第八课时 正弦函数余弦函数的性质
正弦函数、余弦函数的性质(全)
当且仅当 x 2k， （ k Z） 时 ， (cos x)min 1.
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
ycox(sxR)
例题
求使函数
y3cos2x( )
取得最大值、最小值的
2
自变量的集合，并写出最大值、最小值。
y
1
3 5 2
而在每个闭区间[ 2k , 3 2k ](k Z )上都是
2
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
当x在区间 [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 , 4 ] 上时，
4
5 6 x
y=cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
一.周期性
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得 当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个 函数的周期。
注：1正、T弦要是函非数零常是数周期函数，2k(kZ且 k0)，最小
其值从 1减至-1
五、余弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
-1
x - … …
2
cosx -1
0
正弦函数、余弦函数的性质
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二）教学目标：1、结合正余弦曲线理解三角函数的奇偶性、对称性和单调性；2、掌握正余弦函数的奇偶性的判断，并能求出正余弦函数的对称轴、对称中心及单调区间，并能利用单调性比较两个三角函数值的大小；教学重点：正余弦函数的奇偶性、对称性和单调性；教学难点：正余弦函数对称性和单调性的理解与应用课型：新授课上课时间：2010年12月1日教学过程：一、知识回顾：正余弦函数的性质（1）：（请学生上黑板完成上述表格）二、新知探究：1、根据正余弦曲线（见课件），学习小组讨论，完成下表（表格见黑板），并请学习小组代说明：1、结合正余弦曲线，分析说明正余弦曲线的对称中心、对称轴的“数字特征”；2、强调研究周期函数性质的基本方法：先选定一个周期，在该周期内研究其性质，再根据周期性拓展到整个定义域范围内．三、例题分析：例1、（1）写出函数x y 2sin 3=的对称中心．（2）写出函数)4sin(π+=x y 的对称轴．（注意强调整体代换思想）例2、利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： （1）)18sin(π-与)10sin(π-； （2）)523cos(π-与)417cos(π-； （3）85sinπ与9cos π（引导学生分析，考察正余弦函数的单调性进行求解，其中第（2）（3）小题先要利用诱导公式进行化简变形）方法总结：利用单调性比较三角函数值的大小的基本步骤：（1）利用诱导公式化简变形（函数名称、角所在区间）；（2）利用单调性比较大小．练习1、利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：（1）)863sin(π-与)754sin(π-； （2）832sinπ与941cos π（答案：（1）<-)863sin(π)754sin(π-； （2）>832sin π941cosπ）例2、求函数]2,2[ )321sin(πππ-∈+=x x y 的单调递增区间．（先作引导分析，再请学生上上黑板板书过程）练习2、求下列函数的单调区间：（1）]2,2[ )213sin(πππ-∈-=x x y （2）],0[ )42sin(3ππ∈+=x x y （答案：（1）],85[]8,0[πππ和 （2）]2,35[]3,2[ππππ和--）四、课堂小结：1、正弦、余弦函数的性质（见表格）：2、思想方法归纳：（1）数形结合 （2）等价转化 （3）整体代换五、课外作业： 46P 习题1.4 A4、5。
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）正弦函数和余弦函数是高中数学中常见的函数，它们具有许多重要的性质。
单调性是其中之一。
本文将重点介绍正弦函数和余弦函数的单调性，希望能对读者加深对这两个函数的理解。
我们先来介绍一下正弦函数和余弦函数的定义。
正弦函数记作y=sin(x)，其中x表示自变量，y表示函数值。
余弦函数记作y=cos(x)，同样x表示自变量，y表示函数值。
这两个函数都是周期函数，其周期为2π。
下面我们分别来介绍它们的单调性。
正弦函数的单调性：正弦函数在每一个周期内都是先增后减或者先减后增的。
具体来说，当自变量x增大时（在0到π/2之间），y=sin(x)也逐渐增大，当自变量x继续增大（在π/2到π之间），y=sin(x)逐渐减小，当自变量x继续增大（在π到3π/2之间），y=sin(x)又逐渐增大，以此类推。
从图上来看，正弦函数的图像会呈现出一种周期性的波动，这体现了正弦函数的周期性。
我们可以得出结论，正弦函数在每一个周期内都是先增后减或者先减后增的。
正弦函数和余弦函数在各自的周期内的单调性是不同的。
正弦函数是先增后减或者先减后增的，而余弦函数是先减后增或者先增后减的。
这也是因为正弦函数和余弦函数的定义和性质不同所导致的。
通过对这两个函数的单调性进行分析，可以帮助我们更好地理解它们的规律和特点。
除了单调性以外，正弦函数和余弦函数还有许多其他重要的性质，比如周期性、奇偶性、图像特点等。
这些性质都是我们在学习和应用这两个函数时需要重点关注的内容。
希望通过本文的介绍，读者能够对正弦函数和余弦函数的单调性有更清晰的认识，并能够更好地应用这些知识解决实际问题。
正弦函数、余弦函数的性质 课件
类型二 三角函数奇偶性的判断
【典例】1.(沧州高一检测)函数f(x)= 的奇偶性为 ( )
sin2x2
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
2.判断函数f(x)=sin (3 x 3) 的奇偶性.
