山东省潍坊市青州市高一数学上学期期中试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题

2015-2016学年某某省潍坊市青州市高一（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|x＜﹣5或x＞5}，M∪N等于（）
A．{x|﹣5＜x＜5} B．{x|x＜﹣5或x＞﹣3} C．{x|﹣3＜x≤5}D．{x|x＜﹣3或x ＞5}
2．函数y=的定义域为（）
A．{x|x≤1} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}
3．若函数g（x+2）=2x+3，则g（3）的值是（）
A．9 B．7 C．5 D．3
4．函数y=f（x）在[﹣2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（）
A．f（﹣2），0 B．0，2 C．f（﹣2），2 D．f（2），2
5．如果奇函数f（x）在区间[1，5]上是减函数，且最小值3，那么f（x）在区间[﹣5，﹣1]上是（）
A．增函数且最小值为3 B．增函数最大值为3
C．减函数且最小值为﹣3 D．减函数且最大值为﹣3
6．已知a=30.2，b=0.2﹣3，c=（﹣3）0.2，则a，b，c的大小关系为（）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
7．已知0＜m＜n＜1，则指数函数①y=m x，②y=n x的图象为（）
A． B．C．D．
8．已知函数y=f（x）是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）=0 的所有实根之和是（）
A．0 B．1 C．2 D．4
9．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）
A．B．C． D．
10．某工厂生产某种产品的月产量y和月份x满足关系y=a•0.5x+b．现已知该厂1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为（）
A．1.75万件B．1.7万件C．2万件D．1.8万件
11．设函数f（x）=，g（x）=﹣，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点个数是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．若函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，则
的解集为（）
A．（﹣3，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另外有5人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有人．
14．已知函数y=f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=，则当x＜0时，f（x）=．15．设函数f（x）=，若f（x0）=8，则x0=．
16．给出下列五种说法：
（1）函数y=a x（a＞0，a≠1）与函数y=x2得到定义域相同；
（2）函数y=x2与y=3x的值域相同；
（3）函数y=与y=均是奇函数；
（4）函数y=（x﹣1）2与y=2x﹣1在（0，+∞）上都是增函数；
（5）记函数f（x）=x﹣[x]（注：[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3；[﹣2.3]=﹣3），则f（x）的值域是[0，1）．
其中所有正确说法的序号是．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=．
（1）求f（f（0））的值；
（2）在给出坐标系中画出函数f（x）的大致图象（只画图象不写过程）．
18．已知集合A={x|a﹣1≤x≤2a+3}，B={x|﹣2≤x≤4}，全集U=R．
（1）当a=2时，求A∩B和（∁R A）∩（∁R B）；
（2）若A∩B=A，某某数a的取值X围．
19．（1）化简：（）；
（2）若a＞0，b＞0，化简：．
20．销售甲、乙两种商品所得利润分别是y1、y2万元，它们与投入资金x万元的关系分别为，y2=bx，（其中m，a，b都为常数），函数y1，y2对应的曲线C1、C2如图所示．
（1）求函数y1、y2的解析式；
（2）若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．
21．已知指数函数y=g（x）满足g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（1）确定y=f（x）和y=g（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）若对任意x∈[﹣5，﹣1]都有f（1﹣x）+f（1﹣2x）＞0成立，求x的取值X围．
22．函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，且a＞0）．
（1）若f（﹣1）=0，且f（x）=0有且仅有一个实数根，求a，b的值；
（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，某某数k的取值X围；
