广西省贺州市2020年高二第二学期数学期末质量跟踪监视试题含解析

广西省贺州市2020年高二第二学期数学期末质量跟踪监视试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．高三某班有60名学生（其中女生有20名），三好学生占
1
6
，而且三好学生中女生占一半，现在从该班任选一名学生参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率是（ ） A ．
16
B ．
18
C ．
110
D ．
112
2．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x ＋2x ＋b(b 为常数)，则f(－1)＝( ) A ．3
B ．1
C ．－1
D ．－3
3．《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（ ）
(注:雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)
A ．甲的数据分析素养高于乙
B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养
C ．乙的六大素养中逻辑推理最差
D ．乙的六大素养整体水平优于甲
4．在研究吸烟与患肺癌的关系中,通过收集数据、整理分析数据得 “吸烟与患肺癌有关”的结论,并且有99%以上的把握认为这个结论是成立 的,则下列说法中正确的是.
A ．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌
B ．1个人吸烟,那么这人有99%的概率患有肺癌
C ．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人
D ．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有
5．已知单位向量,OA OB 的夹角为60，若2OC OA OB =+，则ABC ∆为（ ）
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
6．若命题“x R ∃∈，使21()10x a x <＋－＋”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．13a ≤≤ B ．13a ≤≤－ C ．33a ≤≤－
D ．11a ≤≤－
7．某中学高二共有12个年级，考试时安排12个班主任监考，每班1人，要求有且只有8个班级是自己的班主任监考，则不同的安排方案有（ ） A ．4455
B ．495
C ．4950
D ．7425
8．一个算法的程序框图如图所示，则该程序框图的功能是
A ．求a ，b ，c 三数中的最大数
B ．求a ，b ，c 三数中的最小数
C ．将a ，b ，c 按从小到大排列
D ．将a ，b ，c 按从大到小排列
9．已知函数2y x =-的定义域为M ，集合(){}
lg 1N x y x ==-，则M
N =( )
A ．[)0,2
B ．()0,2
C ．[)1,2
D ．(]1,2
10．下列关于积分的结论中不正确的是（ ） A ．
1
1
cos d 0x x x -=⎰
B ．
1
1
1
sin d 2sin d x x x x x x -=⎰
⎰
C ．若()f x 在区间[],a b 上恒正，则()d 0b
a
f x x >⎰
D ．若
()d 0b
a
f x x >⎰
，则()f x 在区间[],a b 上恒
正
11．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若////m n αα，，则//m n B ．若//m n αβαβ⊂⊂，，，则//m n
C ．若m n n m α
βα=⊂⊥，，，则n β⊥ D ．若//m m n n αβ⊥⊂，，，则αβ⊥
12．如图1是把二进制数(2)11111化为十制数的一个程序框图, 则判断框内应填入的条件是( )
A . 5i >
B . 5i ≤
C . 4i >
D . 4i ≤
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．
8
1 x
x ⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
的展开式中
2
1
x
的系数为______.
14．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线
22
22
x y
1
a b
-=的离心率e5
>的概率是______．15．设x，y满足约束条件
33
1
x y
x y
y
+≤
⎧
⎪
-≥
⎨
⎪≥
⎩
，则z x y
=+的最大值为________．
16．函数()ln1
f x x
=-的定义域为________．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．集合
3
{|1,}
2
A x x R
x
=<∈
+
，{|||2,}
B x x a x R
=-<∈.
（1）若2
a=，求A B；
（2）若R
B C A=∅，求a的取值范围.
18．十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国．根据环保部门对某河流的每年污水排放量X(单位：吨)的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立
(1)求在未来3年里，至多1年污水排放量[)
270310
X∈，的概率；
(2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当[)
2300
X∈，27时，没有影响；当[)
270310
X∈，时，经济损失为10万元；当X∈[310，350)时，经济损失为60万元．为减少损失，现有三种应对方案：
方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；
方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；
方案三：不采取措施．
试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．
19．（6分）设函数()52
f x x a x
=-+--.
