高考_2016西藏高考理科数学真题及答案

2016西藏高考理科数学真题及答案
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是
（A ）(31)
-， （B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A
B =
（A ）{1}（B ）{1
2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m = （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8
（4）圆
22
28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a= （A ）43-
（B ）3
4-
（C ）3 （D ）2
（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9
（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π
（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π
12个单位长度，则评议后图象的对称轴为
（A ）x =
k π2–π
6
(k ∈Z ) （B ）x =
k π2+π
6 (k ∈Z ) （C ）x =k π2–π12 (k ∈Z ) （D ）x =k π2+π
12
(k ∈Z ) （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的
x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =
（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)= 3
5，则sin 2α=
（A ）725 （B ）15 （C ）–15 （D ）–7
25
（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数
1x ,
2
x ，…，
n
x ，学科&网
1
y ，
2
y ，…，
n
y ，构成n 个数对()11,x y ，
()22,x y ，…，(),n n x y ，
其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的
近似值为
（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n
（11）已知F 1，F 2是双曲线E 22221x y a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 211
3
MF F ∠= ,
则E 的离心率为
（A
（B ）3
2
（C
（D ）2
（12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x
+=与()
y f x =图像的交点
为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则
1
()m
i
i
i x y =+=∑
（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A =
45，cos C =5
13
，a =1，则b = . (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n .
（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. 学科.网
（4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）
（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，学.科网乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 。

（16）若直线y=kx +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln （x +2）的切线，则b = 。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分12分）
n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7=128.n a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如
[][]0.9=0lg99=1，.
（I ）求111101b b b ，，；
（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.
18.（本题满分12分）
某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1
2 3 4 ≥5
保费 0.85a a
1.25a 1.5a 1.75a 2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0. 05
（I ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（II ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （III ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 19.（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB =5，AC =6，点E ,F 分别在AD ,CD 上，AE =CF =
5
4
，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '=. 学.科.网
（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ；
（II ）求二面角B D A C '--的正弦值.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆E :22
13
x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ,M 两点，点N 在
E 上，MA ⊥NA.
（I ）当t =4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. （21）（本小题满分12分） (I)讨论函数x
x 2f (x)x 2
-=
+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2x =(0)x e ax a g x x -->（
） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修4-1：集合证明选讲
如图，在正方形ABCD ，E,G 分别在边DA ,DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F . (I) 证明：B,C,E,F 四点共圆；
(II)若AB =1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积. 学科&网
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy 中，圆C 的方程为（x +6）2+y 2
=25.
（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （II ）直线l 的参数方程是
（t 为参数）,l 与C 交于A 、B 两点，∣AB ∣=
，求l 的斜率。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数f (x )= ∣x -∣+∣x +∣，M 为不等式f (x ) ＜2的解集. （I ）求M ；
（II ）证明：当a ,b ∈M 时，∣a +b ∣＜∣1+ab ∣。

