江苏省南京市联合体2019-2020学年中考数学模拟试卷

江苏省南京市联合体2019-2020学年中考数学模拟试卷
一、选择题
1．在－2，3.14，，
5π，这6个数中，无理数共有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
2．如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 在x 轴上，点C 的坐标为（﹣1，0），AC=2．将Rt △ABC 先绕点C 顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A 的对应点坐标是（ ）
A.（2，2）
B.（1，2）
C.（﹣1，2）
D.（2，﹣1）
3．下列图形中，是轴对称图形但不是．．
中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4．如图，⊙O 的半径OA ＝8，以A 为圆心，OA 为半径的弧交⊙O 于B ，C 点，则BC ＝（ ）
A. B. C. D.
5．如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，弧AB=弧BC,58AOB ∠=︒，则BDC ∠的度数是（ ）
A ．58°
B ．42°
C ．32°
D ．29°
6．某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA 的0刻度固定在半圆的圆心O 处，刻度尺可以绕点O 旋转．从图中所示的图尺可读出cos ∠AOB 的值是（ ）
A.34
B.710
C.45
D.35
7．数据2、5、6、0、6、1、8的中位数是（ ）
A ．8
B ．6
C ．5
D ．0
8．下列图像中既不是中心对称图形又不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
9．已知，如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于点E ，且AC ＝14，ED ＝3，则AB 的长是（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
10．电影《流浪地球》中有一个名词“洛希极限”，它是指两大星体之间可以保持平稳运行的最小距离，其中地球与木星之间的洛希极限约为10.9万公里，数据“10.9万”用科学记数法表示正确的是（ ）
A ．10.9×104
B ．1.09×104
C ．10.9×105
D ．1.09×105
11．如图直线y ＝mx 与双曲线y=
k x
交于点A 、B ，过A 作AM ⊥x 轴于M 点，连接BM ，若S △AMB ＝2，则k 的值是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 12．将抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3沿x 轴折得到的新抛物线的解析式为（ ）
A ．y ＝﹣x 2+2x+3
B ．y ＝﹣x 2﹣2x ﹣3
C ．y ＝x 2+2x ﹣3
D ．y ＝x 2﹣2x+3 二、填空题 13．若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x ﹣c ＝0有一正一负两个实数根，则实数c 的值可以取_____（写出一个即可）．
14．如图，△ABC 的中线AD ，BE 相交于点F ．若△ABF 的面积是4，则四边形CEFD 的面积是_____．
15．已知关于x 的一元二次方程x 2+ax+b=0的两根分别为-1和2，则2
b =______．
16．若m 、n 互为倒数，则mn 2﹣（n ﹣1）的值为_____．
17．计算：((2012201111⋅=_________________
18．如图，将正方形ABCD 沿EF 折叠，使得AD 的中点落在点C 处，若正方形边长为2，则折痕EF 的长为___．
三、解答题
19．(1)计算：301
()
2---+(2)因式分解：4(x ﹣2y)2﹣16y 2
20．如图，反比例函数y ＝
2x 的图象和一次函数的图象交于A 、B 两点，点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是1．
（1）在第一象限内，写出关于x 的不等式kx+b≥
2x
的解集 ； （2）求一次函数的表达式；
（3）若点P （m ，n ）在反比例函数图象上，且关于y 轴对称的点Q 恰好落在一次函数的图象上，求m 2+n 2的值．
21．如图，E 是长方形ABCD 的边AB 上的点，EF ⊥DE 交BC 于点F
（1）求证：△ADE ∽△BEF ；
（2）设H 是ED 上一点，以EH 为直径作⊙O ，DF 与⊙O 相切于点G ，若DH ＝OH ＝3，求图中阴影部分的面
π≈3.14）．
22．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=-
12x 2-72
x-3交x 轴于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，交y 轴于点C.
