高三数学第一学期期末考试 理 试题

卜人入州八九几市潮王学校闸北区2021第一学期高三数学〔理科〕期末练习卷〔202〕 考生注意：
1.本次测试有试题纸和答题纸，答题必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．
2.．
3.本套试卷一共有18道试题，总分值是150分．考试时间是是120分钟．
一、填空题〔此题总分值是50分〕本大题一一共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写上 结果，每个空格填对得5分，否那么一律得零分．
1．=++⋅⋅⋅+++-∞→2
)12(753lim n n n C n ． 2．两条不同的直线n m 、和平面α
①α⊥m
，α⊥n n m //⇒；②α//m ，α//n n m //⇒；③α//m ，α⊥n n m ⊥⇒．
．
3．假设复数z 满足：i z z 2=-，iz z =，〔i 为虚数单位〕，那么=2z ． 4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,,0,121)(2x x x x f x 与函数)(x g 的图像关于直线x y =对称，那么当0>x 时，=)(x g ．
5．如右图，矩形
ABCD 由两个正方形拼成，那么CAE ∠的正切值为． 6．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段CD 的 中点，假设a AC =，b BD =，那么=AE ．〔用a 、b 表示〕 7．现剪切一块边长为4的正方形铁板，制作成一个母线长为4的圆锥V 的侧面，那么，当剪切掉作废的铁板面积最小时，圆锥V 的体积为．
8．某班级在5人中选4人参加4×100米接力．假设第一棒只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒只能
从甲、乙两人中产生，那么不同的安排棒次方案一共有种．〔用数字答题〕．
9．假设不等式02>++c bx ax 的解集为}21|{<<-x x ，那么不等式||2x b c x
b a >++的解集为． 10．设常数R ∈a ，以方程20112||=⋅+x a x 的根的可能个数为元素的集合=A ．
二、选择题〔此题总分值是15分〕本大题一一共有3题，每一小题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否那么一律得零分.
11．我们称侧棱都相等的棱锥为等腰棱锥．“四棱锥ABCD P -“四棱锥ABCD P -的底面是长方形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面〞．那么，甲是乙的【】
A.充分必要条件
B.充分非必要条件
C.必要非充分条件
D.既非充分又非必要条件
12．函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛<<-=323)arccos(sin ππx x y 的值域是【】 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛656ππ，B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,6ππC ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡320π，D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡6
50π， 13．某人从2010年9月1日起，每年这一天到银行存款一年定期1万元，且每年到期的存款将本和利再存
入新一年的一年定期，假设一年定期存款利率%50.2保持不变，到2015年9月1日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为【】
A.11314元
B.53877元
C.11597元
D.63877元
三、解答题〔此题总分值是85分〕本大题一一共有5题，解答以下各题必须在答题纸的规定区域〔对
应的题号〕内写出必要的步骤．
14．〔总分值是14分〕此题有2小题，第1小题6分，第2小题8分．
在平面直角坐标系xOy 中，AOB ∆三个顶点的直角坐标分别为
)3,4(A ，)0,0(O ，)0,(b B ． 〔1〕假设5=b ，求A 2cos 的值；
〔2〕假设AOB ∆为锐角三角形，求b 的取值范围．
15．〔总分值是15分〕此题有2小题，第1小题6分，第2小题9分．
如图，在直角梯形ABCD 中， 90=∠=∠C B ，2=AB ，2
2=CD ，1=BC ．将ABCD 〔及其内部〕绕AB 所在的直线旋转一周，形成一个几何体．
〔1〕求该几何体的体积V ；
〔2〕设直角梯形ABCD 绕底边AB 所在的直线旋转角θ〔),0('πθ∈=∠CBC 〕至''D ABC ，问：是否存在θ，使得''DC AD ⊥．假设存在，求角θ的值，假设不存在，请说明理由．
16．〔总分值是16分〕此题有2小题，第1小题7分，第2小题9分．
