2025届福建省莆田一中等三校高考压轴卷数学试卷含解析

2025届福建省莆田一中等三校高考压轴卷数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥-⎩
则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．
32
C ．1
D ．0
2．集合*
12|x N Z x ⎧⎫
∈∈⎨⎬⎩
⎭
中含有的元素个数为（ ） A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
3．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A ⋃B ，则集合中的元素共有 （ ）
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
4．下列说法正确的是（ ）
A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”
B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题
C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立
D ．“若1sin 2α≠
，则6
π
α≠”是真命题 5．已知x ,y 满足不等式组220
2100x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
,则点(),P x y 所在区域的面积是( )
A ．1
B ．2
C ．
54
D ．
45
6．过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标为3，且8AB =，则
抛物线的方程是( )
7．函数()1
log 1
a x f x x x +=
+（01a <<）的图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ．
D ．
8．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，2
}2{|0B x x x =-+>，则A
B =( )
A ．{}1,0-
B ．{}0,1
C ．{}1,0,1-
D ．{}2,1,0,1,2--
9．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取()1,2i i =个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数()1,2i X i =，则( )
A ．()()1233P X P X =>=，12EX EX >
B ．()()1233P X P X =<=，12EX EX >
C ．()()1233P X P X =>=，12EX EX <
D ．()()1233P X P X =<=，12EX EX <
10．已知函数()y f x =在R 上可导且()()f x f x '
<恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f >
B ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f >
C ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f <
D ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f <
11．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥
12．在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）
A ．12π
B ．21π2
C ．41π
4
D ．10π
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知F 为抛物线C ：x 2＝8y 的焦点，P 为C 上一点，M （﹣4，3），则△PMF 周长的最小值是_____. 14．集合{}
(,),0A x y x y a a =+=>，{}
(,)1B x y xy x y =+=+，若A B 是平面上正八边形的顶点所构成的
集合，则下列说法正确的为________
①a 的值可以为2； ②a 2； ③a 的值可以为22+；
15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，满足22(sin 3)40a a B B -++=，7b =则ABC ∆的面积为__．
16．已知i 12i z ⋅=+（i 为虚数单位），则复数z =________． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2
325x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为25ρθ=. (1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；
(2)若点P 坐标为5)，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．
18．（12分）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos23cos 10C C +-=. （1）求角C 的大小；
（2）若3b a =，ABC 3sin A B ，求sin A 及c 的值.
19．（12分）已知定点()30A -,
，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为1
9
-，记动点M 的轨迹为曲线C 。

（1）求曲线C 的方程；
（2）过点()1,0T 的直线与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点()0,0S x ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在，求出S 坐标；若不存在，请说明理由。

20．（12分）已知函数
（1）讨论的单调性； （2）当
时，
，求的取值范围. 21．（12分）若数列{}n a 满足：对于任意*n ∈N ，12n n n a a a +++-均为数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 为“T 数列”．
（1）若数列{}n a 的前n 项和2
42n S n n =-，*n ∈N ，试判断数列{}n a 是否为“T 数列”？说明理由；
（2）若公差为d 的等差数列{}n a 为“T 数列”，求d 的取值范围；
（3）若数列{}n a 为“T 数列”，11a =，且对于任意*n ∈N ，均有22
11n n n n a a a a ++<-<，求数列{}n a 的通项公式．
22．（10分）设函数f (x )=x 2−4x sin x −4cos x ． （1）讨论函数f (x )在[−π，π]上的单调性； （2）证明：函数f (x )在R 上有且仅有两个零点．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
作出可行域，平移目标直线即可求解. 【详解】 解：作出可行域：
由2z x y =+得，1122y x z =-
+ 由图形知，11
22
y x z =-+经过点时，其截距最大，此z 时最大
10y x x y =⎧⎨+-=⎩得12
12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，11,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 当121
2x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时，max 1232222z =+⨯=
故选：B 【点睛】
考查线性规划，是基础题. 2、B 【解析】
解：因为*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨
⎬⎩⎭
集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B 3、A 【解析】
试题分析：{}3,4,5,7,8,9U A B =⋃=,{}4,7,9A B ⋂=,所以{}()3,5,8U C A B ⋂=，即集合()U C A B ⋂中共有3个元素，故选A ． 考点：集合的运算． 4、D 【解析】
选项A ，否命题为“若1a ≤，则21a ≤”，故A 不正确．
选项B ，逆命题为“若a b <，则22am bm <”，为假命题，故B 不正确． 选项C ，由题意知对x ∀()0,∈+∞，都有34x x <，故C 不正确． 选项D ，命题的逆否命题“若6
π
α=，则1sin 2α=
”为真命题，故“若1sin 2α≠，则6
π
α≠”是真命题，所以D 正确． 选D ． 5、C 【解析】
画出不等式表示的平面区域，计算面积即可. 【详解】
不等式表示的平面区域如图：
直线220x y +-=的斜率为2-，直线21x y --的斜率为
1
2
，所以两直线垂直，故BCD ∆为直角三角形，易得(1,0)B ，1(0,)2D -，(0,2)C ，5BD =，5BC =11555224
BCD S BD BC ∆=⋅==.
