湖北省黄冈中学高三第二次模拟考试数学(文)试题

湖北省黄冈中学高三第二次模拟考试数学（文）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的.
1. 已知集合{}
ln(1)M x y x ==-，{
N y y ==，则M N ⋂=
A. M
B. N
C. R
D. ∅ 答案：B
解析：(,1)M =-∞，[)0,1N =，∴M N ⋂=N . 2. 下列函数中与函数ln x
y e
=（e 是自然对数的底数）的定义域和值域都相同的是
A. y x =
B. ln y x =
C. 2x
y = D. y
=
答案：D
解析：定义域，值域均为(0,)+∞，只有D 符合题意. 3. 已知1cos 3α=
，则sin(2)2
πα+=
A. 79-
B. 79
C. 9
± D. 89- 答案：A
解析： 2sin(2)cos 22cos 12π
ααα+
==-7
9
=- . 4. 抛物线2
2y px =（0p >）的焦点为F ，过抛物线上一点A 作其准线l 的垂线，垂足为B ，若ABF
V 为直角三角形，且ABF V 的面积为2，则p =
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 答案：B
解析：AB AF =，ABF V 为等腰三角形，0=90BAF ∴∠，则AF p =，
21
2,22
p p ∴==. 5. 执行如右图所示的程序框图，若输出的48=S ，
则输入k 的值可以为
A. 6
B. 10
C. 8
D. 4 答案：C
6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A.
23
π
B. 3
C. π
D. 53
π 答案：A
解析：该几何体为组合体，由半个圆锥与
14球组成.11142223433
V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=. 7. 设D 为椭圆2
2
15
y x +=上任意一点，(0,2)A -，(0,2)B ，点P 满足(0)DP AD λλ=>uu u r uuu r ()0DB DP PB +⋅=u u u r u u u r u u r
，则点P 的轨迹方程为
A ．22(2)20x y +-=
B ．22(2)20x y ++=
C ．22(2)5x y +-=
D ．22(2)5x y ++=
答案：B
解析：
由椭圆方程2
2
15
y x +=，得25a =，21b =，
2c ∴=，则(0,2)A -，(0,2)B 为椭圆两焦点，
由题意||||PD BD = ，||||||||||2PA PD DA BD DA a ∴=+=+==
∴
点P 的轨迹是以A 为圆心，以22(2)20x y ++=．
8. 已知正三棱柱111ABC A B C -，若1AB AA =，则异面直线1AB 与1CA 所成角的余弦值为
A ．
13
B ．14
-
C ．
14
D ．
12
答案：C
解析：将三棱柱补成平行六面体1111ABDC A B D C -，则11ACD ∠（或其补角）为异面直线
所成的角，由余弦定理得111
cos 4
ACD ∠=
. 9. ABC V 的内角,,A B C 的对边为,,a b c ，若ABC V
22
2)a c b +-，周长 为6，则b 的最小值为
A. 2
C. 3
D. 3
答案：A
解析：222=2cos a c b ac B +-，1sin 2S ac B =
，1sin =cos 22
ac B ac B ∴
tan B =3
B π
=
.
2
2
2
2cos b a c ac B =+-2
()3a c ac =+-2
2
2()()3(
)24
a c a c a c ++≥+-=， 6a c
b +=-代入，得24120b b +-≥，2b ∴≥，选A.
10. 数列{}n a 满足123a =，12(21)1n n n
a a n a +=
++，则数列{}n a 的前2019项的和为
A.
40354036 B. 40364037 C. 40374038 D. 4038
4039
答案：D
解析：由已知，11142n n n a a +-=+，累加得211122n n a a -=-，2241
n a n ∴=-，
221141
2121n a n n n ∴=
=
---+ ，则1
12+1
n S n =-.
11. 计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一.计算机利用二进制存储信息，
其中最基本单位是“位（bit ）”，1位只能存放2种不同的信息：0或1，分别通过电路的断或通来实现.“字节（Byte ）”是更大的存储单位，1 Byte=8 bit ，因此1字节可存放从00000000（2）至11111111
（2）
共256种不同的信息.将这256个二进制数中，恰有相邻三位数是1,其余各位数均是0的所有数相
加，则计算结果用十进制表示为 A. 378 B. 441 C. 742 D. 889
答案：B
解析：符合题意的二进制数为111,1110,11100，L 11100000共6个，化为十进制数为7,14,28，L 组成
首项为7，公比为2的等比数列，共6项，67(12)
76344112
S -==⋅=-.
12. 已知点B 是焦点在x 轴上的椭圆2214x y
t
+=的上顶点，若椭圆上恰有两点到B 的距离最大，则t 的取
值范围是
A. (0,4)
B. (0,3)
C. (0,2)
D. (0,1) 答案：C
解析：B ，04t <<.设(,)P x y 是椭圆上任一点，则2
2
4(1)y x t
=-
2
22(PB x y =+
24(1)4y t t =--++， 410t
-<
，y ⎡∈⎣
对称轴
041y t
=
-0<， 当0
y b ≤-=y b =-，PB 最大，这样的P 点唯一，为下顶点.
y b >-=时，0y y =，PB 最大，这样的点P 有两个，符合题意，
由
01y t
=
>-02t ∴<< 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知(,1)a m =r ，(2,1)b m =-r ，若a r ∥b r
，则m =_____________.