(1)求直线AC 的解析式；
(2)①点P 是直线AC 上方抛物线上的一个动点(不与点A 、点C 重合)，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，求PD 的最大值；
②当线段PD 的长度最大时，点Q 从点P 出发，先以每秒1个单位长度的速度沿适当的路径运动到y 轴上
的点M 处，再沿MC 个单位长度的速度运动到点C 停止，当点Q 在整个运动过程中用时最少时，求点M 的坐标；
(3)如图②，将△BOC 沿直线BC 平移，点B 平移后的对应点为点B'，点O 平移后的对应点为点O'，点C 平移后的对应点为点C'，点S 是坐标平面内一点，若以A 、C 、O'、S 为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点O'的坐标.
23．计算：201(3.14)|14cos 452π-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭
． 24．春暖花开，树木萌芽，某种时令蔬菜的价格呈上升趋势，若这种蔬菜开始时的售价为每斤20元，并且每天涨价2元，从第六天开始，保持每斤30元的稳定价格销售，直到11天结束，该蔬菜退市．
（1）请写出该种蔬菜销售价格y 与天数x 之间的函数关系式；
（2）若该种蔬菜于进货当天售完，且这种蔬菜每斤进价z 与天数x 的关系为z ＝﹣2
1(8)8-x +12
（1≤x≤11），且x 为整数，那么该种蔬菜在第几天售出后，每斤获得利润最大？最大利润为多少？
25．如图，从甲楼底部A 处测得乙楼顶部C 处的仰角是30°，从甲楼顶部B 处测得乙楼底部D 处的俯角是45°，已知甲楼的高AB 是100m ，求乙楼的高CD （结果保留根号）．
【参考答案】***
一、选择题
13．1
14．4
15．-1
16．1
17
18三、解答题
19．(1)﹣；(2)4x(x ﹣4y)．
【解析】
【分析】
(1)根据负整数指数幂、零指数幂可以解答本题；
(2)根据平方差公式可以解答本题．
【详解】
解：301()
2---
＝3+(﹣8)﹣
＝﹣
(2)4(x ﹣2y)2﹣16y 2
＝[2(x ﹣2y)+4y][2(x ﹣2y)﹣4y]
＝(2x ﹣4y+4y)(2x ﹣4y ﹣4y)
＝2x(2x ﹣8y)
＝4x(x ﹣4y)．
【点睛】
本题考查负整数指数幂、零指数幂、二次根式的混合运算、分解因式，解答本题的关键是明确它们各自的解答方法．
20．（1）1≤x≤2；（2）y ＝﹣x+3；（3）13.
【解析】
【分析】
（1）根据题意得出A 、B 点的坐标，根据交点即可求得不等式的解集；
（2）根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（3）求得Q 点的坐标，即可求得n ＝m+3，则P （m ．m+3），即可得出m （m+3）＝2，m 2+n 2＝m 2+（m+3）2＝2m 2+6m+9＝2（m 2+3m ）+9＝13．
【详解】
解：（1）∵反比例函数y ＝
2x 的图象和一次函数的图象交于A 、B 两点，点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是1，
∴A （1，2），B （2，1），
∴在第一象限内，不等式kx+b≥
2x
的解集为1≤x≤2， 故答案为1≤x≤2；
（2）设一次函数的解析式为y ＝kx+b ，
∵经过A （1，2），B （2，1）点， ∴221k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩
，
∴一次函数的解析式为y ＝﹣x+3；
（3）∵点P （m ，n ），
∴Q （﹣m ，n ），
∵点P 在反比例函数图象上，
∴mn ＝2
∵点Q 恰好落在一次函数的图象上，
∴n ＝m+3，
∴m （m+3）＝2，
∴m 2+3m ＝2，
∴m 2+n 2＝m 2+（m+3）2＝2m 2+6m+9＝2（m 2+3m ）+9＝2×2+9＝13．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