（1）当1
a=时，求不等式()0
f x≥的解集；
（2）若()1
f x≤恒成立，求a的取值范围.
否
1,1
s i
==12
s s
=+*1
i i=+
开始
是
20．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的焦距为4，且过点(2,2)．
（1）求椭圆C 的方程
（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M 、N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
21．（6分）已知函数()3
2
f x x ax bx =++的图象与直线15280x y --=相切于点()2,2．
(Ⅰ)求,a b 的值；
(Ⅱ)求函数()f x 的单调区间．
22．（8分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11ABB A ，且12AA AB ==.
（1）求证：AB BC ⊥；
（2）若直线AC 与平面1A BC 所成角的大小为
6
π
，求锐二面角1A A C B --的大小 参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】
根据所给的条件求出男生数和男生中三好学生数，本题可以看作一个古典概型，试验发生包含的事件是从40名男生中选出一个人，共有40种结果，满足条件的事件是选到的是一个三好学生，共有5种结果，根据概率公式得到结果. 【详解】
因为高三某班有60名学生（其中女生有20名）， 三好学生占
1
6
，而且三好学生中女生占一半，
所以本班有40名男生，男生中有5名三好学生，
由题意知，本题可以看作一个古典概型，
试验发生包含的事件是从40名男生中选出一个人，共有40种结果，满足条件的事件是选到的是一个三好学生，共有5种结果，
所以没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率是51
= 408
，
故选B.
【点睛】
该题考查的是有关古典概型的概率求解问题，在解题的过程中，需要首先求得本班的男生数和男生中的三好学生数，根据古典概型的概率公式求得结果.
2．D
【解析】
【分析】
【详解】
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），
∴f（0）=1+b=0，
解得b=-1
∴f（1）=2+2-1=1．
∴f（-1）=-f（1）=-1．
故选D．
3．D
【解析】
【分析】
根据雷达图，依次判断每个选项的正误得到答案.
【详解】
根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A错误
根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B错误
根据雷达图得乙的六大素养中数学建模和数学抽象最差，所以C错误
根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D正确
故答案选D
【点睛】
本题考查了雷达图，意在考查学生解决问题的能力.
4．D
独立性检验是判断两个分类变量是否有关；吸烟与患肺癌是两个分类变量，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有
以上的把握认为这个结论是成立的．指的是得出“吸烟与患肺
癌有关”这个结论正确的概率超过99％，即作出“吸烟与患肺癌有关”这个结论犯错的概率不超过1％；不能作为判断吸烟人群中有多少人患肺癌，以及1个人吸烟，这个人患有肺癌的概率的依据．故选D 5．C 【解析】
2,2,OC OA OB BC OC OB OA AC OC OA OA OB =+∴=-==-=+，
22222,23BC OA AC OA OB OA OB ∴===++⋅=，3,AC OA ∴=与OB 夹角为60，且1,1OA OB AB ==∴=，222
,AB AC BC ABC +=∴∆为直角三角形，故选C.
6．B 【解析】 【分析】
若原命题为假，则否命题为真，根据否命题求a 的范围． 【详解】
由题得，原命题的否命题是“x R ∀∈，使21()10x a x ≥＋－＋”， 即2
(1)40a ∆=--≤，解得13a ≤≤－．选B. 【点睛】
本题考查原命题和否命题的真假关系，属于基础题． 7．A 【解析】 【分析】
根据题意，分两步进行：先确定8个是自己的班主任老师监考的班级，然后分析剩余的4个班级的监考方案，计算可得其情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】
某中学高二共有12个年级，考试时安排12个班主任监考，每班1人，要求有且只有8个班级是自己的班主任监考，
首先确定8个是自己的班主任老师监考的班级，有8
12495C =种，
而剩余的4个班级全部不能有本班的班主任监考，有31329⨯+⨯=种； 由分步计数原理可得，共49594455⨯=种不同的方案； 故选：A.