（3）若f（x）为偶函数，设F（x）=，mn＜0，m+n＞0，试比较F （m）+F（n）的值与0的大小．
2015-2016学年某某省潍坊市青州市高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|x＜﹣5或x＞5}，M∪N等于（）
A．{x|﹣5＜x＜5} B．{x|x＜﹣5或x＞﹣3} C．{x|﹣3＜x≤5}D．{x|x＜﹣3或x ＞5}
【考点】并集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】根据题意，在数轴上表示集合M、N，由并集的定义，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|x＜﹣5或x＞5}，
在数轴上表示可得：
则M∪N={x|x＜﹣5或x＞﹣3}；
故选B．
【点评】本题考查集合并集的计算，可以借助数轴来分析、求解．
2．函数y=的定义域为（）
A．{x|x≤1} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据根式有意义的条件求函数的定义域．
【解答】解：∵函数y=，
∴1﹣x≥0，x≥0，
∴0≤x≤1，
故选D．
【点评】此题主要考查了函数的定义域和根式有意义的条件，是一道基础题．
3．若函数g（x+2）=2x+3，则g（3）的值是（）
A．9 B．7 C．5 D．3
【考点】函数的值．
【专题】计算题．
【分析】由函数的解析式得，必须令x+2=3求出对应的x值，再代入函数解析式求值．【解答】解：令x+2=3，解得x=1代入g（x+2）=2x+3，
即g（3）=5．
故选C．
【点评】本题的考点是复合函数求值，注意求出对应的自变量的值，再代入函数解析式，这是易错的地方．
4．函数y=f（x）在[﹣2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（）
A．f（﹣2），0 B．0，2 C．f（﹣2），2 D．f（2），2
【考点】函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由函数图象可知，函数的最小值、最大值．
【解答】解：由函数图象可知，当x=1时，函数有最大值，最大值为2，
当x=﹣2时，函数有最小值，最小值为f（﹣2），
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象的识别和函数值的求法，属于基础题．
5．如果奇函数f（x）在区间[1，5]上是减函数，且最小值3，那么f（x）在区间[﹣5，﹣1]上是（）
A．增函数且最小值为3 B．增函数最大值为3
C．减函数且最小值为﹣3 D．减函数且最大值为﹣3
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．
【解答】解：由奇函数的性质可知，若奇函数f（x）在区间[1，5]上是减函数，且最小值3，则那么f（x）在区间[﹣5，﹣1]上为减函数，且有最大值为﹣3，
故选：D
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，比较基础．
6．已知a=30.2，b=0.2﹣3，c=（﹣3）0.2，则a，b，c的大小关系为（）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【考点】指数函数的单调性与特殊点．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】借助于中间量，确定a，b，c可得到结论．
【解答】解：∵a=30.2＜3，b=0.2﹣3=53=125，
即b＞a，
c=（﹣3）0.2＜0，
∴b＞a＞c，
故选：B．
【点评】本题考查大小比较和指数函数的单调性，属于基础题．
7．已知0＜m＜n＜1，则指数函数①y=m x，②y=n x的图象为（）
A． B．C．D．
【考点】函数的图象．
【专题】计算题；数形结合；函数思想；函数的性质及应用．
【分析】利用指数函数的图象与性质判断即可．
【解答】解：因为0＜m＜n＜1，可得．
则指数函数①y=m x，②y=n x都是减函数，当x=﹣1时，，
所以x＜0时，①的图象在②的上方．
故选：C．
【点评】本题考查指数函数的图象的应用，特殊值方法的应用．考查计算能力．
8．已知函数y=f（x）是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）=0 的所有实根之和是（）
A．0 B．1 C．2 D．4
【考点】奇偶函数图象的对称性．
【专题】规律型．
【分析】由函数y=f（x）是偶函数，知其图象关于y轴对称，与x轴有四个交点自然也关于y轴对称可得结论．
【解答】解：∵函数y=f（x）是偶函数
∴其图象关于y轴对称
∴其图象与x轴有四个交点也关于y轴对称
∴方程f（x）=0 的所有实根之和为0
故选A
【点评】本题主要考查偶函数的图象关于y轴对称，同时考查函数与方程的转化．
9．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）
A．B．C． D．
【考点】函数的图象；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】数形结合．