答案：2或1-.
14．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+（0,0ωϕπ><<）的部分图象如图所示，其中()01f =，52
MN =，则()1f =______． 答案：1-. 解析：5()2sin(
)3
6
f x x π
π=+
. 15. 一球筐中装有n 个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由甲先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，则以下推断中正确的有_____. ① 若4n =，则乙有必赢的策略 ② 若6n =，则甲有必赢的策略 ③ 若9n =，则甲有必赢的策略
答案：①②③
解析：当球筐中4个球时，后抓球的赢.故①正确；
6n =时，甲抓2个，袋中剩4球，甲赢.②正确. 9n =时，甲先抓1球，
①当乙抓1球时，甲再抓3球， ②当乙抓2球时，甲再抓2球， ③当乙抓3球时，甲再抓1球， 这时还有4个球，后抓球的赢.③正确.
16. 设函数()(ln )x
f x xe a x x =-+.若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________.
答案：[]0,e
解析：()f x 定义域(0,)+∞.
0a <时，由(ln )x a x x xe +≤，当0x →时，(ln ),a x x +→+∞0x xe →，
不等式不成立. 0a =时，不等式恒成立；
0a >时，由()0f x ≥恒成立，1ln ()x
x x
g x a xe
+≥=， Q '2
1
(1)(ln )(1)()()
x x x xe x x x e x g x xe +-++=2(1)(1ln )
()x x x e x x xe +--=， 设()1ln h x x x =--，在(0,)+∞上递减，且(1)0h =，
(0,1)x ∴∈时，'()0g x >，()g x 递增，(1,)x ∈+∞时，'()0g x <，()g x 递减，
则
max 11
()(1)g x g a e
≥==0a e ∴<≤ 综上，[]0,a e ∈.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知正项等比数列{}n a 中，134a a =，1237a a a ++=. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）若{}n a 是递减数列，记{}n a 的前n 项和为n S ，求n S ，并用n S 表示1n S +. 解：（1）1
2
n n a -=或3
1
()
2
n n a -= 6分
（2）{}n a 是递减数列，∴3
1()
2
n n a -=，3
18(2
n n S -=-），2
118(2
n n S -+=-）
11
42
n n S S +∴=+. 12分
18. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 时直角梯形，090BAD ∠=，PAD V 为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD =2CD =2=，M 是PB 的中点.
（1）证明：AC PB ⊥；
（2）求点P 到平面AMC 的距离.
解：（1）取CD 的中点O ，连,OP OB ，设,OB AC 交于N ， 在AOB V ,tan =2AOB ∠，ADC V 中，1tan
2
DAC ∠=
090AON OAN ∴∠+∠=，即AC OB ⊥①
平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，PO AD ⊥,则PO ⊥平面ABCD ，
PO AC ∴⊥②
由①②AC ⊥平面BOP ，AC PB ∴⊥. 5分
（2）设点P 到平面AMC 的距离为d ，点M 到平面ABCD 的距离为h ，
由（1），PO ⊥平面ABCD ，1=
22
h PO ∴=
，M 是PB 的中点. 则P ACM B ACM V V --=M ACB V -= 6分
其中1
=3M ACB ACB V S h -⋅V 3
=
13P ACM ACM V S d -=⋅V ， 7分
由（1）AC ⊥平面BOP ，1
2
ACM S AC NM ∴=
⋅V 8分 在ANB V 中，cos
NB AB ABO =⋅∠=
在POB V 中，cos PBO ∠=
，由余弦定理求得NM =分
12ACM S AC NM ∴=
⋅V
代入M ACB V -B ACM V -=，得d =分
19. 工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y 进行检测，一共抽取了48件
产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y 有关，具体见下表．
（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y 的平均值（保留两位小数）；
（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y 都在[]
9.8, 10.2内的概率；
（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？
解：（1） 指标Y 的平均值132
=9.6+10+10.410.07666
⨯
⨯⨯≈． 4分 （2）由分层抽样法知，先抽取的6件产品中，指标Y 在[]
9.8,10.2内的有3件，记为123A A A 、、；
指标Y 在(]
10.2,10.6内的有2件，记为12B B 、；指标Y 在[
)9.4,9.8内的有1件，记为C ．
从6件产品中随机抽取2件产品，共有基本事件15个：()()()121311A A A A A B ,、
,、,、 ()()121A B A C ,、,、()()()()2321222,,,,A A A B A B A C 、、、、()()()31323,,,A B A B A C 、、、 ()()()1212,,,B B B C B C 、、．
其中，指标Y 都在[]
9.8,10.2内的基本事件有3个：()()()121323,A A A A A A ,、
,、． 所以由古典概型可知，2件产品的指标Y 都在[]
9.8,10.2内的概率为31
155
P ==．8分 （3）不妨设每件产品的售价为x 元，
假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x 元．其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为600元/件，此时平均每件产品的消费费用为
1
(48163008600)20048
x x +⨯+⨯=+元；
假设为这48件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为()48100x +元，一年内只有8件产品要花费维护，需支出8300=2400⨯元，平均每件产品的消费费用
[]1
48(10)83015048
x x ⨯++⨯=+元． 所以该服务值得消费者购买． 12分
20. 已知(2,0)A -,3(1,)2P 为椭圆22
22:1x y E a b
+=（0a b >>）上两点，过点P 且斜率为,k k -（0k >）
的两条直线与椭圆E 的交点分别为,B C . （1）求椭圆E 的方程及离心率；
（2）若四边形PABC 为平行四边形，求k 的值.
