从学校回到家的平均速度是100/m min .其中正确的是_____(把你认为正确答案的序号都填上)
三、解答题
21．ABC ∆在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将ABC ∆向右平移3个单位，再向下平移1个单位到111A B C ∆，111A B C ∆和222A B C ∆关于x 轴对称．
（1）画出111A B C ∆和222A B C ∆；
（2）在x 轴上确定一点P ，使1BP A P +的值最小，试求出点P 的坐标．
22．如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，∠EAC=90°，点M 为射线AE 上任意一点（不与A 重合），连接CM ，将线段CM 绕点C 按顺时针方向旋转90°得到线段CN ，直线NB 分别交直线CM 、射线AE 于点F 、D ． （1）直接写出∠NDE 的度数；
（2）如图2、图3，当∠EAC 为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由； （3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM 与AB 交于G ，BD=62
+，其他条件不变，求线段AM 的长．
23．D E 、分别是三角形ABC 的边AB AC 、的中点，O 是ABC 所在平面上的动点，连接OB OC 、，点G F 、分别是OB OC 、的中点，顺次连接点.D G F E 、、、
（1）如图，当点O 在ABC 的内部时，求证：四边形DGFE 是平行四边形； （2）若四边形DGFE 是菱形，则OA 与BC 应满足怎样的关系？若四边形DGFE 是矩形，则OA 与BC 应满足怎样的关系？(直接写出答案，不需要说明理由)
24．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，过点E 作EF ∥AB ，交BC 于点F ．
（1）求证：四边形DBFE 是平行四边形；
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形DBEF 是菱形；为什么．
25．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、
；
（3）如图3，点A 、B 、C 是小正方形的顶点，求∠ABC 的度数．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B、C进行判断；根据分母有理化和二次根式的性质对D进行判断．
【详解】
A2，所以A选项错误；
B、原式＝B选项错误；
C、原式＝2，所以C选项错误；
=，所以D选项正确．
D
故选D．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据特殊平行四边形的判定方法判断即可.
【详解】
解：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，A选项正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，B选项正确；有一个角是直角的平行四边形是矩形，C选项正确；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，D选项错误.
故答案为：D
【点睛】
本题考查了特殊平行四边形的判定方法，熟练掌握特殊平行四边形与平行四边形之间的关系是判定的关键.
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
先根据直角三角形的性质求出AC的长，再根据勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：∵ABC 中，CD AB ⊥于D ， ∴∠ADC =90°，则ADC 为直角三角形， ∵E 是AC 的中点，DE =5， ∴AC =2DE =10，
在Rt ADC 中，AD =6，AC =10，
∴8CD =，
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
解：∵直线y x m =-+与3y
x
的交点的横坐标为﹣2，
∴关于x 的不等式3x m x -+>+的解集为x ＜﹣2， ∵y=x+3=0时，x=﹣3，∴x+3＞0的解集是x ＞﹣3， ∴3x m x -+>+＞0的解集是﹣3＜x ＜﹣2， 故选C ． 【点睛】
本题考查一次函数与一元一次不等式．
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用函数图象，得出各段的时间以及离家的距离变化，进而得出答案． 【详解】
由图象可得出：小丽的爸爸从家里出去散步10分钟，休息20分钟，再向前走10分钟，然后利用20分钟回家． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了函数的图象，解题的关键是要看懂图象的横纵坐标所表示的意义，然后再进行解答．
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】
如图，设大树高为AB=9m ，小树高为CD=4m ，过C 点作CE ⊥AB 于E ，则EBDC 是矩形，连接AC ，
∴EB=4m ，EC=12m ，AE=AB-EB=9-4=5m ， 在Rt △AEC 222251213AE EC m ++==．
故小鸟至少飞行13m ． 故选：B. 【点睛】
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据一次函数的性质对D 进行判断；根据一次函数图象上点的坐标特征对A 、B 进行判断；根据一次函数的几何变换对C 进行判断． 【详解】
A 、图象过点()0,1-，不符合题意；
B 、函数的图象与x 轴的交点坐标是1(,0)2
，不符合题意；
C 、图象沿y 轴向上平移1个单位长度，得到直线2y x =，不符合题意；
D 、图象经过第一、三、四象限，符合题意； 故选：D ． 【点睛】
本题考查了一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象的几何变换，属于基础题．
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据平行四边形性质可得OE 是三角形ABD 的中位线，可进一步求解. 【详解】
因为▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE EB
=，
所以OE是三角形ABD的中位线，
所以AD=2OE=6
所以▱ABCD的周长=2（AB+AD）=22
故选D
【点睛】
本题考查了平行四边形性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形.
