2018-2019学年高中数学 复习课(二)圆锥曲线与方程讲义(含解析)新人教A版选修1-1

复习课(二) 圆锥曲线与方程
圆锥曲线的定义及标准方程
圆锥曲线的定义及标准方程在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查，标准方程在解答题中也会涉及，是高考解析几何的必考内容．
[考点精要]
椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程
椭圆 双曲线 抛物线 定义
平面内与两个定点
F 1，F 2的距离之和等于
常数(大于|F 1F 2|)的
点的轨迹
平面内与两个定点
F 1，F 2的距离的差的绝
对值等于非零常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹
平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的
点的轨迹
标准方程
x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x
2
b
2＝1(a >b >0)
x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x
2
b
2＝1(a >0，b >0)
y 2＝2px 或y 2＝－2px
或x 2
＝2py 或x 2
＝－
2py (p >0)
关系式 a 2－b 2＝c 2 a 2＋b 2＝c 2
[典例] (1)椭圆x 225＋y 2
9＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等
于( )
A ．2
B ．4
C ．6
D.32
(2)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝5
2
x ，
且与椭圆x 212＋y 2
3
＝1有公共焦点，则C 的方程为( )
A.x 28－y 2
10＝1 B.x 24－y 25＝1
C.x 25－y 2
4
＝1 D.x 24－y 2
3
＝1
(3)双曲线16x 2
－9y 2
＝144的左、右两焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝64，则∠F 1PF 2＝________.
[解析] (1)设椭圆的另一个焦点为F 2，因为椭圆x 225＋y 2
9＝1上一点M 到焦点F 1的距离
为2，即|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，所以|MF 2|＝8.因为N 是MF 1的中点，O 是F 1F 2的中点，所以|ON |＝1
2
|MF 2|＝4.
(2)根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝5
2
x ， 可知b a ＝
5
2
.① 又椭圆x 212＋y 2
3＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，
所以a 2
＋b 2
＝9.②
根据①②可知a 2
＝4，b 2
＝5， 所以C 的方程为x 24－y 2
5＝1.
(3)双曲线方程16x 2
－9y 2
＝144 化简为x 29－y 2
16
＝1，
即a 2
＝9，b 2
＝16，所以c 2
＝25，
解得a ＝3，c ＝5，所以F 1(－5,0)，F 2(5,0)． 设 |PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，
由双曲线的定义知|m －n |＝2a ＝6， 又已知m ·n ＝64， 在△PF 1F 2中，由余弦定理知 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
－|F 1F 2|
2
2|PF 1|·|PF 2|
＝
m 2＋n 2－2c 2
2m ·n
＝
m －n
2＋2m ·n －4c
2
2m ·n
＝
36＋2×64－4×252×64＝1
2
.
所以∠F 1PF 2＝60°.
[答案] (1)B (2)B (3)60° [类题通法]
求圆锥曲线方程的一般步骤
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确
定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2
＝1(m >0，n >0)．
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．
[题组训练]
1．若中心在坐标原点的椭圆的长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(215，0)，则椭圆的标准方程是( )
A.x 230＋y 220＝1
B.x 240＋y 220＝1
C.
x 2
75＋y 2
15
＝1 D.x 2
80＋y 2
20
＝1
解析：选D 不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意得，2a 2b ＝a
b
＝2⇒a ＝2b ，
∵c ＝215，c 2
＝a 2
－b 2
，∴(215)2
＝(2b )2
－b 2
⇒b 2
＝20，得a 2
＝4b 2
＝80，故所求椭圆的标
准方程为x 280＋y 2
20
＝1.
2．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为Q ，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，172，则|PA |＋
|PQ |的最小值是( )
A.15
2 B.172
C.192
D ．10
解析：选C 抛物线的准线方程为y ＝－12.设抛物线的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.根据抛物线的定义可得|PQ |＝|PF |－12，所以|PA |＋|PQ |＝|PF |＋|PA |－1
2.所以|PA |＋|PQ |的最小值
为|FA |－12＝19
2
.
