2022年广东 高考数学真题及详解

2022广东省高考数学试卷及答案解析2022年普通高等学校招生全国统一考试
新高考数学I 卷
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目制定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1.设集合{
}
4＜x x M =，{}13N ≥=x x ，则N M ⋂=（
）
A.{}
2
0＜x x ≤ B.⎭⎬⎫
⎩⎨⎧≤231＜x x
C.{}
16
3＜x x ≤ D.⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤1631＜x x
2.已知()11=-z i ，则=+z z
（
）
A.2
- B.1
- C.1
D.2
3.在ABC ∆中，点D 在边AB 上，DA BD 2=.记m A C =，n D C =，则=
B C
A.n m 23-
B.n m 32+-
C.n m 23+
D.n
m 32+4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为140.0km ²；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为180.0km ².将该水库在这两个水位间的形状看做一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为
(
)
65
.27≈A.3
9
100.1m
⨯ B.3
9102.1m
⨯ C.3
9
104.1m ⨯ D.3
9106.1m
⨯5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（
）
A.
6
1 B.
3
1 C.
2
1 D.
3
2
6.记函数()()04sin ＞ωπωb x x f +⎪⎭⎫ ⎝
⎛+
=的最小正周期为T .若ππ
22
3＜＜T ，且()x f y =的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛223，π中心对称，则=⎪⎭
⎫
⎝⎛2πf （）
A.1
B.
2
3 C.
2
5 D.3
7.设1
.01.0e
a =，9
1
=
b ，9.0ln -=
c ，则A.c b a ＜＜ B.a b c ＜＜ C.b a c ＜＜ D.b
c a ＜＜8.已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为π36，且
333≤≤l ，则该正四棱锥体积的取值范围是（
）
A.⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡4
8118， B.⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡481427， C.⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡364427， D.[]
27,18二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。

全部答对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知正方体1111D C B A ABCD -，则（）
A.直线1BC 与1DA 所成的角为90°
B.直线1BC 与1CA 所成的角为90°
C.直线1BC 与平面11DD BB 所成的角为45°
D.直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45°10.已知函数()13
+-=x x x f ，则（
）
A.()x f 有两个极值点
B.()x f 有三个零点
C.点()1,0是曲线()x f y =的对称中心
D.直线x y 2=是曲线()x f y =的切线
11.已知O 为坐标原点，点()11，A 在抛物线()02:2
＞p py x C =上，过点()10-，B 的直线交
C 于P ，Q 两点，则（
）
A.C 的准线为1-=y
B.直线AB 与C 相切
C.2
OA
OQ OP ＞⋅ D.2
BA
BQ BP ＞⋅
12.已知函数()x f 及其导数()x f '的定义域为R ，记()()x f x g '=，若⎪⎭
⎫
⎝⎛-x f 223，()x g +2均为偶函数，则（）A.()0
=x f B.021=⎪⎭
⎫
⎝⎛-
g C.()()41f f =- D.()()
21g g =-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.()81y x x y +⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-
的展开式中6
2y x 的系数为（用数字作答）.
14.写出与圆12
2
=+y x 和()()16432
2
=-+-y x 都相切的一条直线的方程.15.若曲线()x
e a x y +=有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是
.
16.已知椭圆()01:22
22＞＞b a b
y a x C =+，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率
为2
1
.过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，6=DE ，则ADE ∆的周长是
.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11=a ，⎭
⎬
⎫⎩⎨
⎧n n a S 是公差为31
的等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：
21
1121＜n
a a a +++ .18.（12分）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为c
b a ，，，
已知B
B
A A 2cos 12sin sin 1cos +=
+.（1）若32π=C ，求B ；（2）求2
22c
b a +的最小值.19.（12分）如图，直三棱柱111-C B A ABC 的体积为4，,BC A 1∆的面积为22.（1）求A 到平面BC A 1的距离；
（2）设D 为C A 1的中点，AB AA =1，平面
111A ABB BC A 平面⊥，求二面角C BD A --的正弦值.
20.（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对造组），得到如下数据：
不够良好
良好病例组4060对照组
10
90
（1）能否有99％的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件
“选到的人患有该疾病”.()
()A B P A B P 与()()
A B P A
B P 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程
度的一项度量指标，记该指标为R .
（i ）证明：R =()()()()
B
A P B
A P
B A P B A P ⋅
.（ii ）利用该调查数据，给出()
B A P ，()
B A P 的估计值，并利用（i ）的结果给出R 的估计值.
