人教版数学高一人教B版必修2作业2.3.5直线与圆的方程的应用

第27课时 直线与圆的方程的应用
课时目标
1.了解直线与圆的方程在求最值及实际生活中的应用． 2．体会数形结合的思想．
识记强化
几何法
已知直线Ax ＋By ＋C ＝0和圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |
A 2＋
B 2.
0≤d ＜r ⇔直线与圆相交； d ＝r ⇔直线与圆相切； d ＞r ⇔直线与圆相离．
课时作业
一、选择题(每个5分，共30分)
1．方程y ＝－4－x 2对应的曲线是( )
答案：A
解析：由方程y ＝－4－x 2得x 2＋y 2＝4(y ≤0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝4在x 轴之下的部分．
2．已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( ) A ．9 B ．14
C ．14－6 5
D ．14＋6 5 答案：D
解析：圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |＝5，圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3＋5，x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.
3．y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4所围成的较小的面积是( ) A.π4 B.3π4
C.3π
2
D ．π 答案：D
解析：数形结合，所求面积是圆x 2＋y 2＝4面积的1
4
.
4．如果实数x ，y 满足等于(x －2)2＋y 2＝1，那么y
x
的最大值是( )
A.12
B.33
C.3
2
D. 3 答案：B
解析：y
x 的几何意义是圆上的点P (x ，y )与原点连线的斜率，结合图形得，斜率的最大值
为33，∴⎝⎛⎭⎫y x max ＝3
3
. 5．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y －9＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k ＝( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案：A
解析：方法一：将两方程联立消去y ，得(k 2＋1)x 2＋2kx －9＝0，由题意此方程两根之和为0，故k ＝0.
方法二：直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y －9＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，所以圆心在y 轴上，因此k ＝0.
6．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的车篷篷顶距地面的高度不得超过( )
A ．1.4米
B ．3.5米
C ．3.6米
D ．2.0米 答案：B
解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝3.62，将(0.8，y )代入方程得|y |≈3.5. 二、填空题(每个5分，共15分)
7．过直线2x ＋y ＋4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点，且取得最小面积的圆的方程是________．
答案：x 2＋y 2＋265x －125y ＋37
5
＝0
解析：利用圆系方程来求．
8．若直线y ＝x ＋t 被圆x 2＋y 2＝8截得的弦长不大于42
3
，则实数t 的取值范围为
________．
答案：(－4，－823]∪⎝⎛⎭
⎫
823，4
解析：设圆的半径为r ，直线被圆截得的弦长为l .圆心(0,0)到直线y ＝x ＋t 的距离d ＝
|t |
2
.由题意，得d ＜r ＝22，所以－4＜t ＜4.又⎝⎛⎭⎫l 22＋d 2＝r 2
＝8，则l 2＝32－2t 2≤⎝⎛⎭⎫4232
，所以t ≤－823或t ≥823，结合－4＜t ＜4，可知－4＜t ≤－823或823
≤t ＜4.
9．过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________.
答案：2
2
解析：由已知，得当直线l 与过圆心(2,0)和点(1，2)的直线垂直时，直线l 截圆所得的
劣弧最短，此时劣弧所对的圆心角最小，可求得k ＝2
2
.
三、解答题
10．(12分)若A ＝{(x ，y )|x －y ＋2＝0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －t )2＝2}且A ∩B ≠∅，求t 的取值范围．
解：由⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋2＝0，(x －1)2＋(y －t )2＝2，
得
2x 2＋(2－2t )x ＋(2－t )2－1＝0， ∴Δ＝(2－2t )2－8(2－t )2－1]≥0. ∴1≤t ≤5.
11．(13分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 所截得的弦AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
解：假设直线l 存在，设l 的方程为y ＝x ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋m x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0
得2x 2＋2(m ＋1)x ＋m 2＋4m －4＝0(*)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)
则x 1＋x 2＝－(m ＋1)，x 1x 2＝m 2＋4m －4
2
.
∵以AB 为直径的圆为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0，若它经过原点， 则x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1·y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2， ∴2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0，
∴m 2＋3m －4＝0.m ＝－4或m ＝1. 当m ＝－4或m ＝1时，(*)式的Δ＞0.
∴所求直线l 的方程是x －y －4＝0或x －y ＋1＝0.
能力提升
12．(5分)为适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 向正东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ，从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．。