04-2转动定律(新).

i
2
为一个新的物理量
单位 ： Kg.m2
描述刚体在转动中转动惯性大小的量度 当物体几何形状、质量为规则 时，那么其转动惯量可写作： 当质量连续（可导）分布时：
J = mr
2
2 r = J dm
M = Jα
当以相同的力矩分别作用在 两个绕定轴转动的刚体时
★
转动惯量大的刚体获 得的角加速度小,角速度改 变得慢，保持原有转动状态 的惯性大。
1 2 3 4
能使它保持静止平衡？
20cm
B
m2
解：这类题目用力矩平
衡的方法就容易多了。
A
m1
m
· △
x
m3
m4
30cm
60cm
2kg 3kg 4kg 5kg
由的力矩定义
设：左端最小球处为A， 右端最大球处为B 并设：整个装置的支点△在 离细棒中心处为x 地方
画出各个小球的重力线：
M = r ×F
可列出下列方程
外力F 在转动平面内进行分 解，切向分力矩 F1 r1 sinθ 对转动效果有贡献。
1
z
r3
θ3
F2
θ2
·r
0
r2
1
同理：外力F .F 也能 进行矢量的分解，它 们的合外力矩为：
2 3
θ1
F3
－F1r1sin θ1
F1
M＝－F r sinθ ＋F r sinθ ＋F r sinθ
1 1
1
2 2
2
3
3
ω F1
0
M = r ×F M = r ×F
= r ×( F + F )
1 2
·
r
·
F2
= r×F + r×F
1
2
只能引起轴的变形，而对物体 的转动效应无贡献。 在定轴转动问题中，如不讨论轴上受力，所考虑的 力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。
如果多个外力同时作用在一个刚体上，（在此列 举三个外力）则它们的合外力矩情况如何呢？
合外力。使质点 运动状态改变。 质量。质点运动 惯性大小的量度
2
加速度。质 点运动速度 改变快慢的 一个物理量
v d r d a m m F= =m = dt dt
2
2
牛顿第二定律
ω =J d θ M =Ja = J d dt dt
合外力矩。使刚体 转动状态发生改变 转动惯量。刚体 转动惯性大小的 量度。三个要素
J = r dm
2
m σ =π r σ dm = 2 d r π R m m 2 r d r r d r =2 = π πR R m 2 r m d r r dr = J = R 1 mR 此结果作为经验 m 2 r = = 公式牢记！ 2 R 4
2
R
设单位面积的质量为σ（面密度）
0
2
2
2
R
2
m x dJ = dm = x L dx m J = dJ = x L d x 1 mL = 3
2
2 L 2 0 2
dm = m dx L
线密度：单位 长度的质量
此结果作为经验 公式牢记！
例题：求质量为m 、半径为R 的均质 圆盘绕oo ´轴旋转的转动惯量。
0
´
ω
r
m dr
解：根据转动惯量计算的定义
1 2
在一起。
L m
o
·
Mo R
·
细棒和圆盘构成了系统由转 动惯量的可加性，转动惯量 是两部分所组成。
o
·
圆盘
0.5L
m1
0.5L m2
∵
J ＝J ＋ J
0
细棒
圆盘
转动惯量的大小与转轴的 位置有关，有平行轴定理：
2
1 J ＝ 2 M R ＋M（L ＋R）
2
1 J ＝ mL 3
细棒
2
o
·
L m
1 J ＝ 2 M R ＋M（L ＋R） M R · J ＝ 1 mL 3 1 1 L m ＋ M R ＋M（L ＋R） J ＝ 2 3
12 21
F12 ´
θ1
F
12
F
21
它们之间内力矩情况是:
12 1 1 21 2
M＝ M － M
12 2
21
r sinθ = 0 F´ r sinθ －F ´
刚体各质点之间的作用力 对转轴的合内力矩等于零
M＝ Σ M i ＝0
例题：有一根均匀质量为m＝6kg 的细棒长度是60cm等距 离的穿有四个小球，它们的质量分别为m ＝2kg、m ＝3kg、 m ＝4kg、m ＝5kg。问：支撑在这个装置中的哪一点上，才
例题： 在图示的装置中滑轮可视作均质圆盘其半径 为r、质量为m 、滑轮两边悬挂重物质量分别为m 、m 试求 ：重物的加速度及绳子的张力。
