人教全国备战中考数学圆的综合的综合备战中考模拟和真题汇总及答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．
（1）求证：AE=BE；
（2）求证：FE是⊙O的切线；
（3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.
【解析】（1）证明：连接CE，如图1所示：
∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∴CE⊥AB；
又∵AC=BC，∴AE=BE．
（2）证明：连接OE，如图2所示：
∵BE=AE，OB=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，AC=2OE=6．
又∵EG⊥AC，∴FE⊥OE，∴FE是⊙O的切线．
（3）解：∵EF是⊙O的切线，∴FE2=FC•FB．
设FC=x，则有2FB=16，∴FB=8，∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6，∴OB=OC=3，即⊙O的半径为3；∴OE=3．
∵OE∥AC，∴△FCG∽△FOE，∴，即，解得：CG=．
点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识．
2．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）首先连接OC，由OC=OA，，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；
（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据
AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB 中，利用已知条件求得答案．
试题解析：（1）证明：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∵
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵DE切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
∴AE⊥DE；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠CBA=60°，
∴∠BAC=∠EAC=30°，
∵△AEC为直角三角形，AE=3，
∴AC=2，
连接OF，
∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，
∴△OAF为等边三角形，
∴AF=OA=AB，
在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，
∴BC=2，
∴AB=4，
∴AF=2．
考点：切线的性质．
3．如图，⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（3，﹣1），点A 的坐标为（﹣2，3），点B 的坐标为（﹣3，0），点C 在x 轴上，且点D 在点A 的左侧． （1）求菱形ABCD 的周长；
（2）若⊙M 沿x 轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD 沿x 轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t （秒），当⊙M 与BC 相切，且切点为BC 的中点时，连接BD ，求：
①t 的值；
②∠MBD 的度数；
（3）在（2）的条件下，当点M 与BD 所在的直线的距离为1时，求t 的值．
【答案】（1）8；（2）①7；②105°；（3）t=633 【解析】 分析：（1）根据勾股定理求菱形的边长为2，所以可得周长为8；
（2）①如图2，先根据坐标求EF 的长，由EE '﹣FE '=EF =7，列式得：3t ﹣2t =7，可得t 的值；
②先求∠EBA =60°，则∠FBA =120°，再得∠MBF =45°，相加可得：
∠MBD =∠MBF +∠FBD =45°+60°=105°；
（3）分两种情况讨论：作出距离MN 和ME ，第一种情况：如图5由距离为1可知：BD 为⊙M 的切线，由BC 是⊙M 的切线，得∠MBE =30°，列式为3t 3=2t +6，解出即可； 第二种情况：如图6，同理可得t 的值．
详解：（1）如图1，过A 作AE ⊥BC 于E ．
∵点A 的坐标为（﹣23），点B 的坐标为（﹣3，0），∴AE 3，BE =3﹣2=1，∴AB 22AE BE +2231+（）
=2． ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD =2，∴菱形ABCD 的周长=2×4=8；
（2）①如图2，⊙M 与x 轴的切点为F ，BC 的中点为E ．
∵M （3，﹣1），∴F （3，0）．
∵BC =2，且E 为BC 的中点，∴E （﹣4，0），∴EF =7，即EE '﹣FE '=EF ，∴3t ﹣2t =7，t =7；
②由（1）可知：BE=1，AE=3，
∴tan∠EBA=AE
BE =
3
1
=3，∴∠EBA=60°，如图4，∴∠FBA=120°．
∵四边形ABCD是菱形，∴∠FBD=1
2
∠FBA=1120
2
⨯︒=60°．
∵BC是⊙M的切线，∴MF⊥BC．
∵F是BC的中点，∴BF=MF=1，∴△BFM是等腰直角三角形，