42
【审题路线图】1.奇偶性⇒定义域⇒是否关于原点对称 ⇒f(-x)与f(x)的关系. 2.奇偶性⇒定义域⇒是否关于原点对称⇒f(-x)与f(x)的 关系.
2
是偶函数,故选C.
2.选D.因为f(x)的最小正周期为T=π,
所以 f( 5 π)＝f( 5 π－2π)＝f(－π )，
3
3
3
又y=f(x)是偶函数,
所以f(-x)=f(x).
所以 f( 5 π)＝f(－π )＝f( π )＝sin π＝ 3 .
3
33
32
【延伸探究】若本例2中的“偶函数”改为“奇函数”, 其他条件不变,结果如何?
类型三 三角函数周期性与奇偶性的综合应用
【典例】1.下列函数中周期为 ,且为偶函数的
2
是( )
A.y=sin4x
C.y＝sin(4x＋π ) 2
B.y=cos 1 x
4
D.y＝cos( 1 x－π ) 42
2.定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若
f(x)的最小正周期为π,且当x∈ [0，] 时,f(x)=sinx,
4.若函数是以2为周期的函数,且f(3)=6,则f(5)= ________. 【解析】因为函数是以2为周期的函数,且f(3)=6,则 f(5)=f(3+2)=f(3)=6. 答案:6
5.根据函数奇偶性的定义判断函数y=lgcosx是 ________函数.(填写奇或偶)
《正弦函数余弦函数的性质》教学设计
《正弦函数余弦函数的性质》教学设计教学设计：正弦函数、余弦函数的性质【教学目标】1.知识与能力目标a.了解正弦函数和余弦函数的定义及其性质；b.掌握正弦函数和余弦函数的图像特点；c.理解正弦函数和余弦函数的周期性和对称性；d.熟练利用性质解决与正弦函数和余弦函数相关的问题。
2.过程与方法目标a.通过多种形式的讲解和演示，提高学生对正弦函数和余弦函数的概念的理解；b.引导学生进行小组合作和交流讨论，培养学生的合作学习意识和能力；c.鼓励学生进行思考和探究，培养学生的自主学习和问题解决能力；d.利用图像和实例帮助学生加深对正弦函数和余弦函数的理解。
【教学重点】正弦函数和余弦函数的定义及其性质。
【教学准备】教师：课堂教学设计、教学PPT、黑板、彩色粉笔、实物模型等。
学生：学习笔记、教材。
【教学过程】Step 1 导入与引入（10分钟）1.教师先介绍正弦函数和余弦函数的概念，并通过实际生活中的例子，比如海浪起伏、摆动等，引导学生了解正弦函数和余弦函数的特点和应用。
2.教师再通过黑板写出正弦函数和余弦函数的定义，引导学生思考函数的定义与图像的关系。
Step 2 讲解正弦函数和余弦函数的性质（15分钟）1.教师通过PPT或者黑板，讲解正弦函数和余弦函数的性质，如定义域、值域、周期、对称性等，并通过图像和实例加深学生的理解。
2.教师提问学生：正弦函数和余弦函数的定义域是什么？取值范围是什么？周期是多少？能否找到其他满足这些性质的函数？引导学生思考函数图像的特点。
Step 3 利用性质解决问题（15分钟）1.教师引导学生通过性质解决实际问题，比如：已知一个函数的定义域是[-π/2,π/2]，值域是[-1,1]，且函数是奇函数，能否确定这个函数是正弦函数？怎样确定？等。
2.教师安排学生小组活动，给出一些问题，要求学生根据性质解答，并交流讨论解题思路和方法。
Step 4 总结与拓展（10分钟）1.教师带领学生总结正弦函数和余弦函数的性质，并强调重点。
正弦函数、余弦函数的性质 课件
3
求的值。
课堂小结
1、周期函数的定义
注：①注意定义中“每一个值”的要求
② 周期函数的周期不唯一
③周期函数不一定存在最小正周期
④如果不作特别说明，教科书中提到的周 期，一般是指最小正周期。
2、正弦、余弦函数的最小正周期为2 3、求函数周期常用的方法是（１）公式法：
余弦函数y=cosx(x∈R)是周期函数，2kπ(k∈Z且
k≠0)都是它的周期。最小正周期是2π。
今后提到的三角函数的周期，如果不加特别 说明,一般是指它的最小正周期。
（1）对于函数y sin x, x R是否有sin( ) sin 成立？
42
4
如果成立，能否说 是y sin x的周期?
正弦函数、余弦函数的性质
今天星期几？ 7天后星期几？ 14天后呢？ 100天后呢？
世界上有许多事物都呈现“周而复始”的 变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆. 这种现象在数学上称为周期性，在函数领域 里，周期性是函数的一个重要性质.
y
1、三角函数线的“周而复始”变化
P
1
2、三角函数图像的“周而复始”变化 o M1 x
f(x+T) ＝f(x)