本题解题关键是掌握分步计数原理和组合数计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 8．B 【解析】 【分析】
根据框图可知，当a>b 时，把b 的值赋给a ，此时a 表示a 、b 中的小数；当a>c 时，将c 的值赋给a ，a 表示a 、c 中的小数，所以输出a 表示的是a ，b ，c 中的最小数. 【详解】
由程序框图，可知若a>b ，则将b 的值赋给a ，a 表示a ，b 中的小数；再判断a 与c 的大小，若a>c ，则将c 的值赋给a ，则a 表示a ，c 中的小数，结果输出a ，即a 是a ，b ，c 中的最小数． 【点睛】
本题考查程序框图的应用，解题的关键是在解题的过程中模拟程序框图的运行过程，属于基础题. 9．D 【解析】
20x -≥,解得2x ≤，即{}2M x x =≤，{}1N x x =>，所以{}12M N x x ⋂=<≤，故选D.
10．D 【解析】 【分析】
结合定积分知识，对选项逐个分析可选出答案. 【详解】
对于选项A ，因为函数cos y x x =是R 上的奇函数，所以
1
1
cos d 0x x x -=⎰
正确；
对于选项B ，因为函数sin y x x =是R 上的偶函数，所以1
11
sin d 2sin d x x x x x x -=⎰⎰正确；
对于选项C ，因为()f x 在区间[],a b 上恒正，所以()f x 图象都在x 轴上方，故()d 0b
a
f x x >⎰
正确；
对于选项D ，若
()d 0b
a
f x x >⎰
，可知()f x 的图象在区间[],a b 上，在x 轴上方的面积大于下方的面积，
故选项D 不正确. 故选D. 【点睛】
本题考查了定积分，考查了函数的性质，属于基础题. 11．D 【解析】 【分析】
根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项．
选项A 错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面； 选项B 错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；
选项C 错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交； 选项D 正确，由m α⊥，//m n 便得n α⊥，又n β⊂，βα∴⊥，即αβ⊥. 故选：D. 【点睛】
本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明， 属于基础题. 12．C 【解析】略
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．56 【解析】 【分析】
利用二项式展开式的通项公式，即可容易求得结果. 【详解】
8
1x x ⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
的展开式的通项公式为8218r r
r T C x -+=. 令822r -=-，解得5r =，故其系数为5
856C =.
故答案为：56. 【点睛】
本题考查利用二项式通项公式求指定项系数，属基础题. 14．
16
【解析】 【分析】
基本事件总数n 6636=⨯=，由双曲线22
22x y 1a b -=的离心率e >b 2a >，利用列举法求出双曲
线2222x y 1a b -=的离心率e >()a,b 有6个，由此能求出双曲线22
22x y 1a b -=的离心率
e >
【详解】
某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ， 基本事件总数n 6636=⨯=，
双曲线22
22x y 1a b
-=的离心率e 5>，
22
c a b 5a +∴=>，解得b 2a >， ∴双曲线22
22x y 1a b
-=的离心率e 5>包含的基本事件()a,b 有：
()1,3，()1,4，()1,5，()2,5，(1，6)，()2,6，共6个，
则双曲线22
22x y 1a b
-=的离心率e 5>的概率是61p 366=
=． 故答案为1
6
． 【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法、双曲线性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可. 15．1 【解析】 【分析】
作出不等式组对应的平面区域，画出可行域，平移直线y x z =-+，找到z 的最大值． 【详解】
x ，y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
的可行域如图：
，
则z x y =+经过可行域的A 时，目标函数取得最大值， 由0
33
y x y =⎧⎨
+=⎩，解得()3,0A ，
所以z x y =+的最大值为1．
故答案为：1． 【点睛】
本题考查了线性规划问题，求线性目标函数的最值问题，考查了画图能力．利用数形结合是解决本题的关键． 16．[,)e +∞ 【解析】
分析：直接解不等式组0
ln 10x x >⎧⎨-≥⎩
得函数的定义域.