∴∠MBF=45°，∴∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；
（3）连接BM，过M作MN⊥BD，垂足为N，作ME⊥BC于E，分两种情况：第一种情况：如图5．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠CBD=60°，∴∠NBE=60°．
∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．
∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=30°．
∵ME=1，∴EB=3，∴3t+3=2t+6，t=6﹣3；
第二种情况：如图6．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠DBC=60°，∴∠NBE=120°．
∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．
∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=60°．
∵ME=MN=1，∴Rt△BEM中，tan60°=ME
BE
，EB=
1
60
tan︒
=
3
3
，
∴3t=2t+6+3，t=6+3；
综上所述：当点M与BD所在的直线的距离为1时，t=6﹣3或6+3
．
点睛：本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间t的值．
4．如图1，延长⊙O的直径AB至点C，使得BC=1
2
AB，点P是⊙O上半部分的一个动点
（点P不与A、B重合），连结OP，CP．
（1）∠C的最大度数为；
（2）当⊙O的半径为3时，△OPC的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；
（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连结DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．
【答案】（1）30°；（2）有最大值为9，理由见解析；（3）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；（2）由△OPC的边OC是定值，得到当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，于是得到结论；
（3）根据全等三角形的性质得到AP=DB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C，得到
CO=OB+OB=AB，推出△APB≌△CPO，根据全等三角形的性质得到∠CPO=∠APB，根据圆周角定理得到∠APB=90°，即可得到结论．
试题解析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如图1，所示：
∵sin∠OCP=OP
OC =
2
4
=
1
2
，∴∠OCP=30°
∴∠OCP的最大度数为30°，故答案为：30°；
（2）有最大值，理由：
∵△OPC的边OC是定值，∴当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，
而点P在⊙O上半圆上运动，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，
也就是高为半径长，∴最大值S△OPC=1 2
OC•OP=
1
2
×6×3=9；
（3）连结AP，BP，如图2，
在△OAP与△OBD中，
OA OD
AOP BOD
OP OB
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△OAP≌△OBD，∴AP=DB，
∵PC=DB，∴AP=PC，
∵PA=PC，∴∠A=∠C，
∵BC=1
2
AB=OB，∴CO=OB+OB=AB
，
在△APB和△CPO中，
AP CP
A C
AB CO
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△APB≌△CPO，∴∠CPO=∠APB，
∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴∠CPO=90°，
∴PC切⊙O于点P，即CP是⊙O的切线．
5．如图1，四边形ABCD为⊙O内接四边形，连接AC、CO、BO，点C为弧BD的中点．（1）求证：∠DAC=∠ACO+∠ABO；
（2）如图2，点E在OC上，连接EB，延长CO交AB于点F，若∠DAB=∠OBA+∠EBA．求证：EF=EB；
（3）在（2）的条件下，如图3，若OE+EB=AB，CE=2，AB=13，求AD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AD=7．
【解析】
试题分析：（1）如图1中，连接OA，只要证明∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO，由点C是
=，推出∠BAC=∠DAC，即可推出∠DAC=∠ACO+∠ABO；
BD中点，推出CD CB
（2）想办法证明∠EFB=∠EBF即可；
（3）如图3中，过点O作OH⊥AB，垂足为H，延长BE交HO的延长线于G，作BN⊥CF 于N，作CK⊥AD于K，连接OA．作CT∠⊥AB于T．首先证明△EFB是等边三角形，再证明△ACK≌△ACT，Rt△DKC≌Rt△BTC，延长即可解决问题；
