广东省湛江一中2022年高三5月高考重点-数学(文)

广东省湛江一中2022年高三5月高考重点-数学（文）
2020届高三5月高考模拟
数学（文）试题
本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原先的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 参考公式：方差
()()()
2222
121n s x x x x x x n ⎡
⎤
=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦， 其中
12
n x x x x n
++
+=.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1. 集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B = （ ）
A ．(,0]-∞
B ．(,1]-∞
C ．[1,2]
D ．[1,)+∞ 2.i 是虚数单位，则复数21
=
i z i
-在复平面内对应的点在 ( ) A ．第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3. 已知命题 :p x ∀∈R ，2x ≥，那么下列结论正确的是 ( )
A . 命题:2p x x ⌝∀∈R ≤，
B ．命题:2p x x ⌝∃∈<R ，
C ．命题:2p x x ⌝∀∈-R ≤，
D ．命题:2p x x ⌝∃∈<-R ， 4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 ( ) A .180 B .240 C .276 D .300
5.()22
,
0,3log ,0.x f x x x x ⎧-<⎪=⎨⎪+>⎩
则 ((1))f f -等于 ( )
A .2-
B .2
C .4
-
D .4
俯视图
6. 已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，
*n N ∈，则10S 的值为 （ ）
A ．-110
B ．-90
C ．90
D ．110
7. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为
A ．102
B ．81
C ．39
D ．21
8. 已知x ，y 满足,1,1,y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
则2z x y =+的最大值为 ( )
A .1
B .2
C .3
D .4
9. 设P 是△ABC 所在平面内的一点,2BC BA BP +=,则( ) A .0PA PB += B .0PB PC += C .0PC PA += D .0PA PB PC ++=
10、在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类“，记为k ⎡⎤⎣⎦，
即{}
501234k n k n Z k ⎡⎤=+∈=⎣⎦|,,,,,. 给出如下三个结论：①20133⎡⎤∈⎣⎦②22⎡⎤-∈⎣⎦③01234Z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎣⎦
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦;其中，正确结论的个数为（ ）
A ． 0
B ．1
C ．2
D ．3 二、填空题：本题共5小题，作答4小题，每题5分，满分20分. (一)必做题(11～13题)
11、若焦点在x 轴的椭圆
2212x y m +=的离心率为1
2
，则m 的值为___ _ 12
由资料可知y 和x 呈线性相关关系，由表中数据算出线性回来方程ˆˆbx a =+中的ˆ123,b =. 据此估量，使用年限为10年时的修理费用是 万元.
13．在△ABC 中，120A ∠=︒，5AB =，7BC =，则sin sin B
C
的值为 ．； (二)选做题(14～15题考生只能从中选作一题)
14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线π
3
θ=
（ρ∈R ）与圆
图3
6
2
5
x 06
11y 119
889
67乙甲E D
C B
A θθρsin 34cos 4+= 交于A 、
B 两点，则=||AB ．
15、如图，AB 、CD 是圆的两条弦，AB 与CD 交于E , AE EB >, AB 是线段CD 的中垂线.若AB =6，CD =52，则线段AC 的长度为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）
已知函数)cos()(ϕω+=x A x f (0>A ,0>ω,
2
<<-
ϕπ
)的图像与y 轴的交点为)1,0(,
它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0
-+πx
(I)求函数)(x f 的解析式; (II)若锐角θ满足
3
1cos =
θ,求)2(θf 的值.
17. （本小题满分12分）
某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83. （I ）求x 和y 的值；
（II ）运算甲班7位学生成绩的方差2s ；
（III ）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，
求甲班至少有一名学生的概率.
18. （本小题满分14分）
如图，已知平面α,β，γ，且,,,,AB PC PD C D
αβαβ=⊥⊥是垂足．
（Ⅰ）求证：AB ⊥CD ；
（Ⅱ）若PC PD ⊥，求证：α⊥β； （III ）若CD ⊂
γ，α
γ=1l ，βγ=2l ，探究1l 与2l 的位置关系。

A
P
C
D
B
β
α
第16题
19．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 满足， *1
1212,,2
n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝
. (I)令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列； (II)求{}n a 的通项公式。

20. （本小题满分14分）
如图,圆O 与离心率为23
的椭圆T :12222=+b
y a x (0>>b a )相切于点M )1,0(.
(I )求椭圆T 与圆O 的方程;
(II )过点M 引两条互相垂直的直线1l 、2l 与两曲线分别交于点A 、C 与点B 、D (均不重合)，若P 为椭圆上任一点,记点P 到两直线的距离分别为1d 、2d ,求2
22
1d d +的最大值;
21．（本小题满分14分）
已知函数x a x x a x f ln )4(22
)(2
-+-=
，0>a ． （Ⅰ）若1=a ，求函数)(x f 的极值；
（Ⅱ）若函数)(x f 在)2,1(上有极值，求a 的取值范畴．
参考答案
一、选择题：1B 2A 3B 4B 5D 6D 7A 8C 9C10C
二、填空题：11. 2
3; 12. 12.38; 13. 3
5;14. 8;
三、解答题：
16.（本小题满分12分）[解](1)由题意可得2=A π
22
=T
即π4=T ,
2
1=
ω …… 2分
)
21
cos(2)(ϕ+=x x f ,1)0(=f 由
2
1cos =ϕ且02<<-ϕπ,得3πϕ-
=
函数
)
3
21cos(2)(π-=x x f ……… 6分
(2)由于
1cos 3θ=且θ为锐角,因此3
22sin =θ )
2(θf )
3
sin sin 3cos
(cos 2)3
cos(2πθπ
θπ
θ+=-
=
)233222131(2⨯+⨯⋅=3
621+=
(12)
分
17. （本小题满分12分）
（1）解：∵甲班学生的平均分是85，
∴92968080857978
85
7
x +++++++=. …………… 1分
∴5x =. …………… 2分 ∵乙班学生成绩的中位数是83， ∴3y =. …………… 3分 （2）解：甲班7位学生成绩的方差为
2
s ()()()22222221675007117⎡⎤=-+-+-++++⎢
⎥
⎣⎦40=. …… 5分 （3）解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为,A B ， …………… 6分 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为,,C D E . …………… 7分 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情形：()()(),,,,,,A B A C A D
()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A E B C B D B E C D C E D E . ……… 9分
其中甲班至少有一名学生共有7种情形：()()(),,,,,,A B A C A D
()()()(),,,,,,,A E B C B D B E . ……………11分
记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事
件M ，则
()710
P M =
. ……………12分 18. （本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为,PC AB αα⊥⊂，因此PC AB ⊥．
同理PD AB ⊥．
又PC PD P =，故AB ⊥平面PCD ．
又CD ⊂平面PCD ，故AB ⊥CD ；……4分
（Ⅱ）证明：设AB 与平面PCD 的交点为H ，连结CH 、DH ．
因为α⊥PC ，PD β⊥，因此CH PC ⊥，PD DH ⊥，
又PC PD ⊥，则四边形PCHD 为矩形， 则CH HD ⊥，
又AB ⊥平面PCD ，CH ⊂平面PCD ， 则CH AB ⊥，
又AB HD H =， 则CH β⊥，
又CH α⊂，
则α⊥β。

……9分 （III ）若//AB γ，
1,AB l αα
γ⊂=
1//l AB ∴ 同理2//l AB ， 12//l l ∴
若AB
Q γ=，则,,Q Q αγ∈∈
1l αγ=，则1Q l ∈。

同理2Q l ∈，
A
P
C
D
B
β
α
H
则12l l Q = ……14分
19．（本小题满分14分） （1）证1211,b a a =-= 当2n ≥时，1111,11
()222
n n n n n n n n n a a b a a a a a b -+--+=-=
-=--=- {}n b ∴是以1为首项，1
2
-为公比的等比数列。

…7分
（2）解由（1）知111
(),2
n n n n b a a -+=-=-
当2n ≥时，
121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+
+-
21111()()22n -=++-++-1
11()2111()2
n ---=+
-- 2211[1()]32n -=+--1521
(),332
n -=--
当1n =时，111521
()1332a ---==，
1*521
()()332
n n a n N -∴=--∈。

…14分
20（本小题满分14分） 解: (1)由题意知:
222,1,2
3a b c b a c =+==解得3,1,2===c b a 可知: 椭圆C 的方程为14
22
=+y x 与圆O 的方程122=+y x …5分 (2)设),(00y x P 因为1l ⊥2l ,则2
020
2
22
21
)1(++==+y x PM d d 因为14
2
020=+y x 因此3
16)31
(3)1(4420202
02221+
+-=++-=+y y y d d , …11分
因为110≤≤-y 因此当3
10-=y 时2
221d d +取得最大值为3
16
,现在点)31,324(-±P 21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）若1=a ，则x x x x f ln 322
1)(2
--=
．
x
x x x x x x x x f )1)(3( 3
232)('2+-=
--=--=． …2分 当)3,0(∈x 时，0)('<x f ；当),3(+∞∈x 时，0)('>x f ． …4分 因此函数有极小值3ln 32
3
)3(--
=f ，无极大值．
…6分
（II ）)0( 4
2 42)('2>-+-=-+-=x x
a x ax x a ax x f ．
记42)(2-+-=a x ax x h ．
若)(x f 在)2,1(上有极值，则0)(=x h 有两个不等根且在)2,1(上有根． …8分
法一、(1)(2)0h h ⋅<或(1)0(2)0
4-4(-4)0112
h h a a a
>⎧⎪>⎪⎪∆=>⎨⎪⎪<<⎪⎩或(1)01312h a =⎧⎪⎨<<⎪⎩或(2)031
22h a =⎧⎪
⎨<<⎪⎩ …12分 解得)3,5
8
(∈a .
故函数)(x f 在)2,1(上有极值时a 的取值范畴为)3,5
8
(． …14分
法二、由0422=-+-a x ax 得)2(2)1(2+=+x x a ， 因此4
2
5
)2(2
1
)2(22
-+++=
++=
x x x x a ． …10分
因为)4,3(2∈+x ，因此)3,5
8
(∈a ．
经检验当)3,5
8
(∈a 时，方程0)(=x h 无重根．
故函数)(x f 在)2,1(上有极值时a 的取值范畴为)3,5
8
(．
…14分。