【分析】本题利用排除法解．从所给函数的图象看出，V不是h的正比例函数，由体积公式可排除一些选项；从函数图象的单调性及切线的斜率的变化情况看，又可排除一些选项，从而得出正确选项．
【解答】解：如果水瓶形状是圆柱，V=πr2h，r不变，V是h的正比例函数，
其图象应该是过原点的直线，与已知图象不符．故D错；
由已知函数图可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，
每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，
其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶逐渐变小．故A、C错．
故选：B．
【点评】本题主要考查知识点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）等简单几何体和函数的图象，属于基础题．本题还可从注水一半时的状况进行分析求解．
10．某工厂生产某种产品的月产量y和月份x满足关系y=a•0.5x+b．现已知该厂1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为（）
A．1.75万件B．1.7万件C．2万件D．1.8万件
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】应用题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由题意知，从而y=0.5x+0.5，由此能求出此工厂3月份该产品的产量．
【解答】解：由题设可得，解得a=﹣2，b=2
所以y=﹣2×0.5x+2
将x=3代入解得，y=1.75
故选：A．
【点评】本题是指数函数应用题，解答的关键是求出模型中的两个参数，属于容易题．11．设函数f（x）=，g（x）=﹣，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）的
零点个数是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】计算题；作图题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】作函数f（x）=与函数g（x）=﹣的图象，对0＜x≤1时单独讨论即可．
【解答】解：作函数f（x）=与函数g（x）=﹣的图象如下，
，
当0＜x≤1时，h（x）=4x﹣4+≥0，
（当且仅当4x=，即x=时，等号成立）；
故两个函数图象共有三个公共点，
故函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点个数是3，
故选：B．
【点评】本题考查了数形结合的思想应用及基本不等式的应用．注意对0＜x≤1时单独讨论．
12．若函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，则
的解集为（）
A．（﹣3，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集．【解答】解：因为y=f（x）为偶函数，所以，所以不等式等价为．
因为函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，
所以解得x＞3或﹣3＜x＜0，
即不等式的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）．
故选C．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用数形结合的思想是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另外有5人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有20 人．
【考点】交集及其运算；元素与集合关系的判断．
【专题】集合．
【分析】利用元素之间的关系，利用Venn图即可得到结论．
【解答】解：设既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有x人，
则只参加数学的有32﹣x，只参加物理的有28﹣x，
则5+32﹣x+28﹣x+x=45，
即x=20，
故答案为：20
【点评】本题主要考查集合元素的确定，利用Venn图是解决本题的关键，比较基础．
14．已知函数y=f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=，则当x＜0时，f（x）= ﹣﹣1 ．
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质．
【专题】函数思想；整体思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】当x＜0时，﹣x＞0，整体代入已知函数的解析式，由奇函数化简可得．
【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=，
∴整体代入可得f（﹣x）=+1，
又函数y=f（x）是奇函数，
∴﹣f（x）=f（﹣x）=+1，
∴f（x）=﹣﹣1，
故答案为：﹣﹣1．
【点评】本题考查函数解析式的求解方法，涉及函数的奇偶性，属基础题．