21．（1）见解析；（2）图中阴影部分的面积约为6.2．
【解析】
【分析】
（1）由条件可证∠AED ＝∠EFB ，从而可证△ADE ∽△BEF ．
（2）由DF 与⊙O 相切，DH ＝OH ＝OG ＝3可得∠ODG ＝30°，从而有∠GOE ＝120°，并可求出DG 、EF 长，从而可以求出△DGO 、△DEF 、扇形OEG 的面积，进而可以求出图中阴影部分的面积．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A ＝∠B ＝90°．
∵EF ⊥DE ，
∴∠DEF ＝90°．
∴∠AED ＝90°﹣∠BEF ＝∠EFB ．
∵∠A ＝∠B ，∠AED ＝∠EFB ，
∴△ADE ∽△BEF ．
（2）解：∵DF 与⊙O 相切于点G ，
∴OG ⊥DG ．
∴∠DGO ＝90°．
∵DH ＝OH ＝OG ，
∴sin ∠ODG ＝12
OG OD =． ∴∠ODG ＝30°．
∴∠GOE ＝120°．
∴S 扇形OEG ＝2
1203360
π⨯＝3π． 在Rt △DGO 中，
cos ∠ODG ＝DG DG DO 6==．
∴DG ＝
在Rt △DEF 中，
tan ∠EDF ＝93
EF EF DE ==．
∴EF ＝
∴S △DEF ＝11922DE EF ⋅=⨯⨯=
S △DGO ＝113222
DG GO ⋅=⨯= ∴S 阴影＝S △DEF ﹣S △DGO ﹣S 扇形OEG
＝22
-﹣3π
＝3π
≈9×1.73﹣3×3.14
＝6.15
≈6.2
∴图中阴影部分的面积约为6.2．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定、切线的性质、特殊角的三角函数值、扇形的面积等知识，考查了用割补法求不规则图形的面积．
22．(1)y=-12x-3；(2)①PD=5；②M(0，2)；(3)满足条件的点O'的坐标为(610
--，
)或或(3，-9)或(-65，185)或(910-，2710). 【解析】
【分析】
(1)分别求出抛物线y=-12x 2-72
x-3与x 轴、y 轴的交点坐标，然后分别把A(-6，0)， C(0，-3)代入直线AC 的解析式为y=kx+b 中，解二元一次方程组即可.
(2)①由于PAC 的面积最大时，PD 最大时，利用三角形的面积公式求出的关系式，利用二次函数的性质求出△PAC 的面积最大值为
272，利用S △PAC =12
AC×PD，即可求出PD 的长.
②利用勾股定理可求出sin ∠OCN=
ON MK CN CM ==， 从而可得点Q 在整个运动过程中的时间等于PK 的长，过点P 作PE ⊥y 轴于点E ，根据垂线段最短可知与y 轴交点即为M ，sin ∠OCN=sin ∠EPM=PE OC EM ON
=，从而求出OM=2，即得M 的坐标.
(3)①如图③、图④利用菱形的四条边相等，可得O'在直线y=-3x 上，设O'(m ，-
3m)，利用勾股定理建立等式，解出m即可.
②如图⑤、图⑥，同①可得.
③如图⑦，同①可得.
【详解】
(1)解：对于抛物线y=-1
2
x2-
7
2
x-3，令x=0，得到y=-3，
∴C(0，-3)，
令y=0，得到x2+7x+6=0，解得x=-6或x=-1，∴A(-6，0)，B(-1，0)，
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有
1
3
,2 60
3
b k
k b
b
⎧
=-=-
⎧⎪
⎨⎨
-+=
⎩⎪=-
⎩
解得，
∴直线AC的解析式为y=-1
2
x-3.
(2)解：①如图①，
设P(m，-1
2
m2-
7
2
m-3)，连接PA、PC，作PK∥y轴交AC于点K，则K(m，-
1
2
m-3)，
∵PD⊥AC，
∴PD最大时，△PAC的面积最大，
∵S△PAC=1
2
×(-
1
2
m2-3m)×6=-
3
2
(m+3)2+
27
2
，
∴m=-3时，△PAC的面积最大，最大值为27
2
，此时P(-3，3)，
1
2
×AC×PD=
27
2
，
∴
PD=
5
.