试题解析：（1）如图1中，连接OA，
∵OA=OC，∴∠1=∠ACO，
∵OA=OB，∴∠2=∠ABO，∴∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO，
∵点C是BD中点，∴CD CB
=，∴∠BAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠ACO+∠ABO．
（2）如图2中，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=2∠CAB，∠COB=2∠BAC，∴∠BAD=∠BOC，
∵∠DAB=∠OBA+∠EBA，∴∠BOC=∠OBA+∠EBA，
∴∠EFB=∠EBF，∴EF=EB．
（3）如图3中，过点O作OH⊥AB，垂足为H，延长BE交HO的延长线于G，作BN⊥CF 于N，作CK⊥AD于K，连接OA．作CT∠⊥AB于T．
∵∠EBA+∠G=90°，∠CFB+∠HOF=90°，
∵∠EFB=∠EBF，∴∠G=∠HOF，
∵∠HOF=∠EOG，∴∠G=∠EOG，∴EG=EO，
∵OH⊥AB，∴AB=2HB，
∵OE+EB=AB ，∴GE+EB=2HB ，∴GB=2HB ，
∴cos ∠GBA=
12
HB GB = ，∴∠GBA=60°， ∴△EFB 是等边三角形，设HF=a ，
∵∠FOH=30°，∴OF=2FH=2a ， ∵AB=13，∴EF=EB=FB=FH+BH=a+
132， ∴OE=EF ﹣OF=FB ﹣OF=
132﹣a ，OB=OC=OE+EC=132﹣a+2=172﹣a ， ∵NE=12EF=12a+134
， ∴ON=OE=EN=（
132﹣a ）﹣（12a+134）=134﹣32
a ， ∵BO 2﹣ON 2=EB 2﹣EN 2， ∴（172﹣a ）2﹣（134﹣32a ）2=（a+132）2﹣（12a+134
）2， 解得a=
32
或﹣10（舍弃）， ∴OE=5，EB=8，OB=7， ∵∠K=∠ATC=90°，∠KAC=∠TAC ，AC=AC ，∴△ACK ≌△ACT ，∴CK=CT ，AK=AT ， ∵CD CB =，∴DC=BC ，∴Rt △DKC ≌Rt △BTC ，∴DK=BT ，
∵FT=12
FC=5，∴DK=TB=FB ﹣FT=3，∴AK=AT=AB ﹣TB=10，∴AD=AK ﹣DK=10﹣3=7．
6．对于平面直角坐标系xOy 中的线段MN 和点P ，给出如下定义：点A 是线段MN 上一个动点，过点A 作线段MN 的垂线l ，点P 是垂线l 上的另外一个动点．如果以点P 为旋转中心，将垂线l 沿逆时针方向旋转60°后与线段MN 有公共点，我们就称点P 是线段MN 的“关联点”．
如图，M （1，2），N （4，2）．
（1） 在点P 1（1，3），P 2（4，0），P 3（3，2）中，线段MN 的“关联点”有 ；
（2） 如果点P 在直线1y x =+上，且点P 是线段MN 的“关联点”，求点P 的横坐标x 的取值范围；
（3） 如果点P 在以O （1，1-）为圆心，r 为半径的⊙O 上，且点P 是线段MN 的“关联点”，直接写出⊙O 半径r 的取值范围．
【答案】（1）P 1和P 3；（2）3311x -≤≤
；（3）333 3.r +≤≤ 【解析】
【分析】 （1）先根据题意求出点P 的横坐标的范围，再求出P 点的纵坐标范围即可得出结果； （2）由直线y=x+1经过点M （1，2），得出x≥1，设直线y=x+1与P 4N 交于点A ，过点A 作AB ⊥MN 于B ，延长AB 交x 轴于C ，则在△AMN 中，MN=3，∠AMN=45°，
∠ANM=30°，设AB=MB=a ，tan ∠ANM=AB BN ，即tan30°=3a a
-，求出a 即可得出结果； （3）圆心O 到P 4的距离为r 的最大值，圆心O 到MP 5的距离为r 的最小值，分别求出两个距离即可得出结果．
【详解】
（1））如图1所示：
∵点A 是线段MN 上一个动点，过点A 作线段MN 的垂线l ，点P 是垂线l 上的另外一个动点，M （1，2），N （4，2），
∴点P 的横坐标1≤x≤4，
∵以点P 为旋转中心，将垂线l 沿逆时针方向旋转60°后与线段MN 有公共点， 当∠MPN=60°时，PM=
60MN tan ︒
33 同理3，
∴点P 的纵坐标为3或3
即纵坐标33
∴线段MN 的“关联点”有P 1和P 3；
故答案为：P 1和P 3；
（2）线段MN 的“关联点”P 的位置如图所示，
∵ 直线1y x =+经过点M （1，2），
∴ x ≥1.
设直线1y x =+与P 4N 交于点A .
过点A 作AB ⊥MN 于B ，延长AB 交x 轴于C .
由题意易知，在△AMN 中，MN = 3，∠AMN = 45°，∠ANM = 30°.
设AB = MB = a ，
∴ tan AB ANM BN ∠=，即tan303a a ︒=-， 解得333.a -= ∴ 点A 的横坐标为33333111.22x a --=+=
+= ∴331.x -≤ 综上 3311.2x -≤≤
（3）点P 在以O （1，-1）为圆心，r 为半径的⊙O 上，且点P 是线段MN 的“关联点”，如图3所示：
连接P 4O 交x 轴于点D ，P 4、M 、D 、O 共线，
则圆心O 到P 4的距离为r 的最大值，由（1）知：MP 4=NP 53
即OD+DM+MP 4=1+2+3=3+3， 圆心O 到MP 5的距离为r 的最小值，作OE ⊥MP 5于E ，连接OP 5，
则OE 为r 的最小值，
MP 5=225
MN NP +=223(3)+=23，OM=OD+DM=1+2=3， △OMP 5的面积=