2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学答案 第Ⅰ卷
一.选择题： （1）【答案】A （2）【答案】C （3）【答案】D （4）【答案】A （5）【答案】B （6）【答案】C （7）【答案】B （8）【答案】C （9）【答案】D （10）【答案】C （11）【答案】A （12）【答案】C
第Ⅱ卷
二、填空题 (13)【答案】
21
13
(14) 【答案】②③④ （15）【答案】1和3 （16）【答案】1ln2- 三.解答题
17.（本题满分12分）
【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求公差、通项n a ，再根据已知条件求111101b b b ，，；（Ⅱ）用分段函数表示n b ，学.科.
网再由等差数列的前n 项和公式求数列{}n b 的前1 000项和．
试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，学.科.网解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =
111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======
（Ⅱ）因为0,
110,
1,10100,
2,1001000,
3,
1000.
n n n b n n ≤<⎧⎪≤<⎪
=⎨
≤<⎪⎪=⎩
所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893.⨯+⨯+⨯= 考点：等差数列的的性质，前n 项和公式，学.科网对数的运算. 【结束】
18.（本题满分12分）
【答案】（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求解；（Ⅱ）由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为
X ，学.科网求X 的分布列为，在根据期望公式求解..
【解析】 试题分析：
试题解析：（Ⅰ）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55.P A =+++=
（Ⅱ）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15.P B =+= 又()()P AB P B =，故()()0.153
(|).()()0.5511
P AB P B P B A P A P A =
=== 因此所求概率为
3.11
（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为
0.850.301.23EX a a a
=⨯+⨯=
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23
考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望. 【结束】
19.（本小题满分12分） 【答案】（Ⅰ）详见解析；
（Ⅱ）25
. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）证//AC EF ，再证'D H OH ⊥，最后证'
D H ABCD ⊥平面；（Ⅱ）用向量法求解. 试题解析：（I ）由已知得AC BD ⊥，AD CD =，又由A
E C
F =得AE CF
AD CD
=
，故//AC EF . 因此EF HD ⊥，从而'
EF D H ⊥.由5AB =,6AC =
得04DO B ===.
由//EF AC 得
1
4
OH AE DO AD ==.学.科网所以1OH =，'3D H DH ==. 于是1OH =，'222'23110D H OH D O +=+==， 故'D H OH ⊥.
又'
D H EF ⊥，而OH EF H ⋂=， 所以'D H ABCD ⊥平面.
B
（II ）如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，学.科网建立空间直角坐标系H xyz -，则
()0,0,0H ，()3,2,0A --，()0,5,0B -，()3,1,0C -，()'0,0,3D ，(3,4,0)AB =-，()6,0,0AC =，()'
3,1,3AD =.设()111,,m x y z =是平面'
ABD 的法向量，则'
m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩，所以可
以取()4,3,5m =-.设()222,,n x y z =是平面'
ACD 的法向量，则'
n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，
所以可以取()0,3,1n =-.
于是cos ,50m n m n m n
⋅<>=
=
=
295
sin ,25m n
<>=.因此二面角'B D A C --的正弦值是
25
.
考点：线面垂直的判定、二面角. 【结束】
20.（本小题满分12分） 【答案】（Ⅰ）144
49
；（Ⅱ）)
2.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ∆的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用k 表示||AN ，再由2AM AN =求k .
试题解析：（I ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22
143
x y +=，()2,0A -. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为
4
π
.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，学.科网所以1127
y =. 因此AMN ∆的面积11212144
227749
=
⨯⨯
⨯=
. （II ）由题意3t >，0k >
，()
A .
将直线AM 的方程(y k x =+
代入22
13
x y t +=得()2222233
0tk x x t k t +++-=. 由(
22
12
3t k
x tk ⋅=
+得)212
33
tk x tk
-=+
，故1
AM x ==
由题设，直线AN 的方程为
(1
y x k
=-+，故同理可得AN ==，
由2AM AN =得22
233k
tk k t
=++，学科&网即()()32321k t k k -=-.
当k =
因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()
2
3233
21
32022
k k k k k k k -+-+-=<--，
即
3202k k -<-.由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或3
2020
k k -<⎧⎨->⎩2k <.
因此k 的取值范围是
)
2.
考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【结束】
（21）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）21(,].24
e .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，学科&网当(0,)x ∈+∞时，()(0)f x f >证明结
论；（Ⅱ）用导数法求函数()g x 的最值，在构造新函数00h()2
x e a x =+，又用导数法求解.
试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞.
222
(1)(2)(2)'()0,(2)(2)
x x x x x e x e x e f x x x -+--==≥++ 且仅当0x =时，'()0f x =，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增， 因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=- 所以(2)(2),(2)20x
x
x e x x e x ->-+-++>
（II ）2
2(2)(2)2
()(()),x x e a x x g x f x a x x
-+++==+ 由（I ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥ 因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0'()0g x =，
当00x x <<时，()0,'()0,()f x a g x g x +<<单调递减；
当0x x >时，()0,'()0,()f x a g x g x +>>单调递增.
因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为
000000022000(1)+()(1)().2
x x x e a x e f x x e g x x x x -++===+ 于是00h()2
x e a x =+，由2(1)()'0,2(2)2x x x e x e e x x x +=>+++单调递增 所以，由0(0,2],x ∈得0022
01().2022224
x e e e e h a x =<=≤=+++ 因为2x e x +单调递增，对任意2
1(,],24
e λ∈存在唯一的0(0,2],x ∈0()[0,1),a
f x =∈ 使得(),h a λ=所以()h a 的值域是2
1(,],24
e 综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有()h a ，()h a 的值域是2
1(,].24
e 考点： 函数的单调性、极值与最值.
【结束】
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
12. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）证,DGF CBF ∆~∆再证,,,B C G F 四点共圆；（Ⅱ）证明,Rt BCG Rt BFG ∆~∆四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍.
试题解析：（I ）学科&网因为DF EC ⊥,所以,DEF CDF ∆~∆ 则有,,DF DE DG GDF DEF FCB CF CD CB
∠=∠=∠== 所以,DGF CBF ∆~∆由此可得,DGF CBF ∠=∠
由此0
180,CGF CBF ∠+∠=所以,,,B C G F 四点共圆.
（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ，
由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆
因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即 111221.222
GCB S S ∆==⨯⨯⨯=
考点： 三角形相似、全等，四点共圆
【结束】
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）153
±
. 【解析】
试题分析：（I ）利用222x y ρ=+，cos x ρθ=可得C 的极坐标方程；（II ）先将直线l 的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得l 的斜率．
试题解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++=
（II ）在（I ）中建立的极坐标系中，学科&网直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈
由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得 212cos 110.ρρα++=
于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=
22121212||||()4144cos 44,AB ρρρρρρα=-=+-=-
由||10AB =得2315cos ,tan 83
αα==±， 所以l 的斜率为153或153
-.
考点：圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式.
【结束】
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
试题分析：（I ）先去掉绝对值，再分12x <-，1122x -≤≤和12
x >三种情况解不等式，即可得M ；（II ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，1a b ab +<+．
试题解析：（I ）12,,211()1,,2
212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩
当12
x ≤-
时，学科&网由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122
x -<<时， ()2f x <； 当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.
（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而
22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，
因此|||1|.a b ab +<+
考点：绝对值不等式，不等式的证明.。