解：（1）22
143
x y += 4分
（2）由PA BC P ，设直线1
:2
BC y x m =
+代入223412x y +=， 得2230x mx m ++-=①，设1122(,),(,)B x y C x y
+=0PB PC k k ，∴121233
22011
y y x x -
-
+=--， 6分
整理得1212(2)()230x x m x x m +-+-+=，代入恒成立. 8分 由PA BC =
12x =-
=1m =±. 1m =时，1
:12
BC y x =
+，直线过(2,0)A -，舍去. 1m =-时，代入①，1x =-或2，直线BC 与椭圆的二交点3
(1,),(2,0)2-，
3
2
k ∴=
12分 21. 已知()ln()x a
f x e x a -=-+
（1）1a =时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （2）若()f x 的最小值为1，求实数a 的值.
解：（1）a =时，1
()ln(1)x f x e
x -=-+，'11()1x f x e x -=-
+，'
1(1)2
f =， ∴()f x 在(1,1ln 2)-处的切线方程为：1
(1ln 2)(1)2
y x --=-即212ln 20x y -+-=.
4分 （2）'
1
()x a
f x e
x a
-=-
+，x a >- x a
e
-Q 在区间(),a -+∞上单调递增，1
x a
-
+在区间(),a -+∞上单调递增，存在唯一的()0,x a ∈-+∞，使得0'
001
()=0x a f x e
x a
-=-+，即001=x a e x a -+ ① 6分
函数'1
()x a
f x e
x a
-=-
+在()0,+∞上单调递增，
()0,x a x ∴∈-，'()0f x <，()f x 单调递减；()0+x x ∈∞，时，'
()0f x >，()f x 单调递增，0min 00()()ln()x a f x f x e x a -∴==-+，
min 0001
()()ln()f x f x x a x a
∴==
-++， 8分 001ln()1x a x a -+=+，显然01x a +=是方程的解，又1ln y x x =-Q 是单调减函数，方程001
ln()1x a x a
-+=+有且仅有唯一的解01x a +=，把01x a =-代入 ①式得， 1-21a
e
=，12a ∴=
，所求实数a 的值为1
2
. 12分
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)
在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=α
α
sin cos 1y x (α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，点
A 为曲线1C 上的动点，点
B 在线段OA 的延长线上，且满足
8=⋅OB OA ，点B 的轨迹为2C .
（1）求21,C C 的极坐标方程；
（2）设点C 的极坐标为)2
,
2(π
，求ABC ∆面积的最小值.
解：（1）∵曲线1C 的参数方程为（α为参数），
∴曲线1C 的普通方程为022
2
=-+x y x ∴曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=，
设点B 的极坐标为),(θρ,点A 的极坐标为),(00θρ 则ρ=OB ,0ρ=OA ,00cos 2θρ=，0θθ= ∵8=⋅OB OA ,80=⋅ρρ,
θρ
cos 28
=∴
，4cos =θρ
∴2C 的极坐标方程为4cos =θρ． 5分 （2）由题设知2=OC ,
211
cos cos 42cos 22
ABC OBC OAC B A B A S S S OC y y OC ρθρθθ∆∆∆=-=
⋅-=⋅-=- 当0=θ时，ABC S ∆取得最小值为2． 10分
23. [选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知函数()f x x a =- （a R ∈）
（1）若关于x 的不等式()21f x x ≥+的解集为133⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，，求a 的值； （2）若x R ∀∈，不等式2
()2f x x a a a -+≤-恒成立，求a 的取值范围.
解：（1）()21f x x ≥+即21x a x -≥+，平方整理：22
32(2)10x a x a +++-≤
则13,3-为方程22
32(2)10x a x a +++-=的两根，2
14233311333a a +⎧-+=-⎪⎪∴⎨-⎪-⋅=⎪⎩
， 得2a =，此时0>V . 5分 （2）Q ()()()2f x x a x a x a x a x a a -+=--+≤--+=，
- 11 - 不等式恒成立，则222a a a ≤-，
当0a ≥时，222a a a ≤-，解得4a ≥或0a =
当0a <时，222a a a -≤-，解得0a <
综上：a 的取值范围是(][),04,-∞⋃+∞. 10分。