南昌县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

南昌县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知α，β为锐角△ABC的两个内角，x∈R，f（x）=（）|x﹣2|+（）|x﹣2|，则关于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0的解集为（）
A．（﹣∞，）∪（2，+∞）B．（，2）C．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）D．（﹣，2）
2．双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则m的值等于（）
A．12 B．20 C． D．
3．已知向量与的夹角为60°，||=2，||=6，则2﹣在方向上的投影为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知实数x，y满足约束条件，若y≥kx﹣3恒成立，则实数k的数值范围是（）
A．[﹣，0] B．[0，] C．（﹣∞，0]∪[，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）
5．设为虚数单位，则（）
A． B． C． D．
6．若复数z=2﹣i （i为虚数单位），则=（）
A．4+2i B．20+10i C．4﹣2i D．
7．复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．已知平面向量(12)
=，
a，(32)
=-，
b，若k+
a b与a垂直，则实数k值为（）
A．
1
5
-B．
11
9
C．11D．19
【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示等基础知识，意在考查基本运算能力．
9．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）
A．a，b，c中至少有两个偶数
B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．a，b，c都是奇数
D ．a ，b ，c 都是偶数
10．已知命题:()(0x p f x a a =>且1)a ≠是单调增函数；命题5:(,)44
q x ππ
∀∈，sin cos x x >.
则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．p q ∨⌝ C. p q ⌝∧⌝ D ．p q ⌝∧ 11
．给出定义：若
（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即{x}=m
在此基础上给出下列关于函数f （x ）=|x ﹣{x}|的四个命题：
①；②f （3.4）=﹣0.4；
③
；④y=f （x ）的定义域为R
，值域是
；
则其中真命题的序号是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．③④
12．已知三个数1a -，1a +，5a +成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{}n a 的前三 项，则能使不等式1212
111
n n
a a a a a a ++
+≤
+++
成立的自然数的最大值为（ ） A ．9 B ．8 C.7 D ．5
二、填空题
13．已知i 是虚数单位，且满足i 2=﹣1，a ∈R ，复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）在复平面内对应的点为M ，则“a=1”是“点M 在第四象限”的 条件（选填“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”“既不充分又不必要”）
14．计算sin43°
cos13°﹣cos43°sin13°的值为 ．
15．从等边三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC=3+，则这两个正方形的面积之和
的最小值为
．
16．设MP 和OM 分别是角
的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：
①MP ＜OM ＜0；②OM ＜0＜MP ；③OM ＜MP ＜0；④MP ＜0＜OM ， 其中正确的是 （把所有正确的序号都填上）．
17．若直线x ﹣y=1与直线（m+3）x+my ﹣8=0平行，则m= ． 18．已知1sin cos 3
αα+=
，(0,)απ∈，则sin cos 7sin 12
ααπ-的值为 ．
三、解答题
19．已知y=f （x ）的定义域为[1，4]，f （1）=2，f （2）=3．当x ∈[1，2]时，f （x ）的图象为线段；当x ∈[2，4]时，f （x ）的图象为二次函数图象的一部分，且顶点为（3，1）． （1）求f （x ）的解析式； （2）求f （x ）的值域．
20．（本题满分14分）已知函数x a x x f ln )(2-=.
（1）若)(x f 在]5,3[上是单调递减函数，求实数a 的取值范围；
（2）记x b x a x f x g )1(2ln )2()()(--++=，并设)(,2121x x x x <是函数)(x g 的两个极值点，若2
7≥b ， 求)()(21x g x g -的最小值.
21．在正方体1111D ABC A B C D -中,,E G H 分别为111,,BC C D AA 的中点. （1）求证：EG 平面11BDD B ；
（2）求异面直线1B H 与EG 所成的角]
22．已知集合A={x|2≤x ≤6}，集合B={x|x ≥3}． （1）求C R （A ∩B ）；
（2）若C={x|x ≤a}，且A ⊆C ，求实数a 的取值范围．
23．【淮安市淮海中学2018届高三上第一次调研】已知函数()133x x a
f x b
+-+=+.