15．设函数f（x）=，若f（x0）=8，则x0= 4或．
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【专题】计算题．
【分析】按照x0≤2与x0＞2两种情况，分别得到关于x0的方程，解之并结合大前提可得到方程的解，最后综合即可．
【解答】解：由题意，得
①当x0≤2时，有x02+2=8，解之得x0=±，
而＞2不符合，所以x0=﹣；
②当x0＞2时，有2x0=8，解之得x0=4．
综上所述，得x0=4或．
故答案为：4或．
【点评】本题给出一个关于分段函数的方程，求满足方程的自变量值，着重考查了函数的解析式和方程的解法，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．
16．给出下列五种说法：
（1）函数y=a x（a＞0，a≠1）与函数y=x2得到定义域相同；
（2）函数y=x2与y=3x的值域相同；
（3）函数y=与y=均是奇函数；
（4）函数y=（x﹣1）2与y=2x﹣1在（0，+∞）上都是增函数；
（5）记函数f（x）=x﹣[x]（注：[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3；[﹣2.3]=﹣3），则f（x）的值域是[0，1）．
其中所有正确说法的序号是（1）（3）（5）．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】综合题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；简易逻辑．
【分析】求出两函数的定义域判断（1）；求出两函数的值域判断（2）；利用奇函数的定义判断（3）；判出函数y=（x﹣1）2的单调性判断（4）；由新定义求出函数f（x）=x﹣[x]的值域判断（5）．
【解答】解：（1）函数y=a x（a＞0，a≠1）与函数y=x2的定义域都是R，相同，（1）正确；（2）函数y=x2的值域为[0，+∞），y=3x的值域为（0，+∞），（2）错误；
（3）==﹣f（x），y=
为奇函数，
f（﹣x）===，
﹣f（x）=﹣（）=，函数y=是奇函数，（3）正确；
（4）函数y=（x﹣1）2在（0，1）上是减函数，（4）错误；
（5）记函数f（x）=x﹣[x]（注：[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3；[﹣2.3]=﹣3，则f（x）的值域是[0，1），（5）正确．
故答案为：（1）（3）（5）．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数定义域和值域的求法，训练了函数奇偶性的判断，是中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=．
（1）求f（f（0））的值；
（2）在给出坐标系中画出函数f（x）的大致图象（只画图象不写过程）．
【考点】函数的图象；函数的值．
【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据函数的解析式求得f（0）的值，从而求得f[f（0）]的值．
（2）根据函数的解析式做出函数f（x）的图象．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=，
∴f（0）=1，
∴f（f（0））=f（1）=0．
（2）函数f（x）的图象如图所示：
【点评】本题主要考查求函数的值，做函数的图象，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
18．已知集合A={x|a﹣1≤x≤2a+3}，B={x|﹣2≤x≤4}，全集U=R．
（1）当a=2时，求A∩B和（∁R A）∩（∁R B）；
（2）若A∩B=A，某某数a的取值X围．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；分类讨论；分析法；集合．
【分析】（1）根据集合的混合运算法则计算即可；
（2）由A∩B=A，得到A⊆B，分两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）当a=2时，A={x|1≤x≤7}，B={x|﹣2≤x≤4}，全集U=R，
∴A∩B={x|1≤x≤4}，（∁R A）∩（∁R B）={x|x＜﹣2，或x＞7}，
（2）∵A∩B=A，
∴A⊆B，
当A=∅时，则a﹣3＞2a+3，解得a＜﹣4，
当A≠∅，则，解得﹣1≤a≤，
综上；a的取值X围是{a|a＜﹣4，或﹣1≤a≤}
【点评】本题考查了集合的运算性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（1）化简：（）；
（2）若a＞0，b＞0，化简：．
【考点】有理数指数幂的化简求值．
【专题】计算题；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】（1）（2）利用指数的运算法则即可得出．
【解答】解：（1）原式==﹣．
（2）原式=﹣（4a﹣1）
=4a﹣（4a﹣1）
=1．
【点评】本题考查了指数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
20．销售甲、乙两种商品所得利润分别是y1、y2万元，它们与投入资金x万元的关系分别为，y2=bx，（其中m，a，b都为常数），函数y1，y2对应的曲线C1、C2如图所示．
