金陵中学2020届高三数学检测卷(29)教师版

S ←1 I ←1
While I ＜10
S ←2S ＋1 I ←I ＋3
End While
1 y 2
金陵中学 2020 届高三数学检测卷（29）
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.请把答案写在答题纸的指定位置上） 1.已知集合 A ＝{x |( )x ＜1}，集合 B ＝{x |lg x ＞0}，则 A ∪B ＝ ▲ ・ 2
2.已知复数 z 满足 z ＝(2＋i )2（i 为虚数单位），则 z 的实部为 ▲ .
3.甲、乙两个同学下棋，若甲获胜的概率为 0.3，甲、乙下成和棋的概率为 0.5，则甲不输
的概率为 ▲ ・
4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为 ▲ ・
5. 已知 F (2，0)是双曲线 x 2
－ ＝1 的右焦点，则双曲线 2m 2 的渐近线方程为 ▲ ・
（第 4 题）
6．甲、乙两位同学的 5 次考试成绩如茎叶图所示，则成绩较稳定的那位学生成绩的方差为 ▲ ・
7．等比数列{a n }中，a 1＝1，前 n 项和为 S n ，满足 S 6－3S 5＋2S 4＝0， 则 S 5＝ ▲ ・
8．若命题“存在 x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数 a 的取值范围是 ▲ ・
9．如图，已知正方体 ABCD –A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，则四棱锥 A 1–BB 1D 1D 的体积为 ▲ ・
π 10 π π
10．已知 cos(θ＋4)10 ，θ∈(0，2)，则 sin(2θ－3)＝ ▲ ･ 11．如图，在平面四边形 ABCD 中，∠CBA ＝∠CAD ＝90°，
∠ACD ＝30°，AB ＝BC ，点 E 为线段 BC 的中点． → → →
若AC ＝λAD ＋μ AE (λ，μ∈R )，则 λμ 的值为 ▲ ･
1 1
12．已知实数 a ＞b ≥0，满足a ＋b ＋a －b ＝1，则 3a ＋2b 的最小值为 ▲ ･ 13．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C :(x －2)2＋(y －2)2＝20 与
x 轴交于 A ，B (点 A 在点 B 的左侧)，圆 C 的弦 MN 过点 T (3，4)，
分别过 M ，N 作圆 C 的切线，交点为 P ，则线段 AP 的最小值为 ▲ ･
14．定义在 R 上的偶函数 f (x )，且对任意实数 x 都有 f (x ＋2)＝f (x )，
当 x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，若在区间[﹣3，3]内，函数 g (x )＝ f (x )﹣kx ﹣3k 有 6 个零点，则实数 k 的取值范围为 ▲ ･
) ＋ 2
1 2 a 向量 2
n 2 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.请把答案写在答题纸的指定区域内） π π
15．在平面直角坐标系中，设向量 a ＝(cos α，sin α)，b ＝(sin(α＋6)，cos(α＋6))，其中 π 0
＜α＜2．
(1)若 a ∥b ，求 α 的值；
1
(2)若 tan2α＝－7，求 a ·b 的值．
16．如图，在三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，侧面 AA 1B 1B 为菱形，
且∠A 1AB ＝60°，AC ＝BC ，D 是 AB 的中点． (1)求证：BC 1∥平面 A 1DC ；
(2)求证：平面 A 1DC ⊥平面 ABC ． 17．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位
于城市 A (看做一点)的东偏南 θ 角方向(cos θ＝ 2
，300 km 的
海面 P 处，并以 20km / h 的速度向西偏北 45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60 km ，并以 10km / h 的速度不断增大．
(1) 问 10 小时后，该台风是否开始侵袭城市 A ，并说明理由；
(2) 城市 A 受到该台风侵袭的持续时间为多久?