（1）当1a b ==时，求满足()3x
f x =的x 的取值；
（2）若函数()f x 是定义在R 上的奇函数
①存在t R ∈，不等式()()
22
22f t t f t k -<-有解，求k 的取值范围；
②若函数()g x 满足()()()
12333
x
x f x g x -⎡⎤⋅+=-⎣⎦，若对任意x R ∈，不等式()()211g x m g x ≥⋅-恒成立，求实数m 的最大值.
24．已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若，求实数k的值；
（Ⅲ）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．
南昌县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：∵α，β为锐角△ABC的两个内角，可得α+β＞90°，cosβ=sin（90°﹣β）＜sinα，同理cosα＜sinβ，
∴f（x）=（）|x﹣2|+（）|x﹣2|，在（2，+∞）上单调递减，在（﹣∞，2）单调递增，
由关于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得到关于x的不等式f（2x﹣1）＞f（x+1），
∴|2x﹣1﹣2|＜|x+1﹣2|即|2x﹣3|＜|x﹣1|，化简为3x2﹣1x+8＜0，解得x∈（，2）；
故选：B．
2．【答案】A
【解析】解：椭圆的焦点为（±4，0），
由双曲线的焦点与椭圆的重合，可得=4，解得m=12．
故选：A．
3．【答案】A
【解析】解：∵向量与的夹角为60°，||=2，||=6，
∴（2﹣）•=2﹣=2×22﹣6×2×cos60°=2，
∴2﹣在方向上的投影为=．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目．
4．【答案】A
【解析】解：由约束条件作可行域如图，
联立，解得B（3，﹣3）．
联立，解得A（）．
由题意得：，解得：．
∴实数k的数值范围是．
故选：A．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．
5．【答案】C
【解析】【知识点】复数乘除和乘方
【试题解析】
故答案为：C
6．【答案】A
【解析】解：∵z=2﹣i，
∴====，
∴=10•=4+2i，
故选：A．
【点评】本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．
7．【答案】C
【解析】解：z====+i，
当1+m＞0且1﹣m＞0时，有解：﹣1＜m＜1；
当1+m＞0且1﹣m＜0时，有解：m＞1；
当1+m＜0且1﹣m＞0时，有解：m＜﹣1；
当1+m＜0且1﹣m＜0时，无解；
故选：C．
【点评】本题考查复数的几何意义，注意解题方法的积累，属于中档题．
8．【答案】A
9．【答案】B
【解析】解：∵结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”
可得题设为：a，b，c中恰有一个偶数
∴反设的内容是假设a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．
故选B．
【点评】此题考查了反证法的定义，反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反“．
10．【答案】D
【解析】
考点：1、指数函数与三角函数的性质；2、真值表的应用.
11．【答案】B
【解析】解：①∵﹣1﹣＜﹣≤﹣1+
∴{﹣}=﹣1
∴f（﹣）=|﹣﹣{﹣}|=|﹣+1|=
∴①正确；
②∵3﹣＜3.4≤3+
∴{3.4}=3
∴f（3.4）=|3.4﹣{3.4}|=|3.4﹣3|=0.4
∴②错误；
③∵0
﹣
＜﹣≤
0+ ∴{
﹣}=0
∴f
（﹣）=|
﹣﹣
0|=， ∵0
﹣
＜≤
0+ ∴
{}=0
∴f
（）
=|﹣
0|=， ∴f
（﹣）=f
（） ∴③正确；
④y=f （x ）的定义域为R ，值域是[0
，] ∴④错误． 故选：B ．
【点评】本题主要考查对于新定义的理解与运用，是对学生能力的考查．
12．【答案】C 【解析】
试题分析：因为三个数1,1,5a a a -++等比数列，所以()()()2
115,3a a a a +=-+∴=，倒数重新排列后恰
好为递增的等比数列{}n a 的前三项，为111,
,842，公比为，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以为首项，1
2为公比的等比数列，则不等式1212
11
1n n a a a a a a +++≤
+++等价为()1181122811212
n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤
--，整理，得722,17,n n n N +≤∴≤≤≤∈，故选C. 1
考点：1、等比数列的性质；2、等比数列前项和公式.