据测算：2021年，某企业假设不搞促销活动，那么某一种产品的销售量只能是1万件；假设搞促销活
动，那么该产品销售量〔亦即该产品的年产量〕m 万件与年促销费用x 万元〔0≥x 〕满足1
3+-=x k
m 〔k 为常数〕．2021年消费该产品的前期投入需要8万元，每消费1万件该产品需要再投入16万元，企业将每件该产品的销售价格定为每件产品年平均本钱的倍〔定价不考虑促销本钱〕．
〔1〕假设2021年该产品的销售量不少于2万件，那么该产品年促销费用最少是多少？
〔2〕试将2021年该产品的年利润
y 〔万元〕表示为年促销费用x 〔万元〕的函数，并求2021年的最大
利润． 17．〔总分值是20分〕此题有2小题，第1小题12分，第2小题8分．
设)(x f 为定义域为R 的函数，对任意R ∈x ，都满足：)1()1(-=+x f x f ，)1()1(x f x f +=-，且当]1,0[∈x 时，.33)(x x x f --=
〔1〕请指出)(x f 在区间]1,1[-上的奇偶性、单调区间、最大〔小〕值和零点，并运用相关定义证明你关于单调区间的结论；
〔2〕试证明)(x f 是周期函数，并求其在区间)Z ](2,12[∈-k k k 上的解析式．
18．〔总分值是20分〕此题有2小题，第1小题12分，第2小题8分．
数列{n a }和{n b }满足：对于任何*N ∈n ，有n n n b b a -=+1，λλλ()1(12n n n b b b -+=++为
非零常数〕，且2121==b b ，．
〔1〕求数列{n a }和{n b }的通项公式；
〔2〕假设3b 是6b 与9b 的等差中项，试求λ的值，并研究：对任意的*N ∈n ，n b 是否一定能是数列{n b }中某两项〔不同于n b 〕的等差中项，并证明你的结论．
闸北区2021第一学期高三数学〔理科〕期末练习卷答案
一、1．2；2．①③；3．2；4．x -；5．31；6+； 7．π315；8．24；9．}012|{<<--x x ；10．}3,2,1{.
二、11．C ．12．D ．13．B.
三、14．解：〔1〕【解一】)3,4(--=AO ，)3,4(--=b AB ， 假设5=b ，那么)3,1(-=AB ．……………………………………………………2分
所以，1010
cos ==A ，…………………………………………………….2分 所以，.5
41cos 22cos 2-=-=A A .……………………………………………………….2分 【解二】)cos(2cos B A A
∠+∠=.……………………………………………………….2分 )cos(AOB ∠-=π.……………………………………………………….2分
5
4cos -
=∠-=AOB .…………………………………………………….2分 综上所述，)425,4(∈b ．..………………………………………………2分 〔2〕【解一】假设A ∠为锐角，那么
0>⋅AB AO ，即09164>++-b ，得425<b ．.….2分 假设B ∠为锐角，那么0>⋅BO
BA ，即0)4(>--b b ，得0<b 或者4>b ．……………….2分 假设O ∠为锐角，那么0>⋅OB
OA ，即04>b ，得0>b ．………………...………………..2分 综上所述，)4
25,4(∈b ．..……………………………………………………………………2分 【解二】用平面几何或者解析几何的方法同样给分．
15．解：〔1〕如图，作AB DE ⊥，那么由，得22
,1=-==EB AB AE DE ，….2分 所以，.3
222212213122πππ=⨯⨯+⨯⨯=V ………………….………………….4分 〔2〕【解一】如下列图，以B 为原点，分别以线段BC 、BA 所在的直线为x 轴、z 轴，通过B 点，做垂直于平面ABCD 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系．………………….1分 由题意，得)2,0,0(A ，)22,0,1(D ，)0,sin ,(cos 'θθC ，)2
2,sin ,(cos 'θθD ，………2分 )22,sin ,(cos '-
=θθAD ，)22,sin ,1(cos '--=θθDC 假设
''DC AD ⊥，那么021sin )1(cos cos 2=++-θθθ，.…….…….…….…….…………..4分 得2
3cos =θ，与1cos 1≤≤-θ矛盾，…….…….…….…….………….…….…………..1分 故，不存在θ，使得''DC AD ⊥．…….…….…….…….………….…….…………..1分
【解二】取BA 的中点E ，连DE ，E C '，那么E DC '∠〔或者其补角〕就是异面直线''DC AD 与所
成的角．…….…….…….…….………….…….……….…….………….…….…………..1分
在E DC
'∆中，26''==AD EC ，1==CB DE ，.cos 22cos 2112'θθ-=-+=CC .3分 .cos 225)cos 211(212'22'θθ-=-++=
+=CC DC DC .…….………….…………..2分 02cos 232cos ''''22'2