②如图②，
在x轴上取一点N(1，0)，作直线CN，过点P作PK⊥CN于点K，交y轴于点M. ∵OC=3，ON=1，
∴，
∴sin ∠OCN=
ON MK CN CM ==， ∴
， ∴.点Q 在整个运动过程中的时间=
1PM =， 根据垂线段最短可知，点M 即为所求的点，过点P 作PE ⊥y 轴于点E ，
PE OC EM ON
=， ∴EM=1，
∴OM=2，
∴M(0，2)
(3)解：①如图③、图④，
当四边形ACSO'是菱形时，设AS 交CO'于点K ，
∵点O'在直线y=-3x 上，A(-6，0)，设O'(m ，-3m)，
∴(m+6)2+(-3m)22，解得
∴O'(610--，1810+)或(610-+，1810
-； ②如图⑤、图⑥，
当四边形ACO'S 是菱形时，设CS 交AO'于点K ，
∵点O'在直线y=-3x 上，C(0，-3)，设O'(m ，-3m)，
∴m2+(-3m+3)2
2，解得m=3或m=-
6
5
，
∴O'(3，-9)或(-6
5
，
18
5
).
③如图⑦，
当四边形ASCO'是菱形时，设AC交SO'于点K，
∵点O'在直线y=-3x上，C(0，-3)，设O'(m，-3m)，
∴m2+(-3m+3)2
=(
2
)2+(m+3)2+(-3m+
3
2
)，解得m=
9
10
-，
∴O'(
9
10
-，
27
10
)。

综上所述，满足条件的点O'的坐标为
(
6
10
--
，
18
10
+
)或
(
6
10
-+
，
18
10
-
或(3，-9)
或(-6
5
，
18
5
)或(
9
10
-，
27
10
).
【点睛】
此题考查二次函数的实际应用-动态几何问题，解题关键在于把已知点代入解析式
23．4
【解析】
【分析】
原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【详解】
解：原式1414
=++-
＝4．
【点睛】
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．（1）
202(1)218(16)
30(611)
x x x
y
x
+-=+<
⎧
=⎨
⎩
…
剟
；（2）在第11天进货并售出后，所获利润最大，且为每件最大利润为19.125元．
【解析】
【分析】
（1）根据销售价格随时间的变化关系设y与x之间的函数关系为y＝kx+b,由分段函数求出其值即可;
（2）根据利润＝售价﹣进价就可以表示出利润与时间之间的关系,由二次函数的性质就可以求出结论．
【详解】
解：（1）该种蔬菜销售价格y 与天数x 之间的函数关系式：y ＝()()()20212181630611x x x x ⎧+-=+≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩
; （2）设利润为W,则W ＝y ﹣z ＝()()()()()()()222211218812141688113081281861188x x x x x x x x x ⎧++--=+≤≤⎪⎪⎨⎪+--=-+≤≤⎪⎩
为整数为整数, W ＝21148
x +,对称轴是直线x ＝0,当x ＞0时,W 随x 的增大而增大, ∴当x ＝5时,W 最大＝
258+14＝17.125（元） W ＝()218188
x -+,对称轴是直线x ＝8,当x ＞8时,W 随x 的增大而增大, ∴当x ＝11时,W 最大＝
18×9+18＝1918＝19.125（元） 综上可知：在第11天进货并售出后，所获利润最大且为每件19.125元．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用,待定系数法求函数的解析式的运用,二次函数的最值的运用,解答时求出利润的解析式是关键．
25．乙楼的高CD
． 【解析】
【分析】
在Rt △ADC 中,根据三角函数的定义计算即可.
【详解】
由题意可得：∠BDA ＝45°，
则AB ＝AD ＝100m ，
又∵∠CAD ＝30°，
∴在Rt △ADC 中，
tan ∠CDA ＝tan30°＝CD AD
＝3
， 解得：CD
（m ）， 答：乙楼的高CD
． 【点睛】
本题主要考查三角函数的定义，根据正切函数的定义求解未知数.。