（1）求函数y1、y2的解析式；
（2）若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．
【考点】根据实际问题选择函数类型；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）根据所给的图象知，两曲线的交点坐标为，由此列出关于m，a 的方程组，解出m，a的值，即可得到函数y1、y2的解析式；
（2）对甲种商品投资x（万元），对乙种商品投资（4﹣x）（万元），根据公式可得甲、乙两种商品的总利润y（万元）关于x的函数表达式；再利用配方法确定函数的对称轴，结合函数的定义域，即可求得总利润y的最大值．
【解答】解：（1）由题意，解得，…又由题意得，（x≥0）…
（不写定义域扣一分）
（2）设销售甲商品投入资金x万元，则乙投入（4﹣x）万元
由（1）得，（0≤x≤4）…
令，则有=，
，
当t=2即x=3时，y取最大值1．
答：该商场所获利润的最大值为1万元．…
（不答扣一分）
【点评】本题考查了函数模型的构建以及换元法、配方法求函数的最值，体现用数学知识解决实际问题，属于基础题．
21．已知指数函数y=g（x）满足g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（1）确定y=f（x）和y=g（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）若对任意x∈[﹣5，﹣1]都有f（1﹣x）+f（1﹣2x）＞0成立，求x的取值X围．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）由g（3）=8，利用待定系数法即可求出指数函数g（x）=2x，从而得到f（x）=，而根据f（x）在R上为奇函数，便有f（﹣1）=﹣f（1），这样即可求出m=2，从而得出；
（2）容易判断f（x）为减函数，根据减函数的定义，设任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，然后作差，通分，证明f（x1）＞f（x2）便可得出f（x）在R上单调递减；
（3）根据定义在[﹣5，﹣1]上的f（x）为奇函数，且单调递减，从而可以得到f（1﹣x）
＞f（2x﹣1），进一步可得到，从而解该不等式组便可得出x的取值
X围．
【解答】解：（1）设g（x）=a x，则g（3）=a3=8；
∴a=2；
∴g（x）=2x；
∴；
f（x）为R上的奇函数；
∴f（﹣1）=﹣f（1）；
即；
∴m=2；
∴；
（2）x增大时，2x增大，∴f（x）减小；
∴f（x）在R上单调递减，证明如下：
设x1，x2∈R，且x1＜x2，则：
=；
∵x1＜x2；
∴，；
又；
∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在R上单调递减；
（3）根据前面知，f（x）在R上单调递减，且为奇函数；
∴由f（1﹣x）+f（1﹣2x）＞0得，f（1﹣x）＞f（2x﹣1）；
∴；
∴2≤x≤3；
∴x的取值X围为[2，3]．
【点评】考查指数函数的一般形式，待定系数法求函数解析式，奇函数的定义，分离常数法的运用，减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，根据减函数的定义解不等式．
22．函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，且a＞0）．
（1）若f（﹣1）=0，且f（x）=0有且仅有一个实数根，求a，b的值；
（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，某某数k的取值X围；
（3）若f（x）为偶函数，设F（x）=，mn＜0，m+n＞0，试比较F （m）+F（n）的值与0的大小．
【考点】二次函数的性质．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）f（﹣1）=0⇒a﹣b+1=0，又f（x）=0有且仅有一个实数根，即最小值为0⇒4a ﹣b2=0，求出f（x）的表达式再求F（x）的表达式即可；
（2）把g（x）的对称轴求出和区间端点值进行分类讨论即可．
（3）把F（m）+F（n）转化为f（m）﹣f（n）=a（m2﹣n2）再利用m＞0，n＜0，m+n＞0，a ＞0来判断即可．
【解答】解：（1）∵f（﹣1）=0，
∴a﹣b+1=0①
又f（x）=0有且仅有一个实数根，
所以a≠0， =0即4a﹣b2=0②
由①②得a=1，b=2
∴f（x）=x2+2x+1=（x+1）2．
（2）由（1）有g（x）=f（x）﹣kx=x2+2x+1﹣kx=x2+（2﹣k）x+1=（x+）2+1﹣，当≥2或≤﹣2时，
即k≥6或k≤﹣2时，g（x）是具有单调性．
（3）∵f（x）为偶函数，∴b=0，
∴f（x）=ax2+1，∴F（x）=，
∵m＞0，n＜0，则m＞n，则n＜0．又m+n＞0，m＞﹣n＞0，
∴|m|＞|﹣n|
∴F（m）+F（n）=f（m）﹣f（n）=（am2+1）﹣an2﹣1=a（m2﹣n2）＞0，
∴F（m）+F（n）＞0．．
【点评】本题是对二次函数性质的综合考查．其中（1）考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．。