故选：C. 【点睛】
本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题. 6、B 【解析】
利用抛物线的定义可得,12||||||22
p p
AB AF BF x x =+=+++,把线段AB 中点的横坐标为3,||8AB =代入可得p 值,然后可得出抛物线的方程.
设抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ,设点()()1122,,,A x y B x y ，
由抛物线的定义可知()1212||||||22
p p
AB AF BF x x x x p =+=+
++=++， 线段AB 中点的横坐标为3，又||8AB =，86p ∴=+，可得2p =， 所以抛物线方程为2
4y x =. 故选：B. 【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键. 7、C 【解析】
对x 分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象. 【详解】
()()()log 11log log 101log 0.
a a a a
x x x f x x x x x x x ⎧--<-+⎪
==--<<⎨+⎪>⎩，，
，，，
故选C ． 【点睛】 识图常用的方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题； (2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 8、D 【解析】
先求出集合B ，再与集合A 求交集即可. 【详解】 由已知，2
217
2()024
x x x
，故B R =，所以A B ={}2,1,0,1,2--. 故选：D. 【点睛】
本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.
根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项. 【详解】
13X =表示取出的为一个白球，所以()14116233C P X C ===.12X =表示取出一个黑球，()121161
23
C P X C ===，所以
()1218
32333
E X =⨯+⨯=.
23X =表示取出两个球，其中一黑一白，()11
422268
315C C P X C ===，22X =表示取出两个球为黑球，
()22226115C P X C ==，24X =表示取出两个球为白球，()2
42266
415
C P X C ===，所以
()281610
3241515153
E X =⨯
+⨯+⨯=.所以()()1233P X P X =>=，12EX EX <. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题. 10、A 【解析】 设()()
x f x g x e
=
，利用导数和题设条件，得到()0g x '>，得出函数()g x 在R 上单调递增， 得到()0(3)(2018)g g g <<，进而变形即可求解. 【详解】
由题意，设()()x f x g x e =，则()2()()()()()
x x x x
f x e f x e f x f x
g x e e '''--'==， 又由()()f x f x '
<，所以()()()
0x
f x f x
g x e '-'=
>，即函数()g x 在R 上单调递增，
则()0(3)(2018)g g g <<，即032018
(0)(3)(2018)
(0)f f f f e e e =<<，
变形可得32018
(3)(0),(2018)(0)f e f f e f >>.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及利用单调性比较大小，其中解答中根据题意合理构造新函数，利用新函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.