二、填空题
13．【答案】 充分不必要
【解析】解：∵复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）=a+2+（a ﹣2）i ， ∴在复平面内对应的点M 的坐标是（a+2，a ﹣2），
若点在第四象限则a+2＞0，a﹣2＜0，
∴﹣2＜a＜2，
∴“a=1”是“点M在第四象限”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要．
【点评】本题考查条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题．
14．【答案】．
【解析】解：sin43°cos13°﹣cos43°sin13°=sin（43°﹣13°）=sin30°=，
故答案为．
15．【答案】．
【解析】解：设大小正方形的边长分别为x，y，（x，y＞0）．
则+x+y+=3+，
化为：x+y=3．
则x2+y2=，当且仅当x=y=时取等号．
∴这两个正方形的面积之和的最小值为．
故答案为：．
16．【答案】
②
【解析】解：由MP，OM分别为角的正弦线、余弦线，如图，
∵，
∴OM＜0＜MP．
故答案为：②．
【点评】本题的考点是三角函数线，考查用作图的方法比较三角函数的大小，本题是直接比较三角函数线的大小，在大多数此种类型的题中都是用三角函数线比较三个函数值的大小．
17．【答案】 ．
【解析】解：直线x ﹣y=1的斜率为1，（m+3）x+my ﹣8=0斜率为
两直线平行，则=1解得m=﹣．
故应填﹣．
18．
【解析】
7sin
sin sin cos cos sin 12434343πππππππ⎛⎫
=+=+ ⎪⎝⎭
=
,
sin cos
73
sin
12
αα
π
-
∴==,
故答案为
3
.
考点：1、同角三角函数之间的关系；2、两角和的正弦公式.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）当x∈[1，2]时f（x）的图象为线段，
设f（x）=ax+b，又有f（1）=2，f（2）=3
∵a+b=2，2a+b=3，
解得a=1，b=1，f（x）=x+1，
当x∈[2，4]时，f（x）的图象为二次函数的一部分，
且顶点为（3，1），
设f（x）=a（x﹣3）2+1，又f（2）=3，
所以代入得a+1=3，a=2，f（x）=2（x﹣3）2+1．
（2）当x∈[1，2]，2≤f（x）≤3，
当x∈[2，4]，1≤f（x）≤3，
所以1≤f（x）≤3．
故f（x）的值域为[1，3]．
20．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查了利用导数研究函数的单调问题，利用导数研究函数的最值，但本题对函数的构造能力及运算能力都有很高的要求，判别式的技巧性运用及换元方法也是本题的一大亮点，本题综合性很强，难度大，但有梯次感
.
（2）∵x
b
x
x
x
b
x
a
x
a
x
x
g)1
(2
ln
2
)1
(2
ln)
2(
ln
)(2
2-
-
+
=
-
-
+
+
-
=，
【解析】
（2）延长DB 于M ，使1
2
BM BD =
,连结11,,B M HM HB M ∠为所求角.
设正方体边长为,则111651011cos 02
B M B H AM HM HB M =
===∴∠=, 1B H ∴与EG 所成的角为90.
考点：直线与平行的判定；异面直线所成的角的计算.