【详解】
因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，
当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，
故④选项正确，
故选A．
【点睛】
本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【详解】
A、原式+
=，故错误；
B
2
C、原式，故C错误；
=，正确；
D3
故选：D．
【点睛】
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算，本题属于基础题型．11．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据矩形的性质即可判断；
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD．
故选B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质．矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得小带、小路两车离开A城的距离y与时间t 的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．
【详解】
由图象可知A，B两城市之间的距离为300 km，小带行驶的时间为5 h，而小路是在小带出发1 h后出发的，且用时3 h，即比小带早到1 h，
∴①②都正确；
设小带车离开A城的距离y与t的关系式为y小带＝kt，
把(5，300)代入可求得k＝60，
∴y小带＝60t，
设小路车离开A城的距离y与t的关系式为y小路＝mt＋n，
把(1，0)和(4，300)代入可得
0 4300 m n
m n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得
100
100 m
n
=
⎧
⎨
=-
⎩
∴y小路＝100t－100，
令y小带＝y小路，可得60t＝100t－100，
解得t＝2.5，
即小带和小路两直线的交点横坐标为t＝2.5，
此时小路出发时间为1.5 h，即小路车出发1.5 h后追上甲车，∴③不正确；
令|y小带－y小路|＝50，
可得|60t－100t＋100|＝50，即|100－40t|＝50，
当100－40t＝50时，
可解得t＝5
4
，
当100－40t＝－50时，
可解得t＝15
4
，
又当t＝5
6
时，y小带＝50，此时小路还没出发，
当t＝25
6
时，小路到达B城，y小带＝250.
综上可知当t的值为5
4
或
15
4
或
5
6
或
25
6
时，两车相距50 km，
∴④不正确．
故选C.
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．
二、填空题
13．5【解析】【分析】直接利用中位数定义求解【详解】第50个数和第55个数都是5所以这100名学生所植树棵数的中位数为5（棵）故答案为5【点睛】考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排
解析：5
【解析】
【分析】
直接利用中位数定义求解．
【详解】
第50个数和第55个数都是5，
所以这100名学生所植树棵数的中位数为5（棵）．
故答案为5．
【点睛】
考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间
两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
14．82【解析】【分析】设第三次考试成绩为x根据三次考试的平均成绩不少于80分列不等式求出x的取值范围即可得答案【详解】设第三次考试成绩为x∵三次考试的平均成绩不少于80分∴解得：∴他第三次数学考试至少
解析：82
【解析】
【分析】
设第三次考试成绩为x，根据三次考试的平均成绩不少于80分列不等式，求出x的取值范围即可得答案．
【详解】
设第三次考试成绩为x，
∵三次考试的平均成绩不少于80分，
∴7286
80
3
x
++
≥，
解得：82
x≥，
∴他第三次数学考试至少得82分，
故答案为：82
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的应用．熟练掌握求平均数的方法，根据不等关系正确列出不等式是解题关键．
15．【解析】【分析】连接CGAG根据勾股定理的逆定理可得∠CAG=90°从而知△CAG是等腰直角三角形根据平行线的性质和三角形全等可知∠BAC-
∠DAE=∠ACG即可得解【详解】解:如图连接CGAG由勾
解析：45
【解析】
【分析】
连接CG、AG,根据勾股定理的逆定理可得∠CAG=90°,从而知△CAG是等腰直角三角形,根据平行线的性质和三角形全等,可知,∠BAC-∠DAE=∠ACG,即可得解．
【详解】
解:如图,连接CG、AG,
由勾股定理得:AC2=AG2=12+22=5，CG2=12+32=10,
∴AC2+AG2=CG2,
∴∠CAG=90°,
∴△CAG是等腰直角三角形,
∴∠ACG=45°,
∵CF∥AB,
∴∠ACF=∠BAC,
在△CFG和△ADE中,
∵CF＝AD, ∠CFG＝∠ADE＝90°, FG＝DE,
∴△CFG≌△ADE（SAS）,
∴∠FCG=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAE=∠ACF-∠FCG=∠ACG=45°,
故答案为：45．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理,勾股定理,三角形的全等的性质, 等腰直角三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键．
