2017年秋季学期新版青岛版九年级数学上学期一元二次方程根的判别式、一元二次方程根的判别式精讲精练素材

一元二次方程根的判别式
知识考点：
理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。

精典例题：
【例1】当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。

（1）有两个相等实根； （2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。

分析：用判别式△列出方程或不等式解题。

答案：（1）43-
=m ；（2）43-<m ；（3）4
3->m
【例2】求证：无论m 取何值，方程03)7(92=-++-m x m x 都有两个不相等的实根。

分析：列出△的代数式，证其恒大于零。

【例3】当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。

分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分42-m ＝0和42-m ≠0两种情形讨论。

略解：当42-m ＝0即2±=m 时，)1(2+m ≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当42-m ≠0即2±≠m 时，方程有根的条件是：
△＝[]208)4(4)1(222+=--+m m m ≥0，解得m ≥2
5-
∴当m ≥2
5-
且
2±≠m 时，方程有实根。

综上所述：当m ≥2
5-时，方程有实根。

探索与创新：
【问题一】已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，
问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。

略解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+≥--=∆≠01
204)12(022122k k x x k k k 化简得⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧
=≤≠214102k k k
∴不存在。

【问题一】如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF ，CD ＜CF ）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是每米4.5元。

（1）若计划修建费为150元，能否完成该草坪围栏修造任务？
（2）若计划修建费为120元，能否完成该草坪围栏修建任务？若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由。

略解：设CF ＝DE ＝x ，则CD ＝EF ＝
x
100
修建总费用为：
x x x 10025.45.475.1⨯⨯++＝x
x 90025.6+
条件是：10＜x ≤25 （1）150900
25.6=+x
x ⇒x ＝12 ∴能完成 （2）120900
25.6=+
x
x ⇒090012025.62=+-x x ∵△＜0此方程元实根 ∴不能完成
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一、填空题：
1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的
方程是 。

2、已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 。

3、如果二次三项式k x x 2432+-在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则k 的取值范围是 。

4、在一元二次方程02=++c bx x 中)(c b ≠，若系数b 、c 可在1、2、3、4、5中取值，则其中有实数解的方程的个数是 。

二、选择题：
1、下列方程中，无实数根的是（ ）
A 、011=-+-x x
B 、76
2=+
y
y C 、021=++x D 、0232=+-x x
2、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的
问题二图
F E
D
C B
A
取值范围是（ ） A 、43<
m B 、m ≤43 C 、43>m 且m ≠2 D、m ≥4
3
且m ≠2
3、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（ ） A 、有两个不等实根 B 、有两个相等实根
C 、没有实根
D 、无法确定 三、试证：关于x 的方程1)2(2-=+-x m mx 必有实根。

四、已知关于x 的方程022=-+-n m mx x 的根的判别式为零，方程的一个根为1，求m 、
n 的值。

五、已知关于
x 的方程02)12(22=++++m x m x 有两个不等实根，试判断直线
x m y )32(-=74+-m 能否通过A （－2，4），并说明理由。

六、已知关于x 的方程0)2(222=+--m x m x ，问：是否存在实数m ，使方程的两个实
数根的平方和等于56？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。

七、已知n ＞0，关于x 的方程041)2(2=+
--mn x n m x 有两个相等的正实根，求n
m
的值。

参考答案 一、填空题：
1、①；
2、22±；
3、k ≤3
2；4、10
二、选择题：CCAA
三、分两种情况讨论：（1）当0=m 时，2
1=
x ；
（2）当0≠m 时，042>+=∆m 所以方程必有实根。

四、m ＝2，n ＝3
五、不能。

由0)2(4)12(22>+-+=∆m m ⇒⎩⎨⎧<+->-0
740
32m m ⇒直线不通过第二象限
六、存在。

2-=m 七、
4=n
m
.。