详解：由题得00
,,ln 10x x x e x x e
>>⎧⎧∴∴≥⎨
⎨-≥≥⎩⎩，所以函数的定义域是[,)e +∞.故答案为：[),e +∞
点睛：（1）本题主要考查函数定义域的求法和对数不等式的解法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)考虑函数的定义域时，要考虑全面，不能遗漏，本题不要漏掉了0.x > 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）{|2x x <-或0}x >；（2）4a ≤-或3a ≥. 【解析】 【分析】
（1）解分式不等式求集合A ，解绝对值不等式求集合B ，再求集合,A B 的并集；（2） 先求集合A 的补集，再根据交集和空集的定义求解. 【详解】 （1）由
3
12x <+得102
x x -<+即(1)(2)0x x -+<， 解得2x <-或1x >，所以{|2A x x =<-或1}x >； 当2a =时，{|22,}B x x x R =-<∈ 由22x -<得222x -<-<，即04x <<， 所以{|04}B x x =<<， 所以{|2A B x x ⋃=<-或0}x >.
（2）由||2x a -<得22x a -<-<，即22a x a -<<+， 所以{|22}B x a x a =-<<+， 由（1）得{|2A x x =<-或1}x >， 所以{}|21R C A x x =-≤≤，
若R B
C A =∅，则22a +≤-或21a -≥，
即4a ≤-或3a ≥，
所以，a 的取值范围是4a ≤-或3a ≥. 【点睛】
本题考查分式不等式和绝对值不等式的解法，集合的运算，注意端点值. 18． (1)
2732
. (2) 采取方案二最好，理由见解析. 【解析】 【分析】
（1）设在未来3年里，河流的污水排放量[
)270,310x ∈的年数为Y ，由题意可知1~3,4Y B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，据此计算可得满足题意的概率值为2732
p =
. （2）由题意结合各个方案的数学期望，比较计算可得三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好. 【详解】 （1）由题得
，
设在未来3年里，河流的污水排放量
的年数为，则
.
设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量
”为事件，则
.∴在未来3年里，至多1年污水排放量
的概率为.
（2） 方案二好，理由如下：由题得，
.
用
分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失.则
万元.
的分布列为：
.
的分布列为：
.
∴三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好. 【点睛】
本题主要考查离散型随机变量分布列的计算与应用，数学期望的理解与应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19． (1)[2,3]-；(2) ][()
,62,-∞-⋃+∞. 【解析】 【分析】 【详解】
分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围． 详解：（1）当1a =时，
()24,1,
2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪
=-<≤⎨⎪-+>⎩
可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．
而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][()
,62,-∞-⋃+∞．
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
20．（1）22184
x y +=；
（2）存在直线8:3l y x =-满足题设条件,详见解析 【解析】 【分析】
（1）由已知列出关于a ，b ，c 的方程组，解得a ，b ，c ，写出结果即可；
（2）由已知可得，(0,2)B ，(2,0)F ．所以1BF k =-，因为BF l ⊥，所以可设直线l 的方程为y x m =+，代入椭圆方程整理，得2234280x mx m ++-=．设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由根与系数的关系写出两根之和和两根之积的表达式，再由垂心的性质列出方程求解即可．
（1）由已知可得，
2222224421c a b
a b c
=⎧⎪⎪
+=⎨⎪=+⎪⎩ 解得2
8a =，2
4b =，2c =，所以椭圆C 的方程为22184
x y +=．
（2）由已知可得，(02)(20)B F ，
，，，∴1BF k =-.∵BF l ⊥， ∴可设直线l 的方程为y x m =+，代入椭圆方程整理，
得2234280x mx m ++-=.设()()1122M x y N x y ，
，，， 则2121242833
m m x x x x -+=-=
，，∵1212212y y BN MF x x -⊥∴⋅=--，. 即121212220y y x x y x +--=
∵()()()1122121212,220y x m y x m x m x m x x x m x =+=+∴+++-+-=，
即()2
12122(2)20x x m x x m m +-++-=，∵222842(2)2033
m m
m m m --⋅+-⋅+-=
∴2
8
321603
m m m +-=∴=-，
或2m =. 由(
)
2
2
2
(4)12289680m m m ∆=--=->，得212m < 又2m =时，直线l 过B 点，不合要求，∴83
m =-， 故存在直线8
:3
l y x =-
满足题设条件.