16．或【解析】【分析】分两种情况考虑①当BF＞CF时②当BF＜CF时然后过F作FG⊥AD于G根据勾股定理进行求解【详解】①如图所示当BF＞CF时过F 作FG⊥AD于G则GF＝4Rt△EFG中又∵E是AD的
解析：25或213
【解析】
【分析】
分两种情况考虑，①当BF＞CF时，②当BF＜CF时，然后过F作FG⊥AD于G，根据勾股定理进行求解．
【详解】
①如图所示，当BF＞CF时，过F作FG⊥AD于G，则GF＝4，
Rt△EFG中，()22
2542
EG=-=，
又∵E是AD的中点，AD＝BC＝8，
∴DE＝4，
∴DG＝4﹣2＝2，
∴Rt△DFG中，22
DF=+=；
4225
②如图所示，当BF＜CF时，过F作FG⊥AD于G，则GF＝4，
Rt△EFG中，()22
EG=-=，
2542
又∵E是AD的中点，AD＝BC＝8，
∴DG ＝4+2＝6，
∴Rt △DFG 中，2246213DF =+=，
故答案为：25或213．
【点睛】
本题考查矩形的性质，勾股定理，学会运用分类讨论的思想与巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17．4【解析】【分析】在Rt 中由勾股定理可求得AB 的长进而可根据三角形面积的不同表示方法求出CD 的长【详解】解：Rt 中AC=4mBC=3mAB=m∵∴m=24m 故答案为24m 【点睛】本题考查勾股定理掌握
解析：4
【解析】
【分析】
在Rt ABC 中，由勾股定理可求得AB 的长，进而可根据三角形面积的不同表示方法求出CD 的长．
【详解】
解：Rt ABC 中，AC=4m ，BC=3m
AB=
225AC BC +=m ∵1122
ABC S AC BC AB CD =⋅=⋅ ∴125
AC BC CD AB ⋅=
=m=2.4m 故答案为2.4 m
【点睛】 本题考查勾股定理，掌握勾股定理的公式结合利用面积法是解题关键．
18．3或6【解析】【分析】对直角△AEF 中那个角是直角分三种情况讨论再由折叠的性质和勾股定理可BE 的长【详解】解：如图若
∠AEF=90°∵∠B=∠BCD=90°=∠AEF∴四边形BCFE 是矩形∵将ABE
解析：3或6
【解析】
【分析】
对直角中那个角是直角分三种情况讨论，再由折叠的性质和勾股定理可BE 的长.
解：如图，若∠AEF=90°
∵∠B=∠BCD=90°=∠AEF
∴四边形BCFE是矩形
∵将ABEC沿着CE翻折
∴CB=CF
∵四边形BCFE是正方形
∴BE=BC-AD=6，
如图，若∠AFE=90°
∵将△BEC沿着CE翻折
∴CB=CF=6，∠B=∠EFC=90°，BE=EF
∵∠AFE+∠EFC=180°
∴点A，点F，点C三点共线
∴
∴AF=AC-CF=4
∵
∴
∴BE=3，
若∠EAF=90°，
∵CD=8> CF=6
∴点F不可能落在直线AD上
∴.不存在∠EAF=90
综上所述：BE=3或6
故答案为：3或6
【点睛】
本题主要考查的是翻折的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，依据题意画出符合题意的图形是解题的关键.
19．【解析】【分析】先运用勾股定理求出斜边AB 然后再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可【详解】解：由勾股定理得
AB ∵∠C=90°CD 为AB 边上的中线∴CD=AB=故答案为【点睛】本题考查的
【解析】
【分析】
先运用勾股定理求出斜边AB ，然后再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】
解：由勾股定理得，=∵∠C=90°，CD 为AB 边上的中线，
∴CD=
12 ． 【点睛】 本题考查的是勾股定理和直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解答本题的关键．
20．【解析】【分析】由0≤t≤8所对应的图象表示小刚边走边聊阶段根据速度=路程÷时间可判断①；由t=0时s=1000的实际意义可判断②；根据t=10时s=0可判断③；总路程除以所用总时间即可判断④【详解
解析：②③④
【解析】
【分析】
由0≤t≤8所对应的图象表示小刚边走边聊阶段，根据速度=路程÷时间可判断①；由t=0时s=1000的实际意义可判断②；根据t=10时s=0可判断③；总路程除以所用总时间即可判断④．
【详解】 ①小刚边走边聊阶段的行走速度是10006008
-=50（m/min ），故①错误； ②当t=0时，s=1000，即小刚家离学校的距离是1000m ，故②正确；
③当s=0时，t=10，即小刚回到家时已放学10min ，故③正确； ④小刚从学校回到家的平均速度是
100010
=100（m/min ），故④正确； ∴正确的是②③④．
故答案为：②③④．
【点睛】
此题考查一次函数的图象解决实际问题，正确理解题意、理解函数图象横、纵坐标表示的意义是解题的关键．
三、解答题
21．（1）详见解析；（2）3
,05P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】
（1）△ABC 向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2关于x 轴对称，据此作图即可；
（2）依据轴对称的性质，连接BA 2，交x 轴于点P ，此时BP+A 1P 的值最小，依据直线BA 2的解析式，即可得到点P 的坐标．
【详解】
解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2即为所求；
（2）如图所示，连接BA 2，交x 轴于点P ，则点P 即为所求；
设直线BA 2的解析式为y kx b =+，由B （-3，2），A 2（3，-3）可得，
3233k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得5612