Sin(x+2kπ)=sinx (k z)
对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中 存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就
叫做f(x)的最小正周期。
正弦函数、余弦函数的周期性
正弦函数y=sinx(x∈R)是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0) 都是它的周期。最小正周期是2π。
函数
y y
Asin(x ), x R
的周期
正弦函数、余弦函数的图象和性质教案
正弦函数、余弦函数的图象和性质教案第一章：正弦函数的定义与图象1.1 教学目标了解正弦函数的定义能够绘制正弦函数的图象1.2 教学内容正弦函数的定义：正弦函数是直角三角形中，对于一个锐角，其对边与斜边的比值。
正弦函数的图象：正弦函数的图象是一条波浪形的曲线，它在每个周期内上下波动，波动的最大值为1，最小值为-1。
1.3 教学活动讲解正弦函数的定义，并通过实际例子进行解释。
使用图形计算器或者绘图软件，让学生自己绘制正弦函数的图象，并观察其特点。
1.4 作业与练习让学生完成一些关于正弦函数的练习题，包括选择题和解答题。
第二章：余弦函数的定义与图象2.1 教学目标了解余弦函数的定义能够绘制余弦函数的图象2.2 教学内容余弦函数的定义：余弦函数是直角三角形中，对于一个锐角，其邻边与斜边的比值。
余弦函数的图象：余弦函数的图象也是一条波浪形的曲线，它在每个周期内上下波动，波动的最大值为1，最小值为-1。
2.3 教学活动讲解余弦函数的定义，并通过实际例子进行解释。
使用图形计算器或者绘图软件，让学生自己绘制余弦函数的图象，并观察其特点。
2.4 作业与练习让学生完成一些关于余弦函数的练习题，包括选择题和解答题。
第三章：正弦函数和余弦函数的性质3.1 教学目标了解正弦函数和余弦函数的性质3.2 教学内容正弦函数和余弦函数的周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期都是2π。
正弦函数和余弦函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
正弦函数和余弦函数的单调性：正弦函数和余弦函数在一个周期内都是先增后减。
3.3 教学活动讲解正弦函数和余弦函数的性质，并通过实际例子进行解释。
让学生通过观察图象，总结正弦函数和余弦函数的性质。
3.4 作业与练习让学生完成一些关于正弦函数和余弦函数性质的练习题，包括选择题和解答题。
第四章：正弦函数和余弦函数的应用4.1 教学目标能够应用正弦函数和余弦函数解决实际问题4.2 教学内容正弦函数和余弦函数在物理学中的应用：正弦函数和余弦函数可以用来描述简谐运动，如弹簧振子的运动。
正弦函数、余弦函数的性质(经典)
sin2x=2sinxcosx，cos2x=cos²x-sin²x。
半角恒等式用于计算一个角的一半角的三角函数值，例如
sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]，cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]。
三角函数的积分
三角函数的积分是数学中一类特殊的积分，主要涉及到三角函数的积分计算。通过三角函数的积分， 可以求得三角函数值的面积、体积和其他物理量。
三角函数与复数
三角函数与复数之间有着密切的联系 ，复数可以用三角函数的形式表示， 而三角函数也可以用复数进行计算和 分析。
在复平面上，复数可以用极坐标形式表 示为z=r(cosθ+i sinθ)，其中r是模长， θ是辐角。这个表示方法与三角函数的 定义非常相似，因此可以将复数的运算 转化为三角函数的运算。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
正弦函数满足$f(-x) = -f(x)$，即对于 任何实数x，都有$sin(-x) = -sin(x)$。 相反，余弦函数满足$f(-x) = f(x)$， 即对于任何实数x，都有$cos(-x) = cos(x)$。
最值和零点
总结词
正弦函数图像是一个周期函数，其基本周期为$2pi$。
在一个周期内，正弦函数图像呈现先上升后下降的趋势，且在$[0, pi]$区间内是单调递增的。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1，且在$x=frac{pi}{2}+2kpi$（$k in Z$）处取得最大 值，在$x=2kpi$（$k in Z$）处取得最小值。
