等比数列的前n项和 课件

第 n 年旅游业的收入为 400×(1＋14)n－1 万元， ∴每年的旅游收入构成首项为 400，公比为(1＋14)的等比数 列． 所以 n 年内旅游业的总收入为 Tn＝400＋400×(1＋14)＋… ＋400×(1＋14)n－1＝1 600×[(54)n－1]．
解数列应用题的具体方法步骤 (1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求： ①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还 是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求 an，还 是求 Sn？特别要注意准确弄清项数是多少． ②弄清题目中主要的已知事项．
(3)当 x≠0 且 x≠1 时， Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋(n－1)xn－1＋nxn，① xSn＝x2＋2x3＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，② ①－②得，(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1 ＝x11－－xxn－nxn＋1， ∴Sn＝1－x x2·[nxn＋1－(n＋1)xn＋1]，
由②得，a1·2n＝192，
∴2n＝1a912.
① ②
由①得，189＝a1(2n－1)＝a1(1a912－1)， ∴a1＝3. 又∵2n－1＝936＝32， ∴n＝6.
(2) 设 公 比 为 q ， 由通 项 公 式 及 已 知 条 件 得
a1＋a1q2＝10， a1q3＋a1q5＝54，
a11＋q2＝10，
(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参 数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子 表达．
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来， 列出满足题意的数学关系式．
错位相减法求数列的前n项和
求和 Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn. 【思路探究】 (1)本题是否可以用错位相减法求和？(2)x 的取值不同，对解题有影响吗？要不要对 x 进行讨论？ 【自主解答】 (1)当 x＝0 时，Sn＝0. (2)当 x＝1 时，Sn＝nn＋ 2 1.
③
即a1q31＋q2＝54. ④
∵a1≠0,1＋q2≠0， ∴④÷③得，q3＝18，即 q＝12， ∴a1＝8. ∴a4＝a1q3＝8×(12)3＝1， S5＝a111－－qq5＝8×[11－－12125]＝321.
(3)设首项为 a1. ∵q＝2，S4＝1， ∴a111－－224＝1，即 a1＝115. ∴S8＝a111－－qq8＝11511－－228＝17.
【思路探究】 (1)每年的投入怎样表示？每年的投入能否 构成一个等比数列？几年内的总投入怎样表示？
(2)每年的旅游收入是多少？n 年内的总收入呢？ 【自主解答】 第 1 年投入 800 万元，第 2 年投入 800×(1 －15)万元， …… 第 n 年投入 800×(1－15)n－1 万元．
∴每年的投入构成首项为 800，公比为(1－15)的等比数列． 故 n 年内的总投入为 Sn＝800＋800×(1－15)＋…＋800×(1 －15)n－1＝4 000×[1－(45)n]． 第 1 年旅游业的收入为 400 万元， 第 2 年旅游业的收入为 400×(1＋14)万元， ……
nn2＋1x＝1， ∴Sn＝0x＝0，
1－x x2[nxn＋1－n＋1xn＋1]x≠0，x≠1.
1．一般地，若数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公 比为 q，求数列{anbn}的前 n 项和时，可采用错位相减法．
2．运用等比数列前 n 项和公式时，必须注意公比 q 是否为 1.若不能确定公比 q 是否为 1，应分类讨论．
等比数列的前 n 项和
等比数列前 n 项和公式
【问题导思】 对于数列 1,2,22,23，…，2n，… 1．该数列的首项和公比分别是多少？ 【提示】 首项为 1，公比为 2.
2．把该数列的前 n 项和 Sn＝1＋2＋22＋…＋2n① 两边同乘以公比 2 得：2Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＋1② 这两个等式的右边有何相同点？若用②式减去①式，会有 什么结果？
④
④－③得：(q－1)Sn＝a1(qn－1)，
由 q≠1 得 Sn＝a111－－qqn.
等比数列的前 n 项和公式 已知量 首项、公比与项数
首项、末项与公比
公式
等比数列前n项和公式的基本运算
在等比数列{an}中， (1)若 Sn＝189，q＝2，an＝96，求 a1 和 n； (2)若 a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求 a4 和 S5； (3)若 q＝2，S4＝1，求 S8.
【思路探究】 (1)根据已知条件能否列出关于 a1，n 的方 程组？(2)能直接求出 a4 与 S5 吗？若求出 a1 与 q 之后呢？(3)要 求 S8 需要知道哪些量？怎样求出 a1?
【自主解答】 (1)由 Sn＝a111－－qqn，an＝a1qn－1 以及已知条 件得
189＝a111－－22n， 96＝a1·2n－1，
等比数列前n项和公式的实际应用
某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅 游产业，据规划，本年度投入 800 万元，以后每年投入将比上 一年减少15，本年度当地旅游业收入估计为 400 万元，由于该项 建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上 一年增长14.
求 n 年内的总投入与 n 年内旅游业的总收入．
Sn＝a11－－aqnq＝a111－－qqn(q≠1)为等比数列的求和公式，其中 涉及 a1，an，Sn，n，q 五个量，通常已知其中三个，即可求另 外两个，方法是解方程组，这也是等比数列的基本问题．
当已知首项 a1、公比 q 及项数 n 时，用公式 Sn＝a111－－qqn； 当已知首项 a1、末项 an 及公比 q 时，用公式 Sn＝a11－－aqnq.另外 在这两个公式中强调公式 q≠1，若公比 q＝1，则数列为非零常 数列，因此在进行等比数列的前 n 项求和计算时需要对公比 q 是否为 1 进行讨论．
3．在写 Sn 和 qSn 表达式时，应特别注意“错项对齐”，以 便于下一步准确写出 Sn.
【提示】 两个等式的右边除首项与末项不同外，其余各 项均相同，若用②式减去①式会把这些相同的项全部消掉，求 得 Sn＝2n＋1－1.
3.对和式 Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1(q≠1)按问题 2 的 方法处理会怎样呢？
【提示】 Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， ③
qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn，