02-第一节 方程解的存在性及方程的近似解-课时2 利用二分法求方程的近似解高中数学必修一北师大版

5 + 5 = 0
【解析】 对于A，设 = ln + ，则

1
e2
=
1
ln 2
e
+
1
e2
= −2 +
1
e2
< 0， 1 = 1 > 0，所以
1
e2
1 < 0，
又 的图象是一条连续的曲线，所以根据零点存在定理可知，
∃1 ∈
1
,1
e2
，使得 1 = 0，故A正确；对于B，设 = e − 3，则
适区间.
第五章 函数应用
第一节 方程解的存在性及方程的近
似解
课时2 利用二分法求方程的近似解
过基础 教材必备知识精练
知识点1 二分法的概念及适用条件
1.下面关于二分法的叙述中，正确的是( B
)
A.用二分法可求所有函数零点的近似值
B.用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C.二分法无规律可循，无法在计算机上完成
2
1
9
因为 − = > 0 ,所以
4
8
1
所以0 ∈ − , 0 .
4
1
1
因为 − = > 0,所以
8
32
1
所以0 ∈ − , 0 .
8
1
1
1
因为 − − 0 = < = 0.2,
8
8
5
1
所以所求区间为 − , 0 .
8
1
−
4
⋅ 0 < 0,
1
−
8
⋅ 0 < 0,
【归纳总结】 （1）对于单调函数 ,若能找到1 ,2 ,使得
续的曲线，所以根据零点存在定理可知，∃3 ∈ 0,1 ，使得ℎ 3 = 0，
故C正确；对于D，设 = 4 2 − 4
= 2 − 5
2
5 + 5，因为
≥ 0恒成立，不存在函数值异号的区间，所以不满足二
分法的条件，故D错误.
4.若函数 = ( + 2) 2 + 2 + 1有零点，但不能用二分法求其零点，
0.01
8.某同学在借助计算器求“方程lg = 2 − 的近似解（精确度为0.1）”时，
设 = lg + − 2，算得 1 < 0， 2 > 0.在以下过程中，他用“二
分法”又取了4个的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近
1.5,1.75,1.875,1.812 5
> 0，则第三次应计算
1
4
1
4
5
4
【解析】 对于A，因为第一次计算出 0 < 0且 1 > 0，所以由零点存
在定理可知存在0 ∈ 0,1 满足 0 = 0，故A正确.对于B，第二次应计
算
1
2
，若
1
2
> 0，因为 0 < 0，所以 0
定理，所以第三次应计算

