海伦公式的一种简洁证明及其应用

2021年第2期
中学数学教学参考（下旬）
22,2n—1=21，解得w=22，》=l l，满足条件。

所以 ;/z+2w的最大值为44。

故填答案:44。

3结束语
数学知识交汇处的问题是创新命题的深层体现，在高考中的地位越来越重要。

此类问题可有效关联不同数学知识、数学思想与方法，在一定程度上可以 增强题目的综合性和趣味性，激发学生的学习兴趣，提高分析能力和综合应用能力，备受命题者的青睐。

因此.教师在日常教学中要重视教材，回归教材，重视 基础知识的巩固，强调基本技能的训练，通过复习使 学生达到对所学知识的系统认识，为知识交汇问题的 解决奠定基础。

海伦公式的
一神简洁证明Jft其应用
张浩博（上海复旦五浦汇实验学校八年级）
摘要：海伦公式可以利用三角形的三边长来求 三角形的面积，利用海伦公式可以简捷求解相关
问题，大大提高解题效率。

关键词：海伦公式；秦九韶公式；三角形
文章编号：1002-2171 (2021)2-0077-01
海伦公式是古希腊数学家阿基米德在公元前三世纪提出的，而南宋数学家秦九韶也在十三世纪证明 了可以和海伦公式互推的秦九韶公式[1]。

他们所做 出的这些贡献，极大简化了人们对已知三角形的三边 求三角形面积问题的过程。

本文给出海伦公式的一种简洁证明，并结合例题进行应用。

1简洁证明
海伦公式：已知在A A B C中，的对 边分别为a,6, c，且p=a+b0+--o求证
S aabc= \/p(.p~a)(.p— b)(p— c)0
证明：不妨设为A A B C
的最大角，过点A作A H丄B C,
垂足为H，如图1。

B a~x H x C
图1
设 则 X，因为 AH2=62—x2=c2—(a—:r)2，所以 62—j：2=c2—a2+2a x一j：2,B P2ax=a2+
f一c2,故 所以 SA A flC=+a •. I,?'a2+y-c V
a2+62—c2\/L a2+b2—c2\
—2^—)\b—Ta—)=
/(a2-\-2ab-\~b2 —c2 ) ( —a2 +2a6 — 62 +c2 )
V
/[(a + 6)2 — c2][c2 — (a —6)2].
V16--
/(q+6+c)(g-\~b—c)(g—b~\~c)(—a+6+c)
V I6-
V g-\-b-\-c—a+6+c a—b-\~c a~\~b—c_ ~~2 2 # ^ 2 ^2~
V p(p—a){p—b){p—c)〇
秦九韶公式：已知在A A B C中，的
对边分别为<2,6, c，且/>=a+b〇+c,则S^sA a2 -b2-
/a2+b2~c2'
实际上，只要将秦九韶公式用公式法及分组法因 式分解，即可推导出海伦公式。

反之，用海伦公式也可以推导出秦九韶公式。

因此，这两个公式是等价的。

2公式应用
例 1已知，在 A A B C 中，a=3,6 =5，c=6, 求 〇
a+6+c 解法1:(利用海伦公式求解）因为/> =5
2
3 + 5 + 6
2:
:7，所以 S厶胤=V p{p—a){p—b){p—c)
77X(7-3) X(7-5) X(7-6) =2y/U Q
解法2:(利用秦九韶公式求解）S A/1
a2 •b2—
-X32X52
r a2~\~b2—c2\2~
])」
/32+52-62'
2
V+X[152-(_1)2] =2 v/T40
参考文献：
[1]万广磊.海伦与秦九韶跨越时空的握手[J].初中生世界
(八年级读写版），2019(7)
=95-96.。