12OE•MP 5=12OM•MN ，即12×OE×23=12×3×3， 解得：OE=
33， ∴332≤r≤3+3． 【点睛】
本题是圆的综合题，考查了旋转、直角三角形的性质、勾股定理、最值等知识，熟练掌握“关联点”的含义，作出关于MN 的“关联点”图是关键．
7．如图1，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过O 点作OF ⊥AB 交⊙O 于点D ，交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG
(1)判断CG 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
(2)求证：2OB 2＝BC •BF ；
(3)如图2，当∠DCE ＝2∠F ，CE ＝3，DG ＝2.5时，求DE 的长．
【答案】（1）CG 与⊙O 相切，理由见解析；（2）见解析；（3）DE ＝2
【解析】
【分析】
（1）连接CE ，由AB 是直径知△ECF 是直角三角形，结合G 为EF 中点知∠AEO ＝∠GEC ＝∠GCE ，再由OA ＝OC 知∠OCA ＝∠OAC ，根据OF ⊥AB 可得∠OCA +∠GCE ＝90°，即OC ⊥GC ，据此即可得证；
（2）证△ABC ∽△FBO 得
BC AB BO BF =，结合AB ＝2BO 即可得； （3）证ECD ∽△EGC 得
EC ED EG EC =，根据CE ＝3，DG ＝2.5知32.53
DE DE =+，解之可得．
【详解】
解：（1）CG与⊙O相切，理由如下：
如图1，连接CE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACF＝90°，
∵点G是EF的中点，
∴GF＝GE＝GC，
∴∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵OF⊥AB，
∴∠OAC+∠AEO＝90°，
∴∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，
∴CG与⊙O相切；
（2）∵∠AOE＝∠FCE＝90°，∠AEO＝∠FEC，∴∠OAE＝∠F，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△FBO，
∴BC AB
=，即BO•AB＝BC•BF，
BO BF
∵AB＝2BO，
∴2OB2＝BC•BF；
（3）由（1）知GC＝GE＝GF，
∴∠F＝∠GCF，
∴∠EGC＝2∠F，
又∵∠DCE＝2∠F，
∴∠EGC＝∠DCE，
∵∠DEC＝∠CEG，
∴△ECD∽△EGC，
∴EC ED
=，
EG EC
∵CE ＝3，DG ＝2.5， ∴32.53
DE DE =+， 整理，得：DE 2+2.5DE ﹣9＝0，
解得：DE ＝2或DE ＝﹣4.5（舍），
故DE ＝2．
【点睛】
本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点．
8．如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CD 是⊙O 的切线，AD ⊥CD 于点D ，E 是AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于点F ，连接OC 、AC ．
（1）求证：AC 平分∠DAO ．
（2）若∠DAO=105°，∠E=30°
①求∠OCE 的度数； ②若⊙O 的半径为22，求线段EF 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）①∠OCE=45°；②EF =23
【解析】 【试题分析】（1）根据直线与⊙O 相切的性质，得OC ⊥CD.
又因为AD ⊥CD ，根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线也平行，得：AD//OC. ∠DAC=∠OCA.又因为OC=OA ，根据等边对等角，得∠OAC=∠OCA.等量代换得：∠DAC=∠OAC.根据角平分线的定义得：AC 平分∠DAO.
（2）①因为 AD//OC ，∠DAO=105°，根据两直线平行，同位角相等得，
∠EOC=∠DAO=105°，在OCE ∆ 中，∠E=30°，利用内角和定理，得：∠OCE=45°. ②作OG ⊥CE 于点G ，根据垂径定理可得FG=CG ， 因为OC=2，∠OCE=45°.等腰直角三2 倍，得CG=OG=2. FG=2.在Rt △OGE 中，∠E=30°，得GE=23 则EF=GE-FG=23
【试题解析】
（1）∵直线与⊙O 相切，∴OC ⊥CD.
又∵AD ⊥CD ，∴AD//OC.
∴∠DAC=∠OCA.
又∵OC=OA ，∴∠OAC=∠OCA.
∴∠DAC=∠OAC.
∴AC平分∠DAO.
（2）解：①∵AD//OC，∠DAO=105°，∴∠EOC=∠DAO=105°
∵∠E=30°，∴∠OCE=45°.
②作OG⊥CE于点G，可得FG=CG
∵OC=22，∠OCE=45°.∴CG=OG=2.
∴FG=2.
∵在Rt△OGE中，∠E=30°，∴GE=23.
∴EF=GE-FG=23-2.
【方法点睛】本题目是一道圆的综合题目，涉及到圆的切线的性质，平行线的性质及判定，三角形内角和，垂径定理，难度为中等.
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若∠C＝60°，AC＝12，求BD的长．
(3)若tan C＝2，AE＝8，求BF的长．
【答案】(1)见解析;(2) 2π；(3)10 3
.