【点睛】
本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系应用，以及垂心的定义应用。

意在考查学生的数学运算能力。

21．（Ⅰ）a ＝3，b ＝﹣1（Ⅱ）单调递减区间是（﹣3，1）．单调增区间为：（∞，﹣3），（1，+∞）
【分析】
（Ⅰ）求导函数，利用f （x ）的图象与直线15x ﹣y ﹣28＝0相切于点（2，2），建立方程组，即可求a ，b 的值；
（Ⅱ）求导函数，利用导数小于0，即可求函数f （x ）的单调递减区间． 【详解】
（I ）求导函数可得f′（x ）＝3x 2+2ax+b ，
∵f （x ）的图象与直线15x ﹣y ﹣28＝0相切于点（2，2）， ∴f （2）＝2，f′（2）＝﹣15， ∴8422
12415
a b a b ++=⎧⎨
++=⎩，
∴a ＝3，b ＝﹣1．
（II ）由（I ）得f′（x ）＝3x 2+6x ﹣1， 令f′（x ）＜0，可得3x 2+6x ﹣1＜0， ∴﹣3＜x ＜1，
函数f （x ）的单调递减区间是（﹣3，1）． 令f′（x ）＞0，可得3x 2+6x ﹣1＞0， 单调增区间为：（∞，﹣3），（1，+∞）．
综上：函数f （x ）的单调递减区间是（﹣3，1）．单调增区间为：（∞，﹣3），（1，+∞）． 【点睛】
本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性及计算能力，属于中档题． 22．（1）详见解析；（2）60. 【解析】 【分析】
(1)本题首先可以取1A B 的中点D 并连接AD ，然后利用平面1A BC ⊥侧面11A ABB 得到AD ⊥平面
1A BC ，再根据三棱柱是直三棱柱得到1AA BC ⊥，最后根据线面垂直的相关性质得到BC ⊥侧面
11A ABB ，即可得出结果；
(2)首先可以构造出空间直角坐标系，然后求出平面1AA C 与平面1A BC 的法向量，即可得出结果． 【详解】
(1)如图，取1A B 的中点D ，连接AD . 因为1AA AB =，所以1AD A B ⊥.
由平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且平面1A BC ⋂侧面111A ABB A B =， 得AD ⊥平面1A BC ，
又BC ⊂平面1A BC ，所以AD BC ⊥，
因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，1AA BC ⊥， 又1AA AD A ⋂=，从而BC ⊥侧面11ABB A ，又AB ⊂侧面11A ABB ，故AB BC ⊥；
(2)由(1)知AB BC ⊥且1BB ⊥底面ABC ，所以以点B 为原点，以1BC BA BB 、、所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，
设BC a =，则()0,2,0A ，()0,0,0B ，(),0,0C a ，()10,2,2A ，
(),0,0BC a =，()10,2,2BA =，(),2,0AC a =-，()10,0,2AA =，
设平面1A BC 的一个法向量()1,,n x y z =，由1BC n ⊥，11BA n ⊥，得0
220xa y z =⎧⎨+=⎩
，
令1y =，得0,1x z ==-，则()10,1,1n =-， 设直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ，则30θ=， 所以121
·21
sin302
42
AC n AC n a -=
=
=
+， 解得2a =，即()2,2,0AC =-．
又设平面1A AC 的一个法向量为2n ，同理可得()21,1,0n =. 设锐二面角1A A C B --的大小为α，则121212
1cos cos ,2
n n n n n n α⋅==
=
⋅，
由0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，得60α=，所以锐二面角1A A C B --的大小为60． 【点睛】
本题考查了解析几何的相关性质，主要考查了线线垂直的证明以及二面角的求法，线线垂直可以通过线面垂直证明，而二面角则可以通过构造空间直角坐标系并借助法向量来求解，考查推理能力，考查数形结合思想，是中档题．。