在A 中，α与β相交或平行；在B 中，//n α或n ⊂α；在C 中，由线面垂直的判定定理得n α⊥；在D 中，m 与
β平行或m β⊂．
【详解】
设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则： 在A 中，若//m α，//m β，则α与β相交或平行，故A 错误； 在B 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，故B 错误；
在C 中，若m α⊥，//m n ，则由线面垂直的判定定理得n α⊥，故C 正确； 在D 中，若αβ⊥，m α⊥，则m 与β平行或m β⊂，故D 错误． 故选C ． 【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题． 12、C 【解析】
取B 1C 1的中点Q ，连接PQ ，BQ ，CQ ，PD ，则三棱柱BCQ −ADP 为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥P −ABC 有相同的外接球，求出等腰三角形QBC 的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径 【详解】
如图，取B 1C 1的中点Q ，连接PQ ，BQ ，CQ ，PD ，则三棱柱BCQ −ADP 为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都在球O 的球面上，QBC ∆的外接圆直径为52sin 2QB r QCB ==∠，球O 的半径R 满足22241
()216
AB R r =+=，所以球O 的
表面积S =4πR 2=41π
4
， 故选：C .
【点睛】
此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系，及球的表面积公式，解题时要注意审题，注意空间思维能力的培养，属
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、517+ 【解析】
△PMF 的周长最小，即求||||PM PF +最小，过P 做抛物线准线的垂线，垂足为Q ，转化为求||||PM PQ +最小，数形结合即可求解. 【详解】
如图，F 为抛物线C ：x 2＝8y 的焦点，P 为C 上一点，M （﹣4，3）， 抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F （0，2），准线方程为y ＝﹣2. 过P 作准线的垂线，垂足为Q ，则有||||PF PQ =
||||||||||5PM PF PM PQ MQ +=+≥=，
当且仅当,,M P Q 三点共线时，等号成立，
所以△PMF 的周长最小值为522(4)(32)+-+-=517+. 故答案为：517+.
【点睛】
本题考查抛物线定义的应用，考查数形结合与数学转化思想方法，属于中档题. 14、②③ 【解析】
根据对称性，只需研究第一象限的情况，计算AC ：)
21y x =-，得到()
21A ，)
21,1C
，得到答案.
【详解】
如图所示：根据对称性，只需研究第一象限的情况，
集合B ：1xy x y +=+，故()()110x y --=，即1x =或1y =， 集合A ：x y a +=，A
B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，
故AC 所在的直线的倾斜角为22.5︒，tan 22.521AC k =︒=-，故AC ：(
)
21y x =-，
解得()
1,21A -，此时2a =，(
)
21,1C
+，此时22a =+.
故答案为：②③.
【点睛】
本题考查了根据集合的交集求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用对称性是解题的关键. 15、3 【解析】
由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求B ，进而可求a ，然后结合余弦定理可求c ，代入
1
sin 2
ABC S ac B ∆=
，计算可得所求． 【详解】
解：把22(sin 3)40a a B B -++=看成关于a 的二次方程， 则0∆≥，即24(sin 3)160B B +-≥，
即为2
42sin 1603B π⎛⎫⎛
⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
化为2sin 13B π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，而2sin 13B π⎛⎫+≤ ⎪⎝
⎭， 则2
sin 13B π⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
， 由于0B π<<，可得43
3
3
B π
π
π<+
<
， 可得3
2
B π
π
+
=
，即6
B π
=，
代入方程可得，2440a a -+=， 2a ∴=，
由余弦定理可得，24283
cos 6222
c c π
+-==
⨯， 解得：43c =（负的舍去），
111
sin 24323222
ABC S ac B ∆∴==⨯⨯⨯=．
故答案为23． 【点睛】
本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题． 16、2i - 【解析】 解：
i 12i z ⋅=+
()2
12122i i i z i i i ++∴=
==- 故答案为：2i - 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）
（2）32
【解析】
试题分析：（1）由加减消元得直线l 的普通方程,由2
2
2
sin ,y x y ρθρ==+得圆C 的直角坐标方程；（2）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2,再根据韦达定理可得结果
试题解析：解：（Ⅰ）由得直线l 的普通方程为x+y ﹣3﹣=0
又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x 2+（y ﹣）2=5；
（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得（3﹣
t ）2+（
t ）2=5，即t 2﹣3
t+4=0
设t 1，t 2是上述方程的两实数根， 所以t 1+t 2=3
又直线l 过点P
，A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，
所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3．
18、（1）3
C π
=（2）21
sin A =
；3c =【解析】
（1）由2cos 22cos 1C C =-代入cos23cos 10C C +-=中计算即可； （2）由余弦定理可得7c a =，所以sin 7A C =，由1
sin 3sin sin 2
ABC S ab C A B ==△，变形即可得到答案. 【详解】
（1）因为cos23cos 10C C +-=，可得：22cos 3cos 20C C +-=， ∴1
cos 2
C =，或cos 2C =-（舍），∵0C π<<， ∴3
C π
=
.