【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定与证明、空间中异面直线所成的角的计算，其中解答中涉及到平行四边形的性质、正方体的结构特征、解三角形的相关知识的应用，着重考查了学生的空间想象能力以及学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中根据异面直线所成的角找到角1HB M ∠为异面直线所成的角是解答的一个难点，属于中档试题. 22．【答案】
【解析】解：（1）由题意：集合A={x|2≤x ≤6}，集合B={x|x ≥3}． 那么：A ∩B={x|6≥x ≥3}．
∴C R （A ∩B ）={x|x ＜3或x ＞6}． （2）C={x|x ≤a}， ∵A ⊆C ， ∴a ≥6
∴故得实数a 的取值范围是[6，+∞）．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
23．【答案】（1）1x =-（2）①()1,-+∞，②6
【解析】
试题
解析：（1）由题意，1
31331x x
x +-+=+，化简得()2332310x x ⋅+⋅-= 解得()13133
x x
=-=舍或，
所以1x =-
（2）因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以1
133033x x x x a a
b b
-++-+-++=++ 化简并变形得：()()333260x x
a b ab --++-=
要使上式对任意的x 成立，则30260a b ab -=-=且 解得：11{
{ 33a a b b ==-==-或，因为()f x 的定义域是R ，所以1
{ 3
a b =-=-舍去
所以1,3a b ==，所以()131
33
x x f x +-+=+
①()1
3112133331x x x f x +-+⎛⎫
==-+ ⎪++⎝⎭
对任意1212,,x x R x x ∈<有：
()()()()
21
12
12121222333313133131
x x x x x x f x f x ⎛⎫-⎛⎫
⎪-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝
⎭
因为12x x <，所以21330x x
->，所以()()12f x f x >，
因此()f x 在R 上递减．
因为()()
2222f t t f t k -<-，所以2222t t t k ->-， 即220t t k +-<在
时有解
所以440t ∆=+>，解得：1t >-， 所以的取值范围为()1,-+∞
②因为()()()
12333x x
f x
g x -⎡⎤⋅+=-⎣⎦，所以()()
3323x x g x f x --=-
即()33x
x g x -=+
所以()(
)
2
22233
33
2x
x
x x
g x --=+=+-
不等式()()211g x m g x ≥⋅-恒成立， 即()
()
2
3323311x x
x x m --+-≥⋅+-，
即：9
3333
x x
x x
m --≤++
+恒成立 令33,2x x t t -=+≥，则9
m t t
≤+在2t ≥时恒成立
令()9h t t t =+，()29
'1h t t
=-，
()2,3t ∈时，()'0h t <，所以()h t 在()2,3上单调递减
()3,t ∈+∞时，()'0h t >，所以()h t 在()3,+∞上单调递增
所以()()min 36h t h ==，所以6m ≤ 所以，实数m 的最大值为6
考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题
【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。

24．【答案】
【解析】
【分析】（I ）设圆心C （a ，a ），半径为r ，利用|AC|=|BC|=r ，建立方程，从而可求圆C 的方程；
（II）方法一：利用向量的数量积公式，求得∠POQ=120°，计算圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离，即可求得实数k的值；
方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程代入圆的方程，利用韦达定理及=x1•x2+y1•y2=，即可求得k的值；
（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，求得，根据垂径定理和勾股定理得到，
，再利用基本不等式，可求四边形PMQN面积的最大值；
方法二：当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，可求面积S；当直线l的斜率k≠0时，设，
则，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0，求得|PQ|，|MN|，再利用基本不等式，可求四边形PMQN
面积的最大值．
【解答】解：（I）设圆心C（a，a），半径为r．
因为圆经过点A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r，
所以
解得a=0，r=2，…（2分）
所以圆C的方程是x2+y2=4．…（4分）
（II）方法一：因为，…（6分）
所以，∠POQ=120°，…（7分）
所以圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1，…（8分）
又，所以k=0．…（9分）
方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
因为，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0．…（6分）
由题意得：…（7分）
因为=x1•x2+y1•y2=﹣2，
又，
所以x1•x2+y1•y2=，…（8分）
化简得：﹣5k2﹣3+3（k2+1）=0，
所以k2=0，即k=0．…（9分）
（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S．
因为直线l，l1都经过点（0，1），且l⊥l1，根据勾股定理，有，…（10分）
又根据垂径定理和勾股定理得到，，…（11分）而，即
…（13分）
当且仅当d1=d时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分）
方法二：设四边形PMQN的面积为S．
当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，此时．…（10分）
当直线l的斜率k≠0时，设
则，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0
所以
同理得到．…（11分）
=…（12分）
因为，
所以，…（13分）
当且仅当k=±1时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分）。