附()()()()()
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=2
2
.
(
)
k K P ≥2
0.0500.0100.001k
3.841
6.635
10.828
21.（12分）已知()1,2A 在双曲线()111
:2
2
22＞a a y a x C =--上，直线l 交C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0.（1）求l 的斜率；
（2）若22tan =∠P AQ ，求P AQ ∆的面积.
22.（12分）已知函数()ax e x f x
-=和()x ax x g ln -=有相同的最小值.
（1）求a ；
（2）证明：存在直线b y =，其与两条曲线()x f y =和()x g y =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
2022普通高等学校招生全国统一考试
新高考数学I 卷参考答案
一、选择题
1.D 解析：{}
160＜x x M ≤=，⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧≥
=31N x x 2.D 解析：由题设有i i
z -==
-1
1故i z +=1，故()()211=-++=+i i z z .3.B
解析：点D 在边AB 上，DA BD 2=，∴DA BD 2=，即()
CD CA CB CD -=-2，
∴m n CA CD CB
2323-=-=.4.C
解析：依题意可知棱台的高为()m h 95.1485.157=-=，所以增加的水量即为棱台的体积V .棱台上底面积2
6
2
101400.140m km S ⨯==，下底面积2
6
2
101800.180m
km S ⨯=='∴()()
()761065.218961076032033
1
⨯⨯+≈⨯+⨯='+'+=
S S S S h V 9
9104.110437.1⨯≈⨯=5.D
解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有212
7=C 种不同的取法，若
两数不互质，不同的取法有：（2,4）（2,6）（2,8）（3,6）（4,6）（4,8）（6,8），共7种，故所求概率3
2
21721=-=P .6.A
解析：由函数的最小正周期满足
ππ223＜＜T ，得πω
π
π2223＜＜，解得32＜＜ω，又因为函数的图象关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛223，π中心对称，∴Z k k ∈=+,423ππωπ，且2=b ，∴
Z k k ∈+-=,3261ω，∴25=ω，()242
5
sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f ，
∴()1244
5
sin =+⎪⎭
⎫
⎝⎛+=ππx f 7.C
解析：设()()()11ln --+=＞x x x x f ，∵()x
x x x f +-=-+=
'1111当()0,1-∈x 时，()0＞x f '；当()∞+∈，0x 时，()0
＜x f '
∴函数()x f 在()∞+，0上单调递减，在()0,1-上单调递增，∴()0091=⎪⎭⎫
⎝⎛f f ＜，∴091910ln
＜-，故9.0ln 9
10
ln 91-=＞即c b ＞∵()00101=⎪⎭
⎫
⎝⎛-f f ＜，∴0101109＜+lm ，故101
109-e ＜，∴91101101
＜e ，故a
b ＞设()()x xe x g x
-+=1ln ()10＜＜x ，则()()()
1
1
11112-+-=
-++='x e x x e x x g x x
，令()()112
+-=x e x h x
，则()()
1
22
-+='x x e x h x
当120-＜＜x 时，()0＜x h '，函数()x h 单调递减；当112＜＜x -时，()0＞x h '，函数()x h 单调递增.
又()00=h ，∴当120-＜＜x 时()0＜x h ，∴120-＜＜x 时，()0＞x g '，函数()x g 单调递增，∴()()001.0=g g ＞，即9.0ln 1.01
.0-＞e ，∴c a ＞.
8.C 解析：方法一：∵球的体积为π36，∴球的半径3=R .
设正四棱锥的底面边长为a 2，高为h ，则2
2
2
2h a l +=，()2
2
2
323h a -+=，∴2
6l h =，2
2
2
2h l a -=.