k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴直线BA 2的解析式为y=5162x =-
- 当y=0时，51062
x --= 解得3
5
x =- ∴305P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
【点睛】
本题主要考查了利用平移以及轴对称变换进行作图以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
22．（1）∠NDE=90°；（2）不变，证明见解析；（3）∴
【解析】
【分析】
（1）根据题意证明△MAC ≌△NBC 即可；
（2）与（1）的证明方法相似，证明△MAC ≌△NBC 即可；
（3）作GK ⊥BC 于K ，证明AM=AG ，根据△MAC ≌△NBC ，得到∠BDA=90°，根据直角三角形的性质和已知条件求出AG 的长，得到答案．
【详解】
解：（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，
∴∠ACM=∠BCN ，
在△MAC 和△NBC 中，
{AB BC
ACM BCN MC NC
=∠=∠=，
∴△MAC ≌△NBC ，
∴∠NBC=∠MAC=90°，
又∵∠ACB=90°，∠EAC=90°，
∴∠NDE=90°；
（2）不变，
在△MAC ≌△NBC 中，
{AB BC
ACM BCN MC NC
=∠=∠=，
∴△MAC ≌△NBC ，
∴∠N=∠AMC ，
又∵∠MFD=∠NFC ，
∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°；
（3）作GK ⊥BC 于K ，
∵∠EAC=15°，
∴∠BAD=30°，
∵∠ACM=60°，
∴∠GCB=30°，
∴∠AGC=∠ABC+∠GCB=75°，
∠AMG=75°，
∴AM=AG ，
∵△MAC ≌△NBC ，
∴∠MAC=∠NBC ，
∴∠BDA=∠BCA=90°，
∵BD=622+， ∴AB=62+
， AC=BC=3+1，
设BK=a ，则GK=a ，CK=3a ，
∴a+3a=3+1，
∴a=1，
∴KB=KG=1，BG=2，
AG=6，
∴AM=6．
【点睛】
本题考查几何变换综合题．
23．（1）见解析；（2）OA=OB,OA BC ⊥
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE ∥BC 且DE ＝12BC ，GF ∥BC 且GF ＝12
BC ，从而得到DE ∥GF ，DE ＝GF ，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形,有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．
【详解】
()1,D E 分别是,AB AC 的中点.
1//,2DE BC DE BC ∴=
,G F 分别是,OB OC 的中点
1//,2GF BC GF BC ∴=
//,
DE GF DE GF
∴=
∴四边形DGFE是平行四边形.
()2若四边形DGFE是菱形，则DG=GF,
由(1)中位线可知GF平行且等于1
2
BC,DG平行且等于
1
2
AO
∴OA BC
=
若四边形DGFE是矩形，则DG⊥GF,
∵DG∥AO,GF∥BC
∴OA BC
⊥
【点睛】
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系，熟记的定理和性质是解题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）当AB=BC时，四边形DBEF是菱形，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明.
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明．
【详解】
解：（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE∥BC.
又∵EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形.
（2）当AB=BC时，四边形DBEF是菱形．
理由如下：
∵D是AB的中点，
∴BD= AB.
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE= BC.
∵AB=BC，
∴BD=DE.
又∵四边形DBFE是平行四边形，
∴四边形DBFE是菱形．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系，熟记性质与判定方法是解题的关键．
25．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）450
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理画出边长为的正方形即可；
（2）根据勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可；
（3）连接AC、CD，求出△ACB是等腰直角三角形即可．
【详解】
（1）如图1的正方形的边长是，面积是10；
（2）如图2的三角形的边长分别为2，、；
（3）如图3，连接AC，
因为AB2=22+42=20，AC2=32+12=10,BC2=32+12=10,
所以AB2= AC2+ BC2，AC=BC
∴三角形ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠BAC=45°．
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理，三角形的面积，直角三角形的判定的应用，主要考查学生的计算能力和动手操作能力．。