《整式的加减》word教案 (公开课获奖)2022冀教版 (1)

整式的加减
教学过程： （一）代数式：
1. 本节重点共两部分，一是对给出的一个具体的代数式，能准确表达出它的数学意义，二是列代数式，即将基本数量关系的语言用代数式来表示。

本节是关于代数的初步知识，在复习中注意以下几点： （1）代数式是什么，并注意和公式、等式区别开来。

（2）一个具体的代数式，能准确用语言表达其意义，并能把简单的与数量有关的词语化为代数式的形式。

（3）会用具体数值代替代数式中的字母，按其代数式指明的运算顺序进行计算。

（4）公式都是由代数式组成的。

2. 例题分析：
例1. 说出下列各组代数式的意义有什么不同： （1）2(a+b)，2a+b ，a+2b
（），，22122
22
222
a b a b a b ---()()
解：（1）2(a+b)是a 与b 的和的2倍。

2a+b 是a 的2倍与b 的和。

a+2b 是a 与b 的2倍的和。

（）是与的一半的差。

22
22
22
a b a b -
12
2
2()a b a b -是与两数平方差的一半。

()a b a b -2
2
是与的差的一半的平方。

注意：用语言表达一个代数式的意义，具体说法上没有统一的规定，只要能正确表达即可。

比如2a+b ，可以说是a 的2倍与b 的和，也可以说是2a 与b 的和。

例2. 用代数式表示：
（1）甲数与乙数平方的和； （2）甲、乙两数的平方差； （3）甲数与乙数的差的平方。

解：设甲数为x ，乙数为y （）（）（）1232222x y x y x y +--()
例3. 某校大礼堂第一排有座位x 个，后面每排比前一排多2个座位，求第n 排的座位数。

若该礼堂一共有20排座位，且第一排的座位数也是20个，请您计算该礼堂共有多少座位？ 分析：找到座位的规律：
第一排：个
第二排：个第三排：个
第四排：个
第五排：个第排：个
x x x x x n x n +++++-⨯246812
()
解：由分析可得第n 排的座位数：x+2(n-1)
第一排有20个座位，共有20排，即a=20，n=20 所以，最后一排座位数：个20220158+⨯-=()() 求整个礼堂中的座位数即做加法： 2022245658+++++……
=++++++()()()205822563840……
=⨯=7810780
例4. 某地出租汽车收费标准：起步价10元，可乘3千米，3千米到5千米，每千米1.8元，5千米以后，每千米是2.7元。

若某人乘坐了x(x>5)千米的路程，请写出他应该支付的费用。

若他支付的费用是19元，请你算出他乘坐的路程。

解：题目中给出他乘坐的路程是超过5千米的，因而前面5千米的费用是固定的，只要能算出后面的费用即可。

前面5km 又分成两部分：3千米和2千米
前面3千米的费用是10元，紧接着的2千米是3.6元 所以前面5千米共花13.6元
5千米以后则就是每千米花2.7元，而后面的距离是(x-5)千米 因而总费用=13.6+(x-5)×2.7 已知支付的费用是19元，则
19136527=+-⨯.().x x =7千米
注意：列代数式的关键是：一是抓住关键性的词语，如“增加”、“减少”等，或者是
规律性的内容，如“后面一排都比前面一排多2个座位”，二是要理清运算顺序，如“和的
积”与“积的和”运算顺序是不同的。

如a 2+b 2与(a+b)2
，前者是平方和，后者是和的平方。

5. x =12例若，，求的值。

y x xy y x xy y =++-+132
2
解：将，代入代数式中x y =
=121
3
得：
1212131312121313121
6191216
19932
1893218
7422+⨯+-⨯+=++-+=++-+=()
()
注意：在求值过程中，代数式中的运算符号和顺序不能改变，在求值过程中，代数式中字母所代的值应是使代数式有意义的值，如速度、时间、体积、面积均为正值，而在形
如的式子中，，才能使有实际意义。

a b b a
b ≠0
（二）整式的加减： 1. 知识点简要回顾
（1）单项式指的是数与字母积的形式的代数式，即对字母来说只含有乘法运算，因
此的形式就不是单项式，但这种就是单项式，因为它的分母中不含有字母，只是a b a 21
2它的系数。

注意：单独的一个数或单独的一个字母也叫单项式。

单项式中的数字因为叫做单项式的系数，而单项式中的所有字母的指数之和则称之为
单项式的次数。

如-3x 3y 2
中，-3是系数，其次数是5。

（2）多项式指的是几个单项式的和，在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，一个多项式含有几项，就叫几项式。

多项式里，次数最高
项的次数，就是这个多项式的次数。

如是二次三项式，2x +3x -12---+12
323
32
x x x 是三次四项式。

（3）单项式、多项式、整式、代数式之间的联系和区别： 几个单项式的和组成多项式，单项式和多项式统称为整式。

整式是代数式，但代数式不一定是整式，判断一个代数式是否是整式，就主要看代数式的分母中是否有字母。

（4）多项式的排列方式：
降幂排列：一个多项式中，按照一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做按照这个字母的降幂排列。

升幂排列：一个多项式中，按照一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做按照这个字母的升幂排列。