圆锥曲线的几何性质
圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的核心内容，高考非常重视对圆锥曲线几何性质的考查，试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率)，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查．
[考点精要]
椭圆、双曲线、抛物线的几何性质
椭圆 双曲线 抛物线
[典例] (1)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±3
4x ，则双曲线的离心率为( )
A.53
B.54
C.53或54
D. 3
(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F .设线段AB 的
中点为M ，若2MA ―→·MF ―→＋BF ―→2
≥0，则该椭圆的离心率的取值范围为( )
A ．(0，3－1]
B.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，
32 C.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12 D ．(0，2－1]
[解析] (1)由双曲线的渐近线方程为y ＝±3
4
x ，
得b a ＝34或a b ＝3
4
，又离心率e ＝1＋b 2
a
2， 所以e ＝53或e ＝5
4
.
(2)因为A (－a,0)，B (0，b )，M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－a 2，b
2，F (c,0)， 所以MA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－b 2，MF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a
2
，－b 2，
BF ―→＝(c ，－b )，又2MA ―→·MF ―→＋BF ―→
2≥0，
所以2a 2－2ac －c 2≥0，即e 2
＋2e －2≤0， 结合0＜e ＜1得0＜e ≤3－1. [答案] (1)C (2)A [类题通法] 求解离心率三种方法
[题组训练]
1．如果方程x 2
＋ky 2
＝2表示焦点在x 轴上，且焦距为3的椭圆，则椭圆的短轴长为________．
解析：方程x 2
＋ky 2＝2可化为x 22＋y 2
2k
＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋2
k
＝2⇒2k ＝54，∴短轴长为2×52＝ 5.
答案： 5
2．过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点且垂直于双曲线实轴的直线交双曲线于
A ，
B 两点．若以AB 为直径的圆恰过双曲线的一个顶点，则双曲线的离心率是________．
解析：设双曲线的左顶点为P ，A 位于第一象限，B 位于第四象限，把x ＝c 代入双曲线
方程x 2a 2－y 2b 2＝1，得到|AF |＝y A ＝b 2a ，又|PF |＝c ＋a ，依题意知|AF |＝|PF |，∴b 2a
＝c ＋a ⇒b
2
＝ac ＋a 2
，又b 2
＝c 2
－a 2
，∴c 2
－a 2
＝ac ＋a 2
，两边同除以a 2
得到⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－c
a
－2＝0⇒e 2
－e －2＝0，又∵e >1，∴e ＝2.
答案：2
3．已知双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2
＝2py (p >0)的
焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________．
解析：c 2＝a 2＋b 2
，①
由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知，
双曲线过点⎝
⎛⎭⎪⎫c ，－p 2，即c 2a 2－p 2
4b 2＝1.② 由|FA |＝c ，得c 2
＝a 2
＋p 2
4，③
由①③得p 2
＝4b 2.④
将④代入②，得c 2
a 2＝2.
∴a 2＋b 2a 2＝2，即b
a
＝1，
故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0. 答案：x ±y ＝0
直线与圆锥曲线的位置关系
高考试题中解析几何的解答题一般不会单纯考查圆锥曲线，试题中一般都有直线问题参与，这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如：直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的．
[考点精要]
直线与圆锥曲线有关的问题
(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．
(2)直线
l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝
1＋k
2
x 1－x 2
2
或
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1k 2y 1－y 22
，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两
个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2
＝(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．
[典例] 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．
[解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a
2＋y 2
＝1(a >1)，
则右焦点F (a 2
－1，0)， 由题设，知|a 2－1＋22|
2
＝3，
解得a 2
＝3，故所求椭圆的方程为x 2
3
＋y 2
＝1.
(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 2
3
＋y 2
＝1，
得(3k 2
＋1)x 2
＋6mkx ＋3(m 2
－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ>0，即m 2
<3k 2
＋1， ① 所以x P ＝
x M ＋x N
2＝－3mk
3k 2＋1
，
从而y P ＝kx P ＋m ＝m
3k 2＋1
，
所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋1
3mk
，
又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，
则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k
，即2m ＝3k 2
＋1， ②
把②代入①得2m >m 2
， 解得0<m <2， 由②得k 2
＝2m －13>0，
解得m >1
2
，
故所求m 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，2. [类题通法]
有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法
(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：
①相交：Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ>0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不
一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．
②相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切．
③相离：Δ<0⇔直线与椭圆相离；Δ<0⇔直线与双曲线相离；Δ<0⇔直线与抛物线相离． (2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．
[题组训练]
1．直线l 与抛物线C ：y 2
＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率
k 1，k 2满足k 1k 2＝2
3
，则直线l 过定点( )
A ．(－3,0)
B ．(0，－3)
C ．(3,0)
D ．(0,3)
解析：选A 设直线l 的方程为x ＝my ＋b ，
A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，
因为k 1k 2＝23，所以y 1x 1·y 2x 2＝2
3.