1
2
m
·
r
o
已知：m ＞m 绳子紧绷、滑轮 轴心等摩擦力不计
n
M = r F sin θ
1. 力在转动平面内： ω F sin θ
0
力矩的方向判断
右手螺旋前进法则 F F cos θ
·
r
M
F r
·
θ
力矩的量值
M = r F sin θ
力矩量值的一般书写：
力矩的矢量式：
M = r ×F M = r F sin （r、 F）
2. 力不在转动平面内:
F
力矩的矢量式
转动定律 law of running 力矩 Moment of force 转动惯量 Moment of inertia
日常生活经验告诉我们：开关门的时候，门转动得快慢，不 仅与作用力的大小有关，还和力的作用点到门轴的距离有关 ，并且与力的方向有关。表征力对物体转动运动的作用称为 力矩。描述物体转动运动中力矩转动惯性以及角加速度的关 系规律：转动定律（体现转动物体转动的牛顿第二定律）
法向分力是沿着矢径方向的 因此对刚体的转动效应无贡献 法向分力：
·
0
·
θi
ji
Fi
0
对切向分力进行数学处理：两边×
ri
ri f i sinθ i + ri F i sin j i = △ m i a i t ri
Σr f i sinθ i + Σr Fi sin j i =Σ △ m i a i t r
2
外力矩之和
Jα
M = Jα
Jα
上式就是描述定轴转动的刚体，外力矩和角 加速度之间关系的: 转动定律
Σ
△m i ri 为一个新的物理量
2
转动惯量 J
转动定律的物理意义
M = Jα
刚体在绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受 的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。 三.
转动惯量 J：
Σ △m i r
i i
i
内力矩相互抵 消内力矩为0
外力矩之和
M
Jα
Σ r f i sinθ i +Σr Fi sin j i = Σ △ m i a i t r
i i
i
内力矩相互抵 消内力矩为0
a = rα M Σ ri f i sinθ i +Σ ri Fi sin j i = Σ △ m i a i t ri = Σ △ m i ri α
点支△应设在离A 端35cm处 才能使该装置静止平衡。
二. 转动定律 研究刚体受外力矩作用时，外力矩与角加速度 之间的关系：刚体转动中的牛顿第二定律。
Fi 内力 fi 对△mi 质点进行
外力 受力分析并应用 牛顿第二定律有： 切向分力： 法向分力：
0
´ω
fi ri mi △
·
0
·j
θi
Fi
i
0
f i sinθ i + F i sin j i = △ m i a i t - f i cosθi - F i cosj i = △ m i r iω
2
2
4
4
4
2
4
－
2 5 1 σ j j cos r sin = － sinj cosj ＋ 3 j 3 8 4 8 1 mr 2 3 = σr π= 3 4 8
4
3
2
π
2
－
π
2
4
2
例题：计算刚体对垂直于纸面的0 轴的转动惯量（1）半径为R 、质量为M 的均匀圆盘，连接一根长为L、质量为m 的均匀细 棒（2）两根细棒长度分别为0.5L、质量分别为m 、m ，连接
2 2 圆盘
o
2
细棒
2
2
2
0
o
·
0.5L
m1
0.5L m2
2
同理：
J ＝J ＋ J
0
杆1
杆2
L 1 m （ ） J ＝ 3 2
杆1
1
L L 1 L ＋m（ ＋ ） J ＝ m（ ） 4 2 2 12
2
2 杆2
2
2
J ＝J ＋ J
0
杆1
杆2
1 m L＋ 7 m L ＝ 12 12
2
1 2
2
转动定律和牛顿第二定律对照
ω
转轴的位置不同， 转动惯量J 也不同。
几种有规则刚体的转动惯量
圆筒
r1
ω
r2
圆环
ω
r
1 m( r + r ) 2
2 2 1 2
1 mr 2
ω
2
2
ω
实心球体
r
2
球壳
2 mr 5
2 mr 3
r