平面向量的坐标证明

平面向量的坐标证明
一、引言
平面向量是高中数学中的重要概念，它在解决几何问题以及代数运算中扮演着重要角色。

本节课将从坐标的角度，详细介绍平面向量的坐标证明。

二、知识点讲解
1. 平面向量的表示方式
平面向量可以通过表示一个点到另一个点的位移来描述。

我们通常用有向线段来表示平面向量，即由一个起点和一个终点构成，其中顺序和方向都很重要。

2. 平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，平面向量可以使用其终点的坐标减去起点的坐标来表示。

如向量AB的坐标表示为$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$，其中A点的坐标为$(x_1,y_1)$，B点的坐标为$(x_2,y_2)$。

3. 坐标运算规律
平面向量的坐标运算包括加法、数乘和减法。

具体规律如下：
- 向量加法：$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$
- 数乘：$k(x,y)=(kx,ky)$，其中$k$为实数
- 向量减法：$(x_1,y_1)-(x_2,y_2)=(x_1-x_2,y_1-y_2)$
三、坐标证明实例
下面以两个具体的实例来进行坐标证明。

实例1：
已知向量$\overrightarrow{AB}=(1,3)$，向量
$\overrightarrow{CD}=(4,2)$，证明
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overri ghtarrow{BD}$。

证明过程：
设点A的坐标为$(x_1,y_1)$，B的坐标为$(x_2,y_2)$，C的坐标为$(x_3,y_3)$，D的坐标为$(x_4,y_4)$。

由已知条件可知：
$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)=(1,3)$
$\overrightarrow{CD}=(x_4-x_3,y_4-y_3)=(4,2)$
将向量相加的结果代入等式中：
$(x_2-x_1,y_2-y_1)+(x_4-x_3,y_4-y_3)=(x_3-x_1,y_3-y_1)+(x_4-
x_2,y_4-y_2)$
经过计算化简得：
$(x_2-x_1+x_4-x_3,y_2-y_1+y_4-y_3)=(x_3-x_1+x_4-x_2,y_3-
y_1+y_4-y_2)$
比较等式两边的坐标可得：
$x_2-x_1+x_4-x_3=x_3-x_1+x_4-x_2$
$y_2-y_1+y_4-y_3=y_3-y_1+y_4-y_2$
化简得：
$0=0$
因此，根据坐标证明的结果，
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overri ghtarrow{BD}$得到证明。

实例2：
已知向量$\overrightarrow{PQ}=(x,y)$，证明
$\overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{MN}$。

证明过程：
设点P的坐标为$(x_1,y_1)$，Q的坐标为$(x_2,y_2)$，M的坐标为$(x_3,y_3)$，N的坐标为$(x_4,y_4)$。

由已知条件可知：
$\overrightarrow{PQ}=(x_2-x_1,y_2-y_1)=(x,y)$
将向量数乘的结果代入等式中：
$2\overrightarrow{MN}=2(x_4-x_3,y_4-y_3)$
经过计算化简得：
$(2x_4-2x_3,2y_4-2y_3)=(x,y)$
比较等式两边的坐标可得：
$2x_4-2x_3=x$
$2y_4-2y_3=y$
化简得：
$x=2x_4-2x_3$
$y=2y_4-2y_3$
由于点M和点N的坐标是常数，因此$x$和$y$也是常数。

所以，$\overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{MN}$得到了证明。

四、课堂练习
1. 已知向量$\overrightarrow{AB}=(3,5)$，求点A和点B的坐标。

2. 已知向量$\overrightarrow{CD}=(2,-4)$，求点C和点D的坐标。

3. 证明
$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$。

五、总结
通过本节课的学习，我们了解了平面向量的坐标表示以及坐标证明的方法。

坐标证明可以通过设定点的坐标，利用已知条件和坐标运算规律来进行推导，从而得到结论。

在解决几何问题和代数运算中，坐标证明是一种常用的方法。

希望同学们能够通过不断的练习和思考，熟练掌握平面向量的坐标证明技巧。