∴正四棱锥的体积⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⨯⨯==36916363243131642422
l l l l l h a Sh V ，∴⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='6
249164912353l l l l V ，当623≤≤l 时，0＞V '，当3362≤l ＜时，0＜V '，∴当62=l 时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为364
，又3=l 时，427=
V ，33=l 时，4
81=V ，∴4
27min =V ∴该正四棱锥体积的取值范围是⎥⎦⎤
⎢
⎣
⎡364427，.方法二：记三棱锥高与侧棱的夹角为θ，高为h ，底面中心到各顶点的距离为m ，
⎦⎤
⎢⎣⎡∈=⨯⨯-+=23,2163233cos 222l l l θ，则θcos 6=l ，θθθcos sin 6sin =⋅=l m ，
θθθθθθ
2cos 6cos sin cos sin 6tan ===
m h ，222221m m m S ⨯=⨯⨯=底，
故()
2
22cos sin 14423
1
31θθ=⨯==
h m h S V 底令()(
),1sin 1sin cos sin 3
2
2
2
x x
x
x y +-=-=-==θθθθ⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡∈=23,21sin θx 132
+-='x y ，当⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈33,21x 时，0＞y '，y 单调递增；
当⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡∈2333，x 时，0＜y '，y 单调递减；∴9
323
3max =
==
x y
y 又当21=x 时，83
=y ，当23=x 时，83=y .∴⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈932,83y 直接带入(
)2
2
cos sin 144θ
θ=V 可得该正四棱锥体积的取值范围是⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡3
64427，.二、选择题9.ABD
解析：如图，连接C B 1、1BC ，∵C B DA 11∥∴直线1BC 与C B 1所成的角即为1BC 与1DA 所成的角
∵四边形C C BB 11为正方形，则11BC C B ⊥，故直线1BC 与
1DA 所成的角为90°，A 正确.
连接C A 1，∵11B A ⊥平面C C BB 11，⊂C B 1平面C C BB 11，则11B A ⊥1BC ，∵11BC C B ⊥，⋂11B A 1BC =1B ，∴1BC ⊥平面C B A 11，又⊂C A 1平面C B A 11，∴1BC ⊥1CA ，故B 正确.连接11C A ，设，O D B C A =⋂1111，连接BO ，
∵1BB ⊥平面1111D C B A ，⊂O C 1平面1111D C B A ，则O C 1⊥B B 1
，
∵O C 1⊥11D B ，⋂11D B B B 1=1B ，∴O C 1⊥平面D D BB 11，∴∠BO C 1为直线1BC 与平面D D BB 11所成的角，设正方体棱长为1，则22
1=
O C ，21=BC ，2
1sin 111==∠BC O C BO C ，∴直线1BC 与平面D D BB 11所成的角为30°，故C 错误；
∵C C 1⊥平面ABCD ，∴∠BC C 1为直线1BC 与平面ABCD 所成的角，易得∠BC C 1=45°，故D 正确.10.AC
解析：由题，()132
-='x x f ，令()0＞x f '得33＞
x 或3
3
-＜x ，令得()0＜x f '得3
3
33＜＜x -
，∴()x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3333，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-33，，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+，33
上单调递增，∴3
3
±
=x 是极值点，故A 正确.因093
2133＞+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ，093
2133-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛f ，()052＜-=-f ，∴函数()x f 在⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-∞-33，有一个零点，当3
3≥x 时，()033＞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥
f x f ，即函数()x f 在⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+，33上无零点，综上所述，函数()x f ()x f 有一个零点，故B 错误.
令()x x x h -=3
，该函数的定义域为R ，()()x h x x x h -=+-=-3
，则()x h 为奇函数，
()0,0是()x h 的对称中心，将()x h 的图象向上移动一个单位得到()x f 的图象，
∴点()1,0是曲线()x f y =的对称中心，故C 正确.令()2132
=-='x x f ，可得1±=x ，又()()1
11=-=f f
当切点为()1,1时，切线方程为12-=x y ，当切点为()1,1-时，切线方程为32+=x y ，故
D 错误.
11.BCD 解析：将点A 代入抛物线方程得p 21=，∴抛物线方程为y x =2
，故准线方
程为4
1
-
=y ，A 错误.()20
111=---=
AB k ，∴直线AB 的方程为12-=x y ，联立⎩⎨⎧=-=y
x x y 2
1
2，可得0122=+-x x ，解得1=x ，故B 正确.
设过B 的直线为l ，若直线l 与y 轴重合，则直线l 与抛物线C 只有一个交点，∴直线l 的斜率存在，设其方程为1-=kx y ，()11,y x P ，()22,y x Q ，
联立⎩⎨⎧=-=y x kx y 21得012
=+-kx x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧==+-=∆1
4
2
1212x x k x x k ，
所以2＞k 或2-＜k ，()1
2
2121==x x y y 又2112121y y y x OP +=+=
，2
2
22222y y y x OQ +=+=∴()()2
212121211OA k kx kx y y y y OQ OP ==⋅=++=⋅＞，故C 正确.∵12
1x k
BP +=，221x k BQ +=，
∴()51122
12
＞k x
x k BQ BP +=+=⋅，而52
=BA ，故D 正确.
