[新版]对称式与轮换对称式

八年级实验班竞赛专题
-------对称式与轮换对称式
1． 基本概念
【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有
11()()i j n j i n f x x x x f x x x x = ，，，，，，，，，，，，
那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。

例如，222x y
x y xy x y z xy yz zx xy
++++++，，，，都是对称式。

如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。

由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项
式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2
bx z ，
2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。

根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是：
222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++
【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。

由定义2知，n 元多项式12()n f x x x ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有
1212()()r n n f tx tx tx t f x x x = ，，，，，，。

例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：
3
3
3
2
2
2
2
22
()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。

【定义3】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，
，如果交换任意两个字母的位置后，代数
式均改变符号，即对于任意的i j ，()1i j n ≤<≤，都有
11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =- ，，，，，，，，，，，，
那么就称这个代数式为n 元交代式。

例如，()()()x y
x y x y y z z x x y
-----+，，
均是交代式。

【定义4】如果一个n 交代数式12()n f x x x ，，，，如果将字母12n x x x ，，，以2x 代
1x ，3x 代2n x x ，，代11n x x -，代n x 后代数式不变，即
12231()()n n f x x x f x x x x ≡ ，，，，，，，
那么称这个代数式为n 元轮换对称式，简称轮换式。

显然，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。

例如，222()a x y z ++是对称式也是轮换式；222()b x y y z z x ++是轮换式，但不是对称式。

对称式、交代式、轮换式之间有如下性质：
（1）两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式；
（2）两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式；
（3）同字母的对称式与交代式的积、商是交代式；
（4）两个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式；
（5）多变无的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。

【定义5】下面n 个对称多项式称为n 元基本对称多项式。

1121
()n
n i
i x x x x σ==∑ ，，，
2121()n
n i j i j n
x x x x x σ≤<≤=
∑
，，，
… … …
1212121()k k n
k n i i i i i i n
x x x x x x σ≤<<<≤=
∑
，，，
… … …
1212()n n n x x x x x x σ= ，，，
例如，二元基本对称多项式是指x y xy +，，
三元基本对称式是指x y z xy yz zx xyz
++++，，
当你学完了高等代数的时候就会知道，任何一个n 元对称多项式都可以表示为基本对称多项式的多项式。

这个结论对解题的指导作用。

2．对称式、轮换式、交代式在解题中的应用
为了初中学生学习的需要，我们在本讲里主要介绍二元和三元的情形，对于多元的情形，只需作类似的处理即可。

下面是利用对称式、轮换式、交代式解题的一些常用技巧
（1）若()f x y z ，，是对称式，则在解题中可设x y z ≤≤。

（为什么？）
（2）若()f x y z ，，是对称式，则当x y ，满足性质p 时，x z y z ，；，也满足性质p 。

（3）若()f x y z ，，是轮换式，则在解题中可设x 最大（小），但不能设x y z ≤≤。

（为
什么？）
（4）若()f x y z ，，是轮换式，且x y ，满足性质p ，则y z z x ，；，也满足性质p 。

（5）若()f x y z ，，是交代多项式，则x y y z z x ---，，是()f x y z ，，的因式，即其中()g x y z ，，是对称式。

()()()()()f x y z x y y z z x g x y z =---，，，， 其中()g x y z ，，是对称式。

在利用对称式作因式分解时，齐次对称多项式，齐次轮换对称多项式，齐次交代多项式是常用的。

齐次对称多项式的一般形式：
（1）二元齐次对称多项式
一次：()a x y +，
二次：22()a x y bxy
++
三次：33()()
a x y bxy x y +++
（2）三元齐次对称多项式
一次：()
a x y z ++
二次：222()()
a x y z
b xy yz zx +++++
三次：333222
()()()()a x y z b x y z y z x z x y cxyz
⎡⎤+++++++++⎣⎦
判定mx ny rz ++是否为多项式(,,)f x y z ，的因式的方法是：令0mx ny rz ++=，计算()f x y z ，，，如果()=0f x y z ，，，那么mx ny rz ++就是()f x y z ，，的因式，在实际操作时，可首先考虑mx ny rz ++的如下特殊情形：
x x y x y x y z x y z +-++-+，，，，
【例1】：已知多项式222222()()()()
f x y z xy x y yz y z zx z x =-+-+-，，
（1）求证：()f x y z ，，是齐次式；（2）求证：()f x y z ，，是轮换式；
（3）求证：()f x y z ，，是交代式；（4）分解因式()f x y z ，，。

(4)∵ ()f x y z ，，是交代多项式，∴ ()()()x y y z z x ---是它的因式。

又因为
()f x y z ，，是4次齐次式，所以它还有一个一次对称式因式x y z ++。

于是，()f x y z ，，可表示为
【例2】：分解因式333()3f x y z x y z xyz =++-，，。

【例3】：分解因式222222444()2()()f x y z x y y z z x x y z =++-++，，。

【例4】：分解因式5555
()()f x y z x y z x y z =++---，，
【例5】：分解因式444(,)()f x y x y x y =+++。

【例6】：分解因式
222222()(1)(1)()(1)(1)()(1)(1)y z xy xz z x yz yx x y zx zy -+++-+++-++。

故()()()()()f x y z x y y z z x xyz x y z =---+++，，
对称式与轮换对称式练习题：
1．已知555
()()()()f x y z x y y z z x =-+-+-，，
（1）求证：f 为5次齐次式； （2）求证：f 为轮换式；
（3）求证：f 为交代式； （4）分解因式f 。

2．分解因式
（1）22222()()4()
f x y x xy y xy x y =++-+，
（2）4
4
4
4
44
4
()()()()()
f x y z x y z x y z y z z x x y =+++++-+-+-+，，
（3）()()
3
3
3
()()f x y z x y y z z x =-+-+-，， （4）()()()f x y z xy yz zx x y z xyz
=++++-，，
（5）()()()
4
44()f x y z x
y z y z x z x y =-+-+-，，
（6）()3
333
()f x y z x y z x y z
=++---，，
（7）()()()
333222222()2f x y z x y z x y z y z x z x y xyz
=++-+-+-++，，
（8）222222()3f x y z x y xy x z xz y z yz xyz
=++++++，，
（9）()()()()
222333()2f x y z x y z y z x z x y x y z xyz
=+++++-++-，，
（10）()()()()
2
()f a b c d bcd cda dab abc bc ad cd ab db ac =+++----，，，
练习答案与提示：
1．2225()()()()
x y y z z x x y z xy yz zx ---++---
2．（1）可设2
2
2
2
()()f k x Axy y x Bxy y =++++，可求得11
k A B ===-，
（2）可设()f kxyz x y z =++，可求出12
k =
（3）可设()()()f k x y y z z x =---，可求出3k =
（4）可设()()()f k x y y z z x =+++，可求出1
k =
（5）222
()()()()()f x y y z z x A x y z B xy yz zx ⎡⎤=---+++++⎣⎦，可求出1
A B ==
（6）3()()()
x y y z z x +++
（7）()()()x y z y z x z x y ------
（8）()()
x y z xy yz zx ++++
（9）()()()
x y z y z x z x y +-+-+-
（10）当a b c d ===时，0f =，∴f 有abcd 的因式，可设
2222
()()f abcd A a b c d B ab bc cd da ac bd ⎡⎤=+++++++++⎣⎦，
可求得1
2A B ==，，∴2()f abcd a b c d =+++。