【解析】
分析：（1）连接OD，根据等腰三角形的性质：等边对等角，得∠ABC=∠C，
∠ABC=∠ODB，从而得到∠C=∠ODB ，根据同位角相等，两直线平行，得到OD∥AC，从而得证OD⊥EF，即 EF是⊙O的切线；
（2）根据中点的性质，由AB=AC=12 ，求得OB=OD=1
2
AB=6，进而根据等边三角形的判
定得到△OBD是等边三角形，即∠BOD=600，从而根据弧长公式七届即可；
（3）连接AD ，根据直角三角形的性质，由在Rt △DEC 中, tan 2DE C CE =
= 设CE=x,则DE=2x ，然后由Rt △ADE 中, tan 2AE ADE DE ∠=
= ，求得DE 、CE 的长，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可.
详解：（1）连接OD ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C
∵OD=OB ∴∠ABC=∠ODB
∴∠C=∠ODB ∴OD ∥AC
又∵DE ⊥AC ∴OD ⊥DE ，即OD ⊥EF
∴EF 是⊙O 的切线
（2） ∵AB=AC=12 ∴OB=OD=
12
AB =6 由（1）得：∠C=∠ODB=600
∴△OBD 是等边三角形 ∴∠BOD=600
∴BD =6062180
ππ⨯= 即BD 的长2π （3）连接AD ∵DE ⊥AC ∠DEC=∠DEA=900
在Rt △DEC 中, tan 2DE C CE
=
= 设CE=x,则DE=2x ∵AB 是直径 ∴∠ADB=∠ADC=900 ∴∠ADE+∠CDE=900 在Rt △DEC 中,∠C+∠CDE=900
∴∠C=∠ADE 在Rt △ADE 中, tan 2AE ADE DE ∠=
= ∵ AE=8，∴DE=4 则CE=2
∴AC=AE+CE=10 即直径AB=AC=10 则OD=OB=5
∵OD//AE ∴△ODF ∽△AEF
∴ OF OD AF AE = 即：55108
BF BF +=+ 解得：BF=
103 即BF 的长为103. 点睛：此题考查了切线的性质与判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
10．如图1，D是⊙O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交⊙O于E、N，F是⊙O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连结CF交PD于M，∠C＝
1
2
∠P．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为4，DM＝1，求PM的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，连结BF、BM；在线段DN上有一点H，并且以H、D、C 为顶点的三角形与△BFM相似，求DH的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）PM＝32；（3）满足条件的DH的值为63
2
-
或
123
11
+
【解析】
【分析】
（1）如图1中，作PH⊥FM于H．想办法证明∠PFH=∠PMH，∠C=∠OFC，再根据等角的余角相等即可解决问题；
（2）解直角三角形求出AD，PD即可解决问题；
（3）分两种情形①当△CDH∽△BFM时，DH CD FM BF
=．
②当△CDH∽△MFB时，DH CD
FB MF
=，分别构建方程即可解决问题；
【详解】
（1）证明：如图1中，作PH⊥FM于H．
∵PD⊥AC，∴∠PHM＝∠CDM＝90°，∵∠PMH＝∠DMC，∴∠C＝∠MPH，∵∠C＝1
2
∠FPM，∴∠HPF＝∠HPM，
∵∠HFP+∠HPF＝90°，∠HMP+∠HPM＝90°，∴∠PFH＝∠PMH，
∵OF＝OC，∴∠C＝∠OFC，
∵∠C+∠CMD＝∠C+∠PMF＝∠C+∠PFH＝90°，
∴∠OFC+∠PFC＝90°，∴∠OFP＝90°，
∴直线PA是⊙O的切线．
（2）解：如图1中，∵∠A＝30°，∠AFO＝90°，∴∠AOF＝60°，
∵∠AOF＝∠OFC+∠OCF，∠OFC＝∠OCF，∴∠C＝30°，
∵⊙O的半径为4，DM＝1，
∴OA＝2OF＝8，CD＝3DM＝3，
∴OD＝OC﹣CD＝4﹣3，
∴AD＝OA+OD＝8+4﹣3＝12﹣3，
在Rt△ADP中，
DP＝AD•tan30°＝（12﹣3）×
3
3
＝43﹣1，
∴PM＝PD﹣DM＝4 3﹣2．（3）如图2中，
由（2）可知：BF ＝12
BC ＝4，FM BF ＝，CM ＝2DM ＝2，CD ， ∴FM ＝FC ﹣CM ＝
﹣2， ①当△CDH ∽△BFM 时，
DH CD FM BF = ，
∴
= ，∴DH ②当△CDH ∽△MFB 时，
DH CD FB MF =，
∴4DH =，∴DH ，
∵DN =，
∴DH ＜DN ，符合题意，
综上所述，满足条件的DH ． 【点睛】
本题考查圆综合题、切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题.。