18．椭圆x 2 y 2
＝1(a ＞b ＞0)的左､ 右焦点分别为 F ，F ，右顶点为 A ，上顶点为 B ，且满足
a b
→ → BF 1·BF 2＝0 ．
(1)若 A (2，0)，求椭圆的标准方程；
(2)设 P 为椭圆上异于顶点的点，以线段 PB 为直径的圆经过 F 1，问是否存在过 F 2 的直线与该圆相切?若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由． 19．已知函数 f (x )＝x 3－3x 2＋(2－a )x ，a ∈R ．
(1)求函数 f (x )的单调增区间；
(2)若函数 f (x )有三个互不相同的零点 0，t 1，t 2，其中 t 1＜t 2． ①若 t 2＝3t 1，求 a 的值；
②若对任意的 x ∈[t 1，t 2]，都有 f (x )≤16－a 成立，求 a 的取值范围．
20．已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，把满足条件 a n ＋1≤S n (n ∈N *)的所有数列{a n }构成的集合
记为 M ．
(1)若数列{a n }通项为 a n ＝ 1
，求证:{a n }∈M ；
(2)若数列{a n }是等差数列，且{a n ＋n }∈M ，求 2a 5－a 1 的取值范围；
4n
(3)若数列{a n }的各项均为正数，且{a n }∈M ，数列{ }中是否存在无穷多项依次成等差
n 数列，若存在，给出一个数列{a n }的通项；若不存在，说明理由．
2 6
1．(0，＋∞)
2．3 3． 0.8
4．15
5．y ＝±x
6．2 7．31
8．(2，＋∞)
1 9．3 4－3 3 10．10 4 3 119解析:以 A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设 AB ＝BC ＝2，
则有 A (0，0)，B (2，0)，C (2，2)，E (2，1)，AC ＝2 2， AD ＝2 2×tan30° 3 D 作 DF ⊥x 轴于 F ， ∠DAF ＝180°－90°－45°＝45°，
2 6 2 6 2 2
3 2 3 2 3 DF 3 3 2 3 D ()
→ →
2 3 2 3 → → → → AC ＝(2，2)，AD ＝( 3 3 AE ＝(2，1)，因为AC ＝λAD ＋μ AE ，
2 3 2 3
所以，(2，2)＝λ( 3 3 μ(2，1)，
⎧ 2 3 ⎧ 3 ⎨
3 λ＋2μ＝2 ⎨ 3
4 3 所以 2 3 ，解得 4
，所以 λμ 的值为 9 ． ⎩
＋μ＝2
⎩
μ＝3 12．6
1 1 b
解析：根据题意，a ＋b ＋a －b ＝1，又 a ＞b ≥0， 则 0≤a ＜1，
5(a ＋b )＋(a －b ) 1 1 1
则 3a ＋2b ＝ 2 ＝2×[5(a ＋b )＋(a －b )]×[a ＋b ＋a －b ] 1
5(a ＋b ) a －b
＝2×[6＋ b
a －
b ＋a ＋b ]， 5(a ＋b ) a －b
5(1＋x )
1－x
6＋8x ＋6x 2
记 x ＝a ∈[0，1)，y ＝ a －b ＋a ＋b ＝ 1－x ＋1＋x ＝ 1－x 2 ，
－ λ＝
8
x2＋24x＋8
'
6＋8x＋x2
y ＝(1－x2)2 ＞0，故y＝1－x2 在[0，1）上单调递增，
即y 最小值为6，
1 5(a＋b)a－b
∴3a＋2b＝2×[6＋
28 5
a－b ＋a＋b]的最小值为6．
13
解析：设P(m，n)，则MN:(m－2)(x－2)＋(n－2)(y－2)＝20，
过T(3，4)，则(m－2)·1＋(n－2)·2＝20，即m＋2n－26＝0，
|－2－26| 28 5所以P 在直线x＋2y－26＝0 上，又因为A(－2，0)，所以AP min＝
1
14．(0，6]
5 ＝ 5 ．
解析：由定义在R 上的偶函数f(x)，且对任意实数x 都有f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，可得函数f(x)在区间[﹣3，3]的图象如图所示，