12.BC
解析：∵⎪⎭
⎫
⎝⎛-x f 223，()x g +2均为偶函数，∴⎪⎭
⎫
⎝⎛+=⎪⎭⎫
⎝⎛-x f x f 223223即⎪⎭
⎫
⎝⎛+=⎪⎭
⎫
⎝⎛-x f x f 2323，()()x g x g -=+22，∴()()x f x f =-3，()()x g x g =-4，则()()41f f =-，故C 正确.函数()x f ，()x g 的图象分别关于直线2
3
=
x ，2=x 对称，又()()x f x g '=，且函数()x f 可导，∴023=⎪⎭
⎫ ⎝⎛g ，()()x g x g -=-3，∴()()()x g x g x g --==-34，∴()()()x g x g x g =+-=+12，
∴02321=⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-
g g ，()()()211g g g -==-，故B 正确，D 错误，若函数()x f 满足题设条件，则函数()C x f +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定函数()x f 的函数值，故A 错误.三、填空题13.答案：28
-解析：原式=()()88
y x x
y
y x +-
+，由二项式定理，其展开式中62y x 的系数为283828-=-C C .
14.答案：1-=x 或2425247-
=
x y 或4
5
43+-=x y （答对其中之一即可）解析：由图可知，两圆外切，且均与直线1:1-=x l 相切，另过两圆圆心的直线l 的方程为
x y 34=
，可得l 与1l 交点为⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--341，P .由切线定理得，两圆另一公切线2l 过点P .设()13
4
:2+=+
x k y l ，由点到直线距离公式可得11
3
4
2=+-
k k ，解得247=
k ，即24
25247:2-=x y l .另由于两圆外切，因此在公切点处存在公切线3l 与l 垂直，解得4
543:3+-
=x y l .15.答案：()()
∞+⋃-∞-，，04解析：易得曲线不过原点，设切点为()(
)0
00x e a x x +，则切线斜率为()()010
x e a x
x f ++='，
可得切线方程为()()()00000
1x x e a x e
a x y x x -++=+-，又切线过原点，可得
()()001000x x e a x x e a x ++-=+-，化简得()*=-+002
0a ax x ，又切线有两条，即*方
程有两不等实根，由判别式042
＞a a +=∆得4a -＜或0a ＞.16.答案：13
解析：椭圆离心率为21，不妨设13422
22=+c
y c x C ：，且21F AF ∆为正三角形，则直线DE
的
斜率3
3
=
k .由等腰三角形性质可得，2EF AE =，2DF AD =，由椭圆性质得ADE ∆的周长等价于a EF DF DE 422=++.另设线DE 的方程为()c x y +=3
3
，与椭圆方程联立可得0328132
2
=-+c cx x .由弦长公式()21221221241
1x x x x k x x k DE -++=-+=
得
61348131281381312
2
==+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅+=c c
c DE ，即813=c ，1384==c a .
四、解答题
17.解：（1）111==a S ，∴
111=a S ，所以数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n n a S 是首项为1，公差为31
的等差数列.∴
()323111+=-+=n n a S n n ，∴n n a n S 3
2+=.