三角函数在复数域中有许多重要的性 质和应用，例如：傅里叶变换、拉普 拉斯变换、Z变换等。这些变换在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的 应用。
正弦函数余弦函数的图象与性质教案
正弦函数与余弦函数的图象与性质教案教学目标：1. 理解正弦函数和余弦函数的定义。
2. 学会绘制正弦函数和余弦函数的图象。
3. 掌握正弦函数和余弦函数的性质。
教学内容：第一章：正弦函数的定义与图象1.1 正弦函数的定义1.2 正弦函数的图象1.3 绘制正弦函数的图象第二章：余弦函数的定义与图象2.1 余弦函数的定义2.2 余弦函数的图象2.3 绘制余弦函数的图象第三章：正弦函数的性质3.1 周期性3.2 奇偶性3.3 最大值和最小值3.4 相位变换第四章：余弦函数的性质4.1 周期性4.2 奇偶性4.3 最大值和最小值4.4 相位变换第五章：正弦函数和余弦函数的应用5.1 振动现象的应用5.2 波动现象的应用5.3 温度变化的应用教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解正弦函数和余弦函数的定义和性质。
2. 采用图象绘制法，让学生通过绘制图象来加深对函数的理解。
3. 采用实例分析法，通过实际应用来让学生掌握正弦函数和余弦函数的图象与性质。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生绘制函数图象的准确性。
3. 学生对正弦函数和余弦函数性质的理解程度。
4. 学生解决实际问题的能力。
教学资源：1. 教学PPT。
2. 函数图象绘制软件。
3. 实际应用案例资料。
教学步骤：第一章：正弦函数的定义与图象1.1 讲解正弦函数的定义，引导学生理解正弦函数的概念。
1.2 利用函数图象绘制软件，演示正弦函数的图象。
1.3 学生动手绘制正弦函数的图象，加深对函数的理解。
第二章：余弦函数的定义与图象2.1 讲解余弦函数的定义，引导学生理解余弦函数的概念。
2.2 利用函数图象绘制软件，演示余弦函数的图象。
2.3 学生动手绘制余弦函数的图象，加深对函数的理解。
第三章：正弦函数的性质3.1 讲解正弦函数的周期性，引导学生理解周期性的概念。
3.2 讲解正弦函数的奇偶性，引导学生理解奇偶性的概念。
3.3 讲解正弦函数的最大值和最小值，引导学生理解最大值和最小值的概念。
正弦函数、余弦函数的性质
正弦函数、余弦函数的性质【知识点分析】一、周期函数的定义函数)(x f y =，定义域为I ，当I x ∈时，都有)()(x f T x f =+，其中T 是一个非零的常数，则)(x f y =是周期函数，T 是它的一个周期.知识点分析：1.定义是对I 中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足)()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期.2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.（1）正弦函数、余弦函数的值域为[]1,1-，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是[]1,1-，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求sin()y x =-的单调递增区间时，应先将sin()y x =-变换为sin y x =-再求解，相义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．三、正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的性质．函数sin()y A x ωϕ=+与函数cos()y A x ωϕ=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到：（1）定义域：R（2）值域：[],A A -（3）单调区间：求形如sin()y A x ωϕ=+与函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ωϕ+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由)(2222Z k k x k ∈+≤+≤-ππϕωππ解出x 的范围所得区间即为增区间，由)(23222Z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为奇函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为偶函数；对于函数cos()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为偶函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为奇函数．