（2）由余弦定理2222222cos 327c a b ab C a a a =+-=+=， 得7c a = 所以sin 7C A =，
故21sin 14
7
A C =
=
，
又1sin sin 2
ABC S ab C A B =
=△，3C π∠=
所以2
4sin sin sin a b c A B C ⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭
，
所以c =【点睛】
本题考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.
19、 (1) ()2
2139
x y x +=≠± ；(2) 存在定点()3,0S ±，见解析
【解析】
（1）设动点(,)M x y ，则,(3)33MA MB y y k k x x x =
=≠±+-，利用19
MA MB k k =-，求出曲线C 的方程． （2）由已知直线l 过点(1,0)T ，设l 的方程为1x my =+，则联立方程组22
1
99
x my x y =+⎧⎨
+=⎩， 消去x 得2
2
(9)280m y my ++-=，设1(P x ，1)y ，2(x Q ，2)y 利用韦达定理求解直线的斜率，然后求解指向性方程，推出结果． 【详解】
解：（1）设动点(),M x y ，则()33
MA y
k x x =
≠-+， ()33
MB y
k x x =
≠-， 19
MA MB k k ⋅=-，即1
339y y x x ⋅=-+-，
化简得：2
219
x y +=。

由已知3x ≠±，故曲线C 的方程为()2
2139
x y x +=≠±。

（2）由已知直线l 过点()1,0T ，设l 的方程为1x my =+，
则联立方程组22
1,19
x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()22
9280m y my ++-=，
设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1221222,9
8.
9m y y m y y m ⎧
+=-⎪⎪+⎨
⎪=-⎪+⎩
又直线SP 与SQ 斜率分别为11
1010
1SP y y k x x my x =
=-+-，
22
2020
1SQ y y k x x my x =
=-+-，
则()()()()1222
21020008
11991SP SQ y y k k my x my x x m x -⋅=
=+-+--+-。

当03x =时，m R ∀∈，()
2
082991SP SQ k k x -⋅=
=--；
当03x =-时，m R ∀∈，()
208118
91SP SQ k k x -⋅=
=--。

所以存在定点()3,0S ±，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值。

【点睛】
本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题． 20、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）f′（x ）=（x+1）e x -ax-a=（x+1）（e x -a ）．对a 分类讨论，即可得出单调性． （2）由xe x -ax-a+1≥0，可得a （x+1）≤xe x +1，当x=-1时，0≤-+1恒成立．当x ＞-1时，a 令g （x ）=
，利
用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出． 【详解】 解法一：（1）
①当时，
-1
- 0 + ↘
极小值
↗
所以在上单调递减，在单调递增.
②当
时，
的根为
或
.
若，即，
-1
+ 0 - 0 +
↗极大值↘极小值↗所以在，上单调递增，在上单调递减.
若，即，
在上恒成立，所以在上单调递增，无减区间.
若，即，
-1
+ 0 - 0 +
↗极大值↘极小值↗所以在，上单调递增，在上单调递减.
综上：
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
自时，在上单调递增，无减区间；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2）因为，所以.
当时，恒成立.
当时，.
令，，
设，
因为在上恒成立，
即在上单调递增.
又因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以
.
综上，的取值范围为.
解法二：（1）同解法一； （2）令，
所以，
当时，
，则
在
上单调递增，
所以，满足题意.
当时，
令，
因为，即在上单调递增.
又因为，
，
所以在
上有唯一的解，记为，
- 0 +
↘ 极小值 ↗
，满足题意.