在区间[﹣3，3]内，函数g(x)＝f(x)﹣kx﹣3k 有6 个零点，等价于y＝f(x)的图象与直线y ＝k(x＋3)在区间[﹣3，3]内有 6 个交点，又y＝k(x＋3)过定点(﹣3，0)，观察图象可知
1－0 1
实数k 的取值范围为:0＜k≤3－(－3)＝6．
15．(1)因为a∥b，
πππ
所以cosαcos(α＋6)－sinαsin(α＋6)＝0，所以cos(2α＋6)＝0．······················· 4 分πππ7π
因为0＜α＜2，所以6＜2α＋6＜6 ．
πππ
于是2α＋6＝2 ，解得α＝6．·································································· 6 分π 1 π
(2)因为0＜α＜2，所以0＜2α＜π，又tan2 α＝－7＜0，故2＜2α＜π．·············8 分
sin2α1
因为tan2α＝cos2α＝－7，所以cos2α＝－7sin2α＜0，
2 7 2
又sin22α＋cos22α＝1 ，解得sin2α10 cos2α10 ···························10 分
πππ
因此，a·b＝cosαsin(α＋6)＋sinαcos(α＋6)＝sin(2α＋6)
BF 1 BF 1 : ＋ ＝ π π 2 3 7 2 1
6－7 2 ＝sin2αcos 6＋cos2αsin 6＝10 · 2 ＋(10 )·2＝ 16．(1)证明:连结 C 1A ，设 AC 1∩A 1C ＝E ，连结 DE ．
∵三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，AA 1 =
∥C 1C ， 20 ． ·
··············· 14 分
∴三棱柱的侧面 AA 1C 1C 是平行四边形，∴E 为 AC 1 中
点． 在△ABC 1 中，又∵D 是 AB 的中点，∴DE ∥BC 1． ∵DE ⊂平面 A 1DC ，BC 1⊄平面 A 1DC ，∴ BC 1∥平面 A 1D C ． ·························· 7 分
(2)∵ABB 1A 1 为菱形，且∠A 1AB ＝60°，∴△A 1AB 为正三角形． ∵D 是 AB 的中点，∴AB ⊥A 1D ．
∵AC ＝BC ，D 是 AB 的中点，∴AB ⊥CD ． A 1D ∩CD ＝D ，∴AB ⊥平面 A 1DC ． ∵AB ⊂平面 ABC ，∴平面 A 1DC ⊥平面 ABC ． ································ ············
14 分
17.（1)如图建立直角坐标系， 则城市 A (0，0)，
当前台风中心 P (30 2，－210 2)， 设 t 小时后台风中心 P 的坐标为(x ，y )，
⎪⎧ x ＝30 2－10 2t
则⎨ ，
⎪⎩ y ＝－210 2＋10 2t
此时台风的半径为 60＋10t ， ································ ································ ···· 4 分
10 小时后，PA ≈184.4km ，台风的半径为 r ＝160km ，
因为 r ＜PA ，故 10 小时后，该台风还没有开始侵袭城市 A ． ························· 7 分
(2)因此，t 小时后台风侵袭的范围可视为以 P (30 2－10 2t ，－210 2＋10 2t ) 为圆心，60＋10t 为半径的圆，································ ································ ·9 分
若城市 A 受到台风侵袭，则
[(30 2－10 2t )－0]2＋[(－210 2＋10 2t )－0]2≤(60＋10t ) ·························
11 分
⇒300t 2－10800t ＋86400≤0，即 t 2－36t ＋288≤0， 解得 12≤t ≤24 ．
答:该城市受台风侵袭的持续时间为
12 小时． ································ ············ 14 分