当2≥n 时，113
1
32--+-+=-=n n n n n a n a n S S a ，∴()()111-+=-n n a n a n ，即()21
1
1≥-+=
-n n n a a n n 累积法可得：()()22
1≥+=
n n n a n ，又11=a 满足该式，∴数列{}n a 的通项公式为()2
1+=n n a n .（2）
()⎦
⎤
⎢⎣⎡+++⨯+⨯=+++11321211211121n n a a a n 2
111211*********＜⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=n n n 18.解：
（1）由已知条件得：B A A B A B 2cos cos cos 2sin sin 2sin +=+，则()
()[]()[]()()[]C
B C B C B B C B C B B A A B A B A A B cos cos 2cos cos 2cos cos 2cos cos 2sin sin 2cos cos cos 2sin -=-+++-=++-++-=++=-+=πππ∴C B B B cos cos 2cos sin 2-=，即()0cos cos sin =+B C B ，
由已知条件：02cos 1≠+B ，则2
π
≠B ，可知0cos ≠B ，∴21cos sin =
-=C B ，6
π=B .（2）由（1）知0cos sin ＞C B -=，则2π=
=C B ，C C B cos 2sin sin -=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=π，
()C C C B A 2cos 22sin sin sin -=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=+=π，
由正弦定理C
C
C C B A c b a 2222
22222sin cos 2cos sin sin sin +=+=+()()5sin 4sin 2sin sin 5sin
42sin sin 1sin 212
2
224
22
2
2
-+=-+=-+-=
C C
C C C C
C C 5245sin 4sin 22
2
2
-=-⋅≥C C
.当且仅当22sin 2
=C 时等号成立，所以2
2
2c
b a +的最小值为524-.19.解：（1）设A 到平面BC A 1的距离为h ，
34431313111111=⨯==⋅=
-∆-C B A ABC ABC ABC A V A A S V ，h h S V BC A BC A A ⋅⨯=⋅=∆-223
1
3111∴
3
4
2231=⋅⨯h ，∴2=h ，∴A 到平面BC A 1的距离为2.（2）取B A 1的中点为E ，连接AE ，∵AB A A =1，∴B A AE 1⊥，∵平面BC A 1⊥平面11A ABB ，平面BC A 1∩平面11A ABB =B A 1，∴AE ⊥平面BC A 1，2=
AE ，则21==AB A A ，∴AE ⊥BC ，
∵直三棱柱111-C B A ABC ，∴A A 1⊥BC ，
∵AE ∩A A 1=A ，∴BC ⊥平面11A ABB ，∴AB BC ⊥，由4222
1
211111=⨯⨯⨯=⋅⋅=
-BC AA BC AB V C B A ABC ，∴2=BC ，以BC 为x 轴，BA 为y 轴，1BB 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∴()0,0,0B ，()0,2,0A ，()0,0,2C ，()2,2,01A ，()1,1,0E ，()1,1,1D 平面BDC 的法向量设为()1,1,01-==AE n ，平面BDA 的法向量设为()z y x n ,,2=，
()0,2,0=BA ，()1,1,1=BD ，
⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅0
22n BD n BA ，∴⎩⎨⎧=++=002z y x y ，∴0=y ，设1=x ，则1-=z ，∴()10,12-=，n
，∴2
1
-
==
n n ，设二面角C BD A --的平面角为α，则2
3cos 1sin 2
=
-=αα，∴二面角C BD A --的正弦值为
2
3.20.解：（1）假设患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯没有差异，
则()828.1024100
10015050106090402002
2
＞=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=
K ，∴有99％的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）（i ）R =()()A B P A B P ()
()A B P A B P ⋅=
()
()()
()
()
()()
()
()()()()B A P B A P B A P AB P A P B
A P A P
B A P A P B A P A P AB P ⋅=⋅=
()()
()()B A P B A P B A P AB P ⋅=
()()()()
()
()()()
()()()()
B A P B A P B A P B A P B
P B A P B P B A P B P B A P B P AB P ⋅=⋅，得证.
（ii ）由调查数据可知()
5210040==
B A P ，()
101
10010=
=B A P ，则()()531=-=B A P B A P ，()
10
9
=B A P ，∴6=R .
21.解：（1）将点A 代入双曲线方程得11
1
422=--a a ，整理得04424=+-a a ，解得
22
=
a ，故双曲线方程为12
22
=-y x ；
由题显然直线l 的斜率存在，设l ：m kx y +=，设()11,y x P ，()22,y x Q ，
联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+=122
2y x m kx y 得()
0224122
22=+++-m kmx x k ，∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-+=--=+12221242221221k m x x k km x x ，02
1
21212112112211=--++--+=--+--=
+x m kx x m kx x y x y k k AQ AP ，化简得：()()()0142122121=--+--+m x x k m x kx ，
故()
()()01412421122222
22=--⎪⎭
⎫ ⎝⎛
----+-+m k km k m k m k ，即()()0121=-++k m k ，而直线l 不过A 点，故1-=k .（2）设直线AP 的倾斜角为α，由22tan =∠P AQ ，得2
2
2tan
=∠P AQ ，由πα=∠+P AQ 2，得2tan =
=αAP k ，即
22
1
11=--x y ，联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--12
2
21
212
1
1
1y x x y 得324101-=x ，35241-=y ，
代入直线l 得35=m ，故9
68
3202121==+x x x x ，而231-=
x AP ，232-=x AQ ，
由22tan =∠P AQ 得3
2
2sin =
∠P AQ ，故()9
216422sin 212121=++-=∠⋅=
∆x x x x P AQ AQ AP S P AQ .22.解：（1）()a e x f x
-='，()x
a x g 1
-
='①0≤a 时，()0＞x f '恒成立，∴()x f 在R 上单调递增，即()x f 没有最小值.该类情况应舍去.