知识点分析：判断函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．（5）周期：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T πω=．（6）对称轴和对称中心与正弦函数sin y x =比较可知，当()2x k k z πωϕπ+=±∈时，函数sin()y A x ωϕ=+取得最大值（或最小值），因此函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出，其对称中心的横坐标()x k k z ωϕπ+=∈，即对称中心为,0()k k z πϕω-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．同理，cos()y A x ωϕ=+的对称轴由()x k k z ωϕπ+=∈解出，对称中心的横坐标由()x k k z πωϕπ+=±∈解出．知识点分析：若x R ∉，则函数sin()y A x ωϕ=+和函数cos()y A x ωϕ=+不一定有对称轴和对称中心． 【例题及练习】类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域例1．求函数y =例2.求函数lg(2sin 1)y x =-的定义域例3．求下列函数的值域： （1）y=3―2sin x（2）2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；（3）cos 2cos 1x y x -=-．例4.求y=cos 2x+4sin x ―2的值域．类型二：正弦函数、余弦函数的单调性例5．（2016 浙江温州期末）设函数()sin(2)3f x a x b π=++（1）若a ＞0，求f （x ）的单调递增区间；（2）当[0,]4x π∈时，f （x ）的值域为[1，3]，求a ，b 的值．例6。
正弦函数和余弦函数的性质
正弦函数和余弦函数的性质
1 正弦函数及其性质
正弦函数也称曲线函数，是坐标系中把角度和弧度的定义用一般的数学形式来表示的函数。
正弦函数的视觉影响可以归结为一条垂直于极轴的曲线。
正弦函数的特征有：
1. 正弦函数是一个周期函数，它的周期是2π，也就是说，它在每个2π的区间里会重复出现相同的函数形式。
2. 正弦函数具有范围称属性，它的值始终在-1和1之间，也就是它以0为中心围绕-1和1旋转2π。
3. 正弦函数具有导数特性，它的导数与其幅值成反比关系，公式为(d/dx)*sin(x)=cos(x)。
2 余弦函数及其性质
余弦函数是正弦函数的镜面对称函数，它以直角坐标系中的水平轴（y轴）为镜面中心反射得到的。
正弦函数和余弦函数有以下相同的性质：
1. 都是周期函数，周期性问题都是2π，且在每个2π的区间里重复出现函数形式相同的函数形式。
2. 都具有范围称属性，它们的值始终在 -1 和 1 之间。
3. 具有导数特性，余弦函数的导数与它的幅值成反比关系，公式为（d/dx）*cos(x)=-sin(x)。
就正弦函数和余弦函数的性质而言，它们都有着类似的特征，这突出了它们是一种互补的函数关系。
正弦函数和余弦函数具有极大的应用性，广泛应用于力学，信号处理，通信等领域。
正弦函数余弦函数的性质 优秀课件
( 2 ,0)
2
( ,-1)
3
线
4
5 6 x
正弦函数、余弦函数的性质
探究
1
3 5
2
2 3
2
O
2
2
正弦函数1的图象
3 2
2
5 3
2
x
1
3 5
2
2 3
2
O
余弦2 函数1 的图2象
3 2
2
5 3
2
x
问题：它们的图象有何对称性？
正弦函数、余弦函数的性质（四）～对称性
正弦函数的对ห้องสมุดไป่ตู้性
y
2
5 3
2
x
1
3 5
2
2 3
2
O
余弦2 函数1 的图2象
3 2
2
5 3
2
x
问题：它们的图象有何对称性？
正弦函数、余弦函数的性质
它们的形状相同，且都夹在两条平行直线y=1 与y=-1之间。
它们的位置不同，正弦曲线交y轴于原点，余 弦曲线交y轴于点（0，1）.