18．(1)易知 a ＝2，因为→·→＝0，
所以 ΔBF 1F 2 为等腰直角三角形， 所以 b ＝c ，由 a 2－b 2＝c 2 可知 b ＝ 2，
故椭圆的标准方程为 x 2 y 2
1； ································
······························ 4 分
4 2
1
3＋ 3＋3a
y 2
， F 1P F 1B ⎩
(2)由已知得 b 2＝c 2，a 2＝2c 2，
设椭圆的标准方程为 x 2
＋ ＝
1，P 的坐标为(x ，y )， ································ ·· 6 分
2c 2 c 2
0 0
因为 F 1(－c ，0)，B (0，c )，所以→＝(x 0＋c ，y 0)，→＝(c ，c )，
→ → 由题意得PF 1·BF 1＝0，所以 x 0＋y 0＋c ＝0， ································
················· 8 分
x 2 y 2
又因为 P 在椭圆上，所以 0
＋ 0＝1，由以上两式可得 3x 2＋4cx ＝0，
2c 2 c 2
0 0
4 1 4c c 因为 P 不是椭圆的顶点，所以 x 0＝－ c ，y 0＝ c ，故 P (－ ， )，················· 10 分
3 3 3 3
2c 2c 设圆心为(x 1，y 1)，则 x 1＝－ ，y 1＝ ， 3 3
圆的半径 r ＝ (x 1－0)2＋(y 2－c )2， ································ ··················
12 分
假设存在过 F 2 的直线满足题设条件，并设该直线的方程为 y ＝k 1(x －c )，
|k ( 2c 2c
|kx 1－kc －y 1| — )－kc － | 5c
由相切可知 k 2＋1 ＝r ＝ 3 ，
即 20k 2＋20k －1＝0，解得 k ＝－ 2 故存在满足条件的直线． ·
······························· ································
······ 16 分
19．(1) 由题意，求得函数的导数 f '(x )＝3x 2－6x ＋2－a ，
当 Δ＝36－12×(2－a )≤0，即 a ≤－1 时，f '
(x )≥0 恒成立，f (x ) 在 R 上单调递增； 3± 3＋3a
当 a ＞－1，令 f '
(x )＝0，解得 x 1 2＝ 3
， 3－ 3＋3a ∴f '(x )＞0 的解集为(－∞， 3 )∪ 3 ，＋∞)， 3－ 3＋3a 3＋ 3＋3a 即 f (x )的单调增区间为(－∞， 3 )，( 3 ，＋∞)； ····················· 6 分
(2)①由题意可知, f (x )＝x 3－3x 2＋(2－a )x ＝x (x －t 1)(x －3t 1)， ⎧ t 1＋3t 1＝4t 1＝3 3 5
∴⎨ t 1·3t 1＝3t 2＝2－a ，解得
t 1＝4，a ＝16； ································ ············· 8 分
⎩
1
②由题意可知, f (x )＝x 3－3x 2＋(2－a )x ＝x (x 2－3x ＋2－a )＝x (x －t 1)(x －t 2)， ⎧ t 1＋t 2＝3
⎨ t 1·t 2＝2－a ， 1
∴ Δ＝9－4×(2－a )＝1＋4a ＞0，∴a ∈(－4，2)∪(2，＋∞)． ·
················ 10 分
2－a ≠0
1
若 t 2＞t 1＞0，即 a ∈(－4，2)，f (x )≤0 在 x ∈[t 1，t 2]恒成立，且 16－a ＞0，
－ 1 1 1 1 － ， 1
∴a ∈(－4，2)符合题意；
································ ································ ······ 12 分
当 t 1＜0 时，设 f '(x 1)＝
f '(x 2)＝
0(x 1＜
x 2)，则 t 1＜x 1＜0＜x 2＜
t 2,