又y 2
1＝2x 1，y 2
2＝2x 2，所以y 1y 2＝6.
将直线l ：x ＝my ＋b 代入抛物线C ：y 2
＝2x 得
y 2－2my －2b ＝0，
所以y 1y 2＝－2b ＝6，所以b ＝－3，
即直线l ：x ＝my －3，所以直线l 过定点(－3,0)．
2．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0
交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为1
2
.
(1)求M 的方程；
(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则
x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22
b 2＝1，
y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2x 2＋x 1a 2y 2＋y 1＝－y 2－y 1x 2－x 1
＝1.
因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝1
2
，
所以a 2
＝2b 2
.
又由题意知，M 的右焦点为
(3，0)，故a 2
－b 2
＝3. 因此a 2
＝6，b 2
＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 2
3
＝1.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －3＝0， x 26＋y 2
3
＝1解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝
433，y ＝－3
3
或⎩⎨
⎧
x ＝0，
y ＝ 3.
因此|AB |＝46
3
.
由题意可设直线CD 的方程为
y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－
533<n <3，
设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋n ，x 26＋y
2
3
＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2
－6＝0.
于是x 3,4＝
－2n ±29－n 2
3.
因为直线CD 的斜率为1，
所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝43
9－n 2
.
由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝869 9－n 2
.
当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为86
3.
所以四边形ACBD 面积的最大值为86
3
.
1．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是
( )
A ．2 B. 3 C. 2
D.32
解析：选C 由题可知y ＝b a x 与y ＝－b a x 互相垂直，可得－b a ·b a
＝－1，则a ＝b .由离心
率的计算公式，可得e 2
＝c 2a 2＝a 2＋b 2
a
2＝2，e ＝ 2.
2．已知F 是抛物线y ＝14x 2
的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程
是( )
A ．x 2
＝2y －1 B ．x 2
＝2y －116
C ．x 2
＝y －12
D ．x 2
＝2y －2
解析：选A 焦点为F (0,1)，设P (p ，q )，则p 2＝4q .
设Q (x ，y )是线段PF 的中点，则x ＝p 2，y ＝q ＋1
2
，
即p ＝2x ，q ＝2y －1，代入p 2
＝4q 得，(2x )2
＝4(2y －1)， 即x 2
＝2y －1.
3．已知直线y ＝kx ＋1与双曲线x 2
－y 2
4＝1交于A ，B 两点，且|AB |＝82，则实数k 的值为( )
A ．±7
B ．±3或±
413
C ．± 3
D ．±
413
解析：选B 由直线与双曲线交于A ，B 两点，得k ≠±2.将y ＝kx ＋1代入x 2
－y 2
4＝1
得(4－k 2
)x 2
－2kx －5＝0，则Δ＝4k 2
＋4(4－k 2
)×5＞0，k 2
＜5.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则
x 1＋x 2＝
2k 4－k 2，x 1x 2＝－54－k
2，所以|AB |＝1＋k 2
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k 4－k 22＋204－k 2
＝82，
解得k ＝±3或±
41
3
. 4.我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2
c
2＝1(x <0)合成的曲
线称作“果圆”(其中a 2
＝b 2
＋c 2
，a >b >c >0)，如图所示，其中点F 0，F 1，
F 2是相应椭圆的焦点．若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值
分别为( )
A.72
，1 B.3，1 C ．5,3
D ．5,4
解析：选 A ∵|OF 2|＝b 2－c 2＝12，|OF 0|＝c ＝3|OF 2|＝32，∴b ＝1，∴a 2＝b 2＋c
2
＝1＋34＝74，得a ＝7
2
.
5.如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 2
4
＋y 2
＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，
B 分别是
C 1，C 2在第二、四象限的公共点．其四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )
A. 2
B. 3
C.32
D.
62
解析：选D 焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＋|AF 2|＝4， |AF 1|2
＋|AF 2|2
＝12，
所以可解得|AF 2|－|AF 1|＝22， 故a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝
3
2＝6
2
，选D. 6．若过点A (0，h )(h ＞1)的两条直线l 1和l 2与椭圆E ：x 2
2
＋y 2
＝1都只有一个交点，且
l 1⊥l 2，则h 的值为( )
A. 3
B. 5 C ．2
D. 6
解析：选A 由题意知l 1，l 2的斜率都存在且不为0. 设l 1：y ＝kx ＋h ，则由l 1⊥l 2，知l 2：y ＝－1
k
x ＋h ，
将l 1：y ＝kx ＋h 代入x 2
2＋y 2
＝1得x 2
2＋(kx ＋h )2
＝1，
即(1＋2k 2
)x 2
＋4khx ＋2h 2
－2＝0， 由l 1与椭圆E 只有一个交点知
Δ＝16k 2h 2－4(1＋2k 2)(2h 2－2)＝0，即1＋2k 2＝h 2.