当时，，不满足题意. 综上，的取值范围为.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21、（1）不是，见解析（2）0d ≥（3）1
2
n n a += 【解析】
（1）利用递推关系求出数列的通项公式，进一步验证1n =时，12n n n a a a +++-是否为数列{}n a 中的项，即可得答案； （2）由题意得121(1)||n n n a a a a n d d +++-=+-+，再对公差进行分类讨论，即可得答案；
（3）由题意得数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为(0)t t >，再根据不等式22
11n n n n a a a a ++<-<得到公差的值，
即可得答案； 【详解】
（1）当2n ≥时，22
1424(1)2(1)46n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-+
又112412a S ===⨯-，所以46n a n =-+． 所以12464104n n n a a a n n +++-=-++=- 当1n =时，126n n n a a a +++-=，而2n a ≤，
所以1n =时，12n n n a a a +++-不是数列{}n a 中的项，故数列{}n a 不是为“T 数列” （2）因为数列T 是公差为d 的等差数列， 所以121(1)||n n n a a a a n d d +++-=+-+． 因为数列{}n a 为“T 数列”
所以任意*n ∈N ，存在*m ∈N ，使得1(1)||m a n d d a +-+=，即有()||m n d d -=．
①若0d ≥，则只需*1m n =+∈N ，使得()||m n d d -=，从而得12n n n a a a +++-是数列{}n a 中的项． ②若0d <，则1m n =-．此时，当1n =时，0m =不为正整数，所以0d <不符合题意．综上，0d ≥． （3）由题意1n n a a +<，所以1221n n n n n n a a a a a a +++++-=+-，
又因为()21212n n n n n n n n a a a a a a a a +++++<+-=--<，且数列{}n a 为“T 数列”， 所以211n n n n a a a a ++++-=，即212n n n a a a +++=，所以数列{}n a 为等差数列． 设数列{}n a 的公差为(0)t t >，则有1(1)n a n t =+-，
由22
11n n n n a a a a ++<-<，得1(1)[2(21)]1n t t n t nt +-<+-<+，
整理得(
)
2
2
231n t t t t ->-+，①
()22221n t t t t ->--．②
若2
20t t -<，取正整数202
31
2t t N t t
-+>-， 则当0n N >时，()()
222
02231n t t t t N t t -<-<-+，
与①式对应任意*n ∈N 恒成立相矛盾，因此220t t -≥．
同样根据②式可得220t t -≥， 所以220t t -=．又0t >，所以12
t =
． 经检验当1
2
t =
时，①②两式对应任意*n ∈N 恒成立， 所以数列{}n a 的通项公式为111(1)22
n n a n +=+-=． 【点睛】
本题考查数列新定义题、等差数列的通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，难度较大. 22、见解析 【解析】
（1）f '(x )=2x −4x cos x −4sin x +4sin x =41
()2
cos x x -，
由f '(x )=1，x ∈[−π，π]得x =1或π3-
或π3
． 当x 变化时，f '(x )和f (x )的变化情况如下表：
所以f (x )在区间[ππ)3--，
，(0,π3)上单调递减，在区间()π
,03
-，(π,π]3上单调递增． （2）由（1）得极大值为f (1)=−4；极小值为f (π
3-)=f (π3
)<f (1)<1． 又f (π)=f (−π)=π2+4>1，
所以f (x )在[π
π)3
--，
，(π,π]3上各有一个零点． 显然x ∈(π，2π)时，−4x sin x >1，x 2−4cos x >1，所以f (x )>1； x ∈[2π，+∞)时，f (x )≥x 2−4x −4>62−4×6−4=8>1，
所以f (x )在(π，+∞)上没有零点．因为f (−x )=(−x )2−4(−x )sin(−x )−4cos(−x )=x 2−4x sin x −4cos x =f (x )， 所以f (x )为偶函数，
从而x <−π时，f (x )>1，即f (x )在(−∞，−π)上也没有零点．
故f (x )仅在[π
π)3
--，
，(π,π]3上各有一个零点，即f (x )在R 上有且仅有两个零点．。