②0＞a 时，当∈x ()a ln ,∞-时，()0＜x f '；当∈x ()∞+，a ln 时，()0＞x f '，
∴()x f 在()a ln ,∞-上单调递减，在()∞+，a ln 上单调递增，∴()x f 在a x ln =处有最小值为()a a a a f ln ln -=，
∴当∈x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
a 10，时，()0＜x g '；当∈x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+a
1时，()0＞x g '，∴()x g 在⎪⎭⎫ ⎝
⎛a 10，上单调递减，在⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+，
a
1上单调递增，∴()x g 在a x 1=
处有最小值为a a g ln 11+=⎪⎭
⎫
⎝⎛，∵()ax e x f x
-=与()x ax x g ln -=有相同的最小值，∴()a a a a f ln ln -==a a g ln 11+=⎪⎭
⎫
⎝⎛即=-a a a ln a
ln 1+∵0＞a ，所以上式等价于01
1
ln =+--a a a ，令()1
1
ln +--=x x x x h ()0＞x ，则()()
0112
2＞++=
'x x x x h 恒成立，∴()x h 在()∞+，0上单调递增
又∵()()a h h ==01且0＞a ，所以1=a .
（2）证明：由（1）()x e x f x
-=，()x x x g ln -=，
且()x f 在()0，∞-上单调递减，在()∞+，0上单调递增，
()x g 在()1,0上单调递减，在()∞+，1上单调递增，且()()1min min ==x g x f .
①1＜b 时，此时()()b x g x f ＞1min min ==，显然b y =与两条曲线()x f y =和()x g y =共有0个交点，不符合题意；
②1＜b 时，此时()()b x g x f ＞1min min ==，显然b y =与两条曲线()x f y =和()x g y =共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；
③1＞b 时，首先，证明b y =与曲线()x f y =有2个交点，即证明()()b x f x F -=有2个零点，()()1-='='x
e x
f x F ，
∴()x F 在()0，∞-上单调递减，在()∞+，0上单调递增，
又因为()0＞b
e b F -=-，()010＜b F -=，()02＞b e b F b
-=，
（令()b e b t b
2-=，则，()02＞-='b
e b t ，()()021＞＞-=e t b t ）
所以证明()()b x f x F -=在()0，∞-上存在且只存在1个零点，设为1x ，在()∞+，0上存在且只存在1个零点，设为2x .
其次，证明b y =与曲线()x g 有2个交点，
即证明()()b x g x G -=有2个零点，()()x
x g x G 1
1-='='，∴()x G 在()1,0上单调递减，在()∞+，1上单调递增，又因为()0＞b
b
e
e
G --=，()010＜b G -=，()02ln 2＞b b b G -=，
（令()b b b 2ln -=μ，则，()01
1＞b
b -
='μ，()()02ln 11＞＞-=μμb ）∴()()b x g x G -=在()1,0上存在且只存在1个零点，设为3x ，在()∞+，1上存在且只存在1个零点，设为4x .
再次，证明存在b 使得32x x =∵()()032==x G x F ，∴332ln 2
x x x e b x -=-=，
若32x x =，则222ln 2
x x x e
x -=-，即0
ln 2222=+-x x e x ∴只需证明0ln 2=+-x x e x
在()1,0上有解即可，即()x x e x x
ln 2+-=ϕ在()1,0上有零点.
∵032131
33＜--=⎪⎭
⎫
⎝⎛e e e e ϕ，()021＞-=e ϕ，
∴()x x e x x
ln 2+-=ϕ在()1,0上有零点，取一零点为0x ，令032x x x ==即可，
此时取0
x e
b x -=则此时存在直线b y =与两条曲线()x f y =和()x g y =共共有3个不同交点，最后证明0412x x x =+，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
∵()()()()()()4030210x G x G x G x F x F x F ======，所以()()()001ln x F x G x F ==.又∵()x F 在()0，∞-上单调递减，01＜x ，100＜＜x 即0ln 0＜x ，∴01ln x x =同理，∵()()()4
00
x G e
G x F x ==，
又∵()x G 在()∞+，1上单调递增，00＞x 即10＞x
e ，11＞x ，∴04x
e x =，又∵0ln 22000
=+-x x e
x ，∴00412ln 0x x e x x x =+=+，
即直线b y =与两条曲线()x f y =和()x g y =从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.。