''>⋅-=⋅-+=∠∴D
C EC
D C EC D
E EC DC E DC θ，.…….….…….…………..2分 故，不存在θ，使得''DC AD ⊥．…….…….…….…….………….…………..1分
16．解：〔1〕由题意可知，当0=x
时，1=m 〔万件〕，由13+-=x k m 可得2=k ． 所以1
23+-
=x m ．………………………………………………………………………….3分 由题意，有2123≥+-=x m ，解得1≥x ．
所以，那么该产品年促销费用最少是1万元．………………………………………….4分
〔2〕由题意，有每件产品的销售价格为m
m 1685.1+⨯
〔元〕， 所以，2021年的利润)168(]1685.1[x m m
m m y ++-+⨯⋅= 1
1628+--=x x ．……………………………………………….4分 因为0≥x ，8)1(1
16≥+++x x ， 所以2129829)]1(1
16[=+-≤++++-=x x y ，………………………………………4分 当且仅当1116+=+x x ，即3=x 〔万元〕时，利润最大为21万元．…………………..1分 17．解：〔1〕偶函数；.………………………………………………………………………1分 最大值为3
8、最小值为0；.…………….……………………………………………………1分 单调递增区间：];1,0[单调递减区间：]0,1[-；...…………………………………………1分 零点：0=x ．.…………………………..……………………………………………………1分 单调区间证明：
当]1,0[∈x 时，
.33)(x x x f --= 设]1,0[2
1∈x x ，，21x x <， 证明)(x f 在区间]1,0[上是递增函数
由于函数
x y 3=是单调递增函数，且03>x 恒成立， 所以03321<-x x ，0331121>⋅+
x x ， 所以，
)(x f 在区间]1,0[上是增函数．…………………………………………………….4分 证明)(x f 在区间]0,1[-上是递减函数
【证法一】因为
)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数． 对于任取的]0,1[2
1-∈x x ，，21x x <，有021>->-x x 所以，)(x f 在区间]0,1[-上是减函数．…………………………………………………..4分
【证法二】设]0,1[-∈x ，由
)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数，得 以下用定义证明)(x f 在区间]0,1[-上是递减函数………………………………………..4分
〔2〕设R x ∈，
)(]1)1[(]1)1[()2(x f x f x f x f =-+=++=+， 所以，2是
)(x f 周期．……………………………………………………………4分 当]2,12[k k x -∈时，]1,0[2∈-x k ，
所以.33)2()()(22k x x k x k f x f x f ---=-=-=………………………………………….4分
18．解：〔1〕【解一】由)0,2()1(11
≠≥-+=-+λλλn b b b n n n 得， )(11-+-=-n n n n b b b b λ．
又1121=-=b b a ，0≠λ，0≠n a ．
所以，{n a }是首项为1，公比为λ的等比数列，1-=n n
a λ．…………………………….5分 由)()()(123121--+⋅⋅⋅+-+-=-n n n
b b b b b b b b ，得
所以，当2≥n 时，⎪⎩
⎪⎨⎧=≠--+=-.1,,1,1111
λλλλ n b n n ……………………………………………….6分 上式对1=n 显然成立．………………………………………………………………………..1分
【解二】猜测1-=n n a λ，并用数学归纳法证明…………………………………………….5分 n b 的求法如【解一】………………………………………………………………………..7分 【解三】猜测⎪⎩
⎪⎨⎧=≠--+=-.1,,1,1111
λλλλ n b n n ，并用数学归纳法证明………………………….7分 1-n 1λ=-=+n n n b b a …………………………………………………………………..5分 〔2〕当1=λ
时，3b 不是6b 与9b 的等差中项，不合题意；……………………………….1分 当1≠λ
时，由32b 96b b +=得02258=-+λλλ， 由0≠λ得0236=-+λλ〔可解得32-=λ〕..…………………………………………2分
对任意的*
N n ∈，n b 是3+n b 与6+n b 的等差中项．.………………………………….2分 证明：0)2(1263163=---=-+-++λλλ
λn n n n b b b ， 2
6
3+++=∴n n n b b b ，.………………………………….3分 即，对任意的*N n ∈，n b 是3+n b 与6+n b 的等差中项．。