1
2

3
4
，故D不正确.
近似值都为1.4，所以原方程的一个近似根为1.4.
7.已知函数 在区间 1,2 内有1个零点，用二分法求方程 = 0的近
似解时，若精确度小于0.01，则至少计算中点函数值( C )
A.5次
B.6次
C.7次
D.8次
【名师点评】 若区间 , 满足精度,则区间 , 的等分次数可由
0 = 1 > 0， 1 = e − 3 < 0，所以 0 1 < 0，又 的图象是一
条连续的曲线，所以根据零点存在定理可知，∃2 ∈ 0,1 ，使得
2 = 0，故B正确；
对于C，设ℎ = 3 − 3 + 1，则ℎ 0 = 1 > 0，
ℎ 1 = 1 − 3 + 1 = −1 < 0，所以ℎ 0 ℎ 1 < 0，又ℎ 的图象是一条连
似解是 ≈ 1.8.那么他再取的的4个值依次是_____________________.
【解析】 第一次用二分法计算得区间 1.5,2 ,第二次得区间 1.75,2 ,第三
次得区间 1.75,1.875 ,第四次得区间 1.75,1.812 5 .
9.已知函数 = 2 2 − 8 + + 3 ∈ 为上的连续函数.
（1）若函数 在区间[−1,1]上存在零点，求实数的取值范围.
【解析】 由题知函数 在区间[−1,1]上单调递减,
因为 在区间[−1,1]上存在零点,
−1 ≥ 0,
2 + 8 + + 3 ≥ 0,
所以ቊ
即ቊ
所以−13 ≤ ≤ 3.
2 − 8 + + 3 ≤ 0,
1 ≤ 0,
D.二分法只用于求方程的近似解
【解析】 由二分法的概念知选项A错误；二分法是一种程序化的运算,可
以在计算机上完成,故选项C错误；二分法也可用于求方程的准确解,故选
项D错误.故选B.
2.已知函数 的图象如图，其中零点的个数与可
以用二分法求解的个数分别为( D )
A.4，4
B.3，4
C.5，4
D.4，3
3 + 2 − 2 − 2 = 0的一个近似根（精确到0.1）可以是( C )
1 = −2
1.5 = 0.625
1.375 ≈ −0.260
1.437 5 ≈ 0.162
A.1.2
B.1.3
C.1.4
1.25 ≈ −0.984
D.1.5
【解析】 因为 1.375 < 0, 1.437 5 > 0,且1.375与1.437 5精确到0.1的
所以实数的取值范围是[−13,3].
（2）若 = −4 ，判断函数 在区间 −1,1 上是否存在零点.若存在，
请在精确度为0.2的条件下，用二分法求出该零点0 存在的区间；若不存
在，请说明理由.
【解析】 当 = −4时, = 2 2 − 8 − 1.
因为 −1 = 9, 1 = −7，
1 2 < 0,则 在区间 1 , 2 内存在零点.
（2）二分法求零点区间:若在区间 1 , 2 内 1 2 < 0,则取
3 =
1 +2
,并确定
2
3 的符号.若 1 3 < 0,则在区间 1 , 3 内继续
上一步骤;若 3 2 < 0,则在区间 3 , 2 内继续上一步骤,直到得到合
1
− ≤ ∈ 确定.
2
【解析】 设对区间 1,2 二等分次,初始区间长度为1,第1次二等分后区间
1
1
长度为 ；第2次二等分后区间长度为 2 ；第3次二等分后区间长度为
2
2
1
1
1
；……；第次二等分后区间长度为 .依题意得 < 0.01,所以
3
2
2
2
1

2 >
= 100,所以 ≥ 7,所以至少计算中点函数值7次.故选C.
【解析】 图象与轴有4个交点,所以零点的个数为4；
左右两侧的函数值异号的零点有3个,所以可以用二分法求解的个数为3.
3.（多选）[2024浙江杭州重点中学联考]下列方程中能用二分法求近似解
的为( ABC
)
A.ln + = 0
B.e − 3 = 0
C. 3 − 3 + 1 = 0
D.4 2 − 4
数，运用二分法研究函数 的零点时，若第一次计算出 0 < 0且
1 > 0，则下列说法中正确的是(
AB
)
A.可以确定 的一个零点0 满足0 ∈ 0,1
B.第二次应计算
C.第二次应计算
D.第二次应计算
1
2
1
2
3
2
，若
，若
，若
1
2
1
2
3
2
> 0，则第三次应计算
< ，则第三次应计算
< 0，满足零点存在
，故B正确.对于C，第二次应计算
< 0，因为 1 > 0，所以
第三次应计算
3
2
1
4
1
2
1
2
1
2
，若
1 < 0，满足零点存在定理，所以
，故C不正确.对于D，第二次应计算
1
2
，而不是计算
6.若函数 = 3 + 2 − 2 − 2的部分函数值如下，那么方程
2或−1
则实数的值为_______.
【解析】 由题意,知 + 2 2 + 2 + 1 = 0有两个相等实根,所以
Δ = 42 − 4 + 2 = 0,解得 = 2或 = −1.
知识点2 用二分法求方程的近似解
5.（多选）[2024辽宁省实验中学月考]已知函数 = e − + ，为常
所以 −1 ⋅ 1 < 0,
又 在区间 −1,1 上单调递减,
所以函数 在区间 −1,1 上存在唯一零点0 .
因为 0 = −1 < 0,所以 −1 ⋅ 0 < 0,
所以0 ∈ −1,0 .
因为
1
−
2
7
2
= > 0,所以
1
−
2
⋅ 0 < 0,
1
所以0 ∈ − , 0 .