同理，由l 2与椭圆E 只有一个交点知，1＋2k
2＝h 2
，
得1k
2＝k 2，即k 2＝1，从而h 2＝1＋2k 2
＝3，即h ＝ 3.
7．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，离心率为5，则双曲线的方程为
________．
解析：因为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，
所以a ＝2，由离心率为5，可得c a
＝5，c ＝25， 所以b ＝c 2
－a 2
＝20－4＝4， 则双曲线的方程为x 24－y 2
16＝1.
答案：x 24－y 2
16
＝1
8．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线y ＝x 2
上的点到直线AB 的最短距离为________． 解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y ＝x 2
上的点P (t ，t 2
)，d ＝|2t －t 2
－4|
5
＝
t 2－2t ＋4
5
＝
t －1
2
＋35≥35
＝355.
答案：35
5
9．(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2
＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.
解析：法一：依题意，抛物线C ：y 2
＝8x 的焦点F (2,0)，
因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，设M (a ，b )(b >0)，所以a ＝1，b ＝22，
所以N (0,42)，|FN |＝4＋32＝6. 法二：如图，不妨设点M 位于第一象限内，
抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，
∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝1
2|FO |＝1.
又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.
由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6. 答案：6
10．如图，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为3
2
，若它的一个顶点恰好是抛物线x 2
＝42y 的焦点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)直线x ＝2与椭圆C 交于P ，Q 两点，点P 位于第一象限，A ，B 是椭圆C 上位于直线
x ＝2两侧的动点．若直线AB 的斜率为12
，求四边形APBQ 面积的最大值．
解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)．
∵抛物线x 2
＝42y 的焦点是(0，2)， ∴b ＝ 2. 由c a ＝
32
，a 2＝b 2＋c 2
，得a ＝22， ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 2
2＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 的方程为y ＝1
2
x ＋t ，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 28＋y 2
2＝1，y ＝1
2x ＋t ，
得x 2＋2tx ＋2t 2
－4＝0，
则x 1＋x 2＝－2t ，x 1x 2＝2t 2
－4.
在x 28＋y 2
2＝1中，令x ＝2，得P (2,1)，Q (2，－1)． ∴四边形APBQ 的面积
S ＝S △APQ ＋S △BPQ
＝1
2
|PQ |·|x 2－x 1|
＝1
2×2×|x 2－x 1| ＝|x 2－x 1| ＝
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2
＝4t 2
－42t 2
－4 ＝－4t 2
＋16. ∴当t ＝0时，S max ＝4.
∴四边形APBQ 面积的最大值为4.
11．已知经过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2
＝2py (p ＞0)相交于B ，C . (1)当直线l 的斜率是12时，AC ―→＝14AB ―→
，求抛物线G 的方程；
(2)设线段BC 的垂直平分线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围． 解：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由已知得， 直线l 的方程为y ＝1
2
(x ＋4)，即x ＝2y －4.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＝2py ，x ＝2y －4，
得2y 2
－(8＋p )y ＋8＝0，
则y 1＋y 2＝8＋p 2
，y 1y 2＝4，
又因为AC ―→＝14AB ―→
，所以y 2＝14y 1或y 1＝4y 2.
由p ＞0得，y 1＝4，y 2＝1，p ＝2， 所以抛物线G 的方程为x 2
＝4y . (2)由题意知l 的斜率存在．
设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＝4y ，
y ＝k x ＋4
，
得x 2
－4kx －16k ＝0. ①
所以x 0＝
x 1＋x 2
2
＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2
＋4k .
所以BC 的垂直平分线的方程为
y －2k 2－4k ＝－1
k
(x －2k )，
所以BC 的垂直平分线在y 轴上的截距为b ＝2k 2
＋4k ＋2＝2(k ＋1)2
， 对于方程①由Δ＝16k 2
＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4. 所以b ∈(2，＋∞)．
所以b 的取值范围为(2，＋∞)．。