正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对 称
(3) Q 2sin(1 x ) 2sin(1 x 2 )
26
26
2
sin
1 2
(
x
4
)
6
,
y 2sin(1 x )
26
是以４π为周期的周期函数．
函数
周期
2
y 3cosx
T 2
1
y sin 2x
T
2
2
y 2sin(1 x )
26
T 4
2
1
高中数学-正弦函数、余弦函数的性质
函数值才能重复出现
w
T 2 w
是使等式 Asin w x T j Asin wx j , Acos w x T j Acoswx j ,
成立的最小正数.
函数yAsinwxj , x∈R
及函数yAcoswxj , x∈R的周期
T 2 w
思考 “如果函数y=f(x)的周期是T,那么函数
y=f(ωx)的周期是 T ”能否成立？
w
令z=ωx 有y=f(z)且周期为T
z
T
wx
T
w
x
T
w
f z f z T
f
wx
f
w
x
T
w
y=f(ωx)的周期是
T
w
(2)奇偶性
-4π -3π
-2π -π
y
1
关y=于sin原x,x点∈R对称
Oπ
-1
2π 3π
4π x
sin(-x)=-sinx 正弦函数是奇函数
π
y
2
sin
1 2
x
6
,
x
R.
4π
这些函数的周期与解析式中哪些量有关?
与自变量的系数有关
练习 求下列函数的周期
1 y sin 3 x, x R;
4
T 8
3
2 y cos 4x, x R;
T
2
3 y 1 cos x, x R;
2
T 2
4
y
sin
1 3
x
4
,
x
R.
T
6
探究
Z
由
2x z 2k
2
x k
4
因此使函数y=-3sin2x,x∈R取得最大值的x
正弦函数余弦函数的性质
正弦函数余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质(1)知识点包括周期性、正、余弦函数的奇偶性、求函数周期的三种方法、利用定义判断函数奇偶性的三个步骤、三角函数周期性与奇偶性的解题策略、探究函数y＝a sin(ωx＋φ)及y＝a cos(ωx＋φ)的周期公式、函数的奇偶性与对称性的拓展等部分，有关正弦函数、余弦函数的性质(1)的详情如下：周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数t，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋t)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数t叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．(3)正弦函数y＝sin x(x∈r)和余弦函数y＝cos x(x∈r)都是周期函数，最小正周期为2π,2kπ(k∈z且k≠0)是它们的周期．正、余弦函数的奇偶性正弦函数y＝sin x(x∈r)是奇函数，图象关于原点对称；余弦函数y＝cos x(x∈r)是偶函数，图象关于y轴对称．求函数周期的三种方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋t)＝f(x)的非零常数t.该方法主要适用于抽象函数．(2)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．(3)公式法：利用定义判断函数奇偶性的三个步骤三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝a sin(ωx＋φ)或y＝a cos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．还可以用求周期．(2)判断函数y＝a sin(ωx＋φ)或y＝a cos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝a sin ωx或y＝a cos ωx其中的一个．即y＝a sin(ωx＋φ)，当φ＝kπ时为奇函数，当φ＝时，为偶函数．y＝a cos(ωx＋φ)，当φ＝时为奇函数，当φ＝kπ时为偶函数．探究函数y＝a sin(ωx＋φ)及y＝a cos(ωx＋φ)的周期公式事实上，令z＝ωx＋φ，那么由x∈r得z∈r，且函数y＝a sin z，z∈r及函数y＝a cos z，z∈r的周期都是2π.因为z＋2π＝(ωx＋φ)＋2π＝，所以，自变量x增加函数值就重复出现；并且增加量小于时，函数值不会重复出现．即t＝是使等式a sin[ω(x＋t)＋φ]＝a sin(ωx＋φ)，a cos[ω(x＋t)＋φ]＝a cos(ωx＋φ)成立的最小正数，从而，函数y＝a sin(ωx＋φ)，x∈r及函数y＝a cos(ωx＋φ)，x∈r的周期t＝函数的奇偶性与对称性的拓展y＝sin x，(x∈r)是奇函数，图象关于原点对称，结合周期性其对称中心为(kπ，0)(k∈z)，也是轴对称图形，其对称轴为x＝kπ＋(k∈z)．y＝cos x也是如此，总结如下。
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第八课时正弦函数余弦函数的性质
课前预习
观察给出正弦、余弦函数的图象，并思考下列问题：
1. _____________________________________________________________________叫做周期函数，___________________________________________叫这个函数的周期.
2. _____________________________________叫做函数的最小正周期.
3.正弦函数，余弦函数都是周期函数，周期是____________，最小正周期是________.
4.由诱导公式_________________________可知正弦函数是奇函数.由诱导公式_________________________可知，余弦函数是偶函数.
5.正弦函数图象关于____________________对称，正弦函数是_____________.余弦函数图象关于________________对称，余弦函数是_____________________.
6.正弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间_________________上都是减函数，其值从1减少到－1.
7.余弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间______________上都是减函数，其值从1减少到－1.
8.正弦函数当且仅当x＝___________时，取得最大值1,当且仅当x=_________________
时取得最小值－1.
9.余弦函数当且仅当x ＝______________时取得最大值1；当且仅当x =__________时取得最小值－1.
正弦函数y=sinx 的对称中心是 ；对称轴是 。
余弦函数R x x y ∈=,c o s 的对称中心是 ；对称轴是 。
典型例题
例1.利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
（1）sin2500、与sin2600 （2）sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
与 （3）2317cos cos 54
ππ
⎛⎫⎛⎫
--
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
与
例2.求函数y=3sin(2x+3
π
)的最值、周期，单调区间、对称中心及对称轴。
巩固练习
1．函数y ＝sinx ， ⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡∈32,6ππx 则y 的范围是（ ） A ．［-1，1］
B ．⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡1,21 C ．⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡23,
2
1
D ．⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡1,23 2．函数f(x)＝7sin （
2
1532π
+x ）是（ ） A ．周期为3π的偶函数
B ．周期为2π的奇函数
C ．周期为3π的奇函数
D ．周期为
3
4π
的偶函数 3．在［0，2π］上满足sinx ≥
2
1
的x 的取值范围（ ）
A ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡6,
0π
B ．⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡65,6ππ
C ．⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡32,6
ππ D ．⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡ππ,65 4．函数y ＝)2
52sin(π
+
x 的图象的一条对称轴是（ ） A ．x ＝2
π
-
B ．x ＝4
π
-
C ．x=
8
π
-
D ．x ＝4
5π- 5．函数y ＝2sin(x ωπ
+3
)的最小正周期是4π则ω＝
6．若⎥
⎦
⎤⎢
⎣⎡∈433ππx 是y ＝sin 2
x-sinx+1的最大值和最小值分别为 、
7.函数y=2sin(
6
π
-3x)的单调增区间是 ，周期T= 。
8。
求函数y=-sin 2x-2sinx+1的最大值、最小值及取得最大值、最小值时x 的集合。