∴当 x ∈[t 1，t 2]，f (x )max ＝f (x 1)≤16－a ， ∵3x 2－6x ＋2－a ＝0，∴3x 2－6x ＝a －2，
1
1 1 1
∴f (x 1)＝x 3－3x 2－(3x 2－6x 1)x 1≤16－(3x 2
－6x 1＋2)， 整理得 x 3－3x 2＋3x ＋7≥0，即(x ＋1)(x 2
－4x ＋7)≥0，解得 x ∈[－1，0)，
1 1 1 1 1 1 1
又∵a ＝3x 2－6x ＋2＝3(x －1)2－1，
1
1
1
∴a ∈(2，11] ．
综上，a 的取值范围是( 1
2)∪(2，11]·
······························· ···················
16 分
4
1 1 1
1－(－2)n 1
20．(1) 因为 a n ＝2n ，所以 S n ＝2× 1 ＝1－(2)n
，
1－(－2)n
1 1 3 1 3 1 1 所以 a n ＋1－S n ＝(2)n 1
－1＋(2)n ＝2(2)n －1≤2×2－1＝－4＜0， 所以
a n ＋1＜S n ，即{a n }∈M ， ································ ································ ···· 4 分
(2) 设{a n }的公差为 d ，因为{a n ＋n }∈M ，
所以 a n ＋1＋n ＋1≤(a 1＋1)＋(a 2＋2)＋…＋(a n ＋n )(*) ． 特别的当 n ＝1 时，a 2＋2≤a 1＋1，即 d ≤－1， n (n －1) n (n ＋1) 由(*)得
a 1＋nd ＋n ＋1≤na 1＋ 2 d ＋ 2 ， d ＋1
3
1
整理得 2 n 2＋(a 1－2d －2)n －a 1－1≥0，因为上述不等式对一切 n ∈N *恒成立，所以必 d ＋1
有 2 ≥0，解得 d ≥－1 ． 又 d ≤－1，所以 d ＝－1 ．
于是(a 1＋1)n －a 1－1≥0，即(a 1＋1)(n －1)≥0， 所以 a 1＋1≥0，即 a 1≥－1 ．
所以 2a 5－a 1＝2(a 5－a 1)＋a 1＝8d ＋a 1＝－8＋a 1≥－9， 因此
2a 5－a 1 的取值范围是[－9，＋∞) ． ································ ················ 10 分
S n ＋1
(3) 由 a n ＋1≤S n 得 S n ＋1－S n ≤S n ，所以 S n ＋1≤2S n ，即 S n ≤2， S n －1 S 2 S 3 S n ＋1
所以 S 1 ＝S 1×S 2×…× S n ≤2n ， 从而有 S n ＋1≤S 1×2n ＝a 1×2n ，
又 a n ＋1≤S n ，所以 a n ＋2≤S n ＋1≤a 1×2n ，即 a n ≤a 1×2n －
2(n ≥3)， 又 a 2≤S 1＝a 1×22－2，a 1＜a 1×21－
2 ．
＝ ＜ 4n 4
所以有 a n ≤a 1×2
n －2
(n ∈N *)，所以a ≥a ×2n ．
n
1
4n
假设数列{a n }中存在无穷多项依次成等差数列， 不妨设该等差数列的第 n 项为 dn ＋b (b 为常数)，
4m 4
4
则存在 m ∈N ，m ≥n ，使得 dn ＋b ＝a m ≥a 1×2m ≥a 1×2n ，
即 da 1n ＋ba 1≥2n ＋
2，
n 2
设 f (n )＝2n ＋2，n ∈N *，n ≥3，
则 f (n ＋1)－f (n ) (n ＋1)2 n 2
2－(n －1)2 0，
＝ 2n ＋3 － n ＋2＝ n ＋3 ＜
即 f (n ＋1)＜f (n )≤f (3) 2 2
9 1，
32
于是当 n ≥3 时，2n ＋
2＞n 2 ．
从而有:当 n ≥3 时 da 1n ＋ba 1＞n 2，即 n 2－da 1n －ba 1＜0 有无穷多个解，显然不成立， 于是当 n ≥3 时，关于 n 的不等式 n 2－da 1n －ba 1＜0，
因此数列{ 4
}中是不存在无穷多项依次成等差数列． ································ ··· 16 分
a n。