例1. 指出下列多项式的次数与项数：
（）
（）1213222222
xy a a b ab b -++-
解：（1）是二次二项式。

（2）是三次四项式。

2. 3x 3例将重新排列。

y y x xy -++22354 （1）按x 降幂排列。

（2）按y 升幂排列。

解：（）按降幂排列：13543232
x x yx x yy ++-
（）按升幂排列：25342323y x x y y xy +-+
（5）同类项与合并同类项：
同类项与合并同类项是整式中非常重要的两个概念。

同类项是指字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫同类项。

同类项的定义规定判断同类项的两条标准：一是字母相同，二是相同字母的指数也分别相同，二者缺一不可。

合并同类项是指把同类项合并成一项，合并同类项的方法是把同类项的系数相加，而字母和相同字母的指数都不变。

例合并同类项：3. 11x -5+9x +1-3x 2
-3x
解：11x -5+9x +1-3x 2-=-+-331742x x x 在多项式中只有同类项可合并，不是同类项不可合并。

有人对合并的结果不是一个单项
式感到不习惯，如犯的错误有：2a+3b=5ab ，5ab-3ab=2，2x 2+3x 2=5x 5
等，产生错误的根源就是没有掌握合并同类项的要点：“系数相加”、“字母和字母的指数不变”。

例4. 将a 、b 看成常数，x 、y 看成字母，合并同类项： （）123432ax by ax by ax +-+- （）23232222ax by ax by --+
解：这里将a 、b 看成常数，因而可合并如下： （）123432ax by ax by ax +-+- =--++()()24233a a a x b b y =-+46ax by
（）23232222ax by ax by --+ =-+-+()()32322a a x b b y =+ax by 222
5. 例合并同类项：x x x x x x n n n n n n -+--+++++2231221
解：这里的指数全都是含有字母，但观察同类项只要指数相同即可，不论是数字还是字母都可以。

x x x x x x n n n n n n -+--+++++2231221 =-+-++-++()()()13211212x x x n n n =-+--++2112x x x n n n ()
（6）整式的加减：
整式的加减实际上是对整式实施两个重要的恒等变形：一是合并同类项；另一个是添括号和去括号，整式的恒等变形是整个教学中恒等变形的基础。

整式的加减应该注意以下几个问题：一是观察，就是把同类项看清楚，当项数较多时，可作上记号；二是运用交换律时把项的符号“带走”；三是运用分配律时，符号要分配到每一项，不能漏项，同时要注意项的系数的符号；四是对运算结果要作处理，应该以某一字母作降幂或升幂排列。

6. 15a 2例化简--+-[()]47822a a a 解：15a 2--+-[]47822a a a
=+-+15478222a a a a =-2772a a
7. A =13例已知：，，当时，求的值。

x x B x x x A B 225311
3
33-+=+-=-()
解：3393()A B A B -=-
=⨯-+-⨯+-91
3
533122()()x x x x
=-+--+394539322x x x x
=-+1848x
当时，x x =-+=-⨯+=-+=131848181
3
4864842
例一个多项式减去得，求这个多项式。

8214
22
.x x y x y y +-+ 解：()()x x y x y y 2
2214++-+=-+x x y y 2214
例化简：911.||||x x -++ 解： |x-1|=0时，x=1 |x+1|=0时，x=-1 所以需分如下三种情况：
（）当时，原式11112x x x x ≤-=---=- （）当时，原式211112-≤≤=-++=x x x （）当时，原式31112x x x x >=-++= 说明：一般……a a a a n
123<<<< ||||||||||,,x a x a x a x a x a i n n i -+-+-++--==1230123……的化简，分别令（…） 把的取值范围分成：，，……，这部分，x x a a x a a x a x a n n n n
≤<≤<≤>+-11211 然后分别讨论在这n+1个部分上的符号，从而将绝对值去掉，达到化简的目的。

例若代数式的值与字母的取值无关，求代
数式的值。

10262351324222222.()()()()x ax y bx x y x a ab b a ab b +-+--+----++ 分析：若代数式的值与无关，若将看作字
()()26235122x ax y bx x y x x +-+--+-母，则含字母x 的项的系数应该为0，以此为据，求得后面代数式的值。

解：()()26235122x ax y bx x y +----+- =-++--()()223652b x a x y 要使其值与x 无关，则
2-2b =0 a +3=0 b =1a =-3⎧⎨⎩⎧⎨
⎩
∴---++3242222()()a ab b a ab b =---a ab b 2274
=---⨯-⨯-⨯()()37314122 =-+-9214 =8
本课小结：
1. 本节课主要回忆了一些基本的概念，如同类项等。

2. 合并同类项是本次课的重点内容，须强化掌握。

3. 其间有一些特殊的解题方法需同学们认真掌握。

【模拟试题】 一. 填空：
1. 单项式
121
2
xy xy 与-的差是____________。

2. 多项式45232722x x x x +--+与多项式的差是____________。

3. 若127
3
32x y x y m n 与是同类项，则m=________，n=________。

二. 化简、求值：
1. x x x x x 32324254-+--++，其中x=2
2. ()()()455235623
222x x x x x x -+---+=-，其中 3. 23431
5
02x y y x y x y --+--=
=-{[()]}.，其中， 三. 计算：
1. 已知A x x B x x =-=-+3225116，。

求：（1）A+B （2）A-B （3）B-A 。

2. 求证：不论x 、y 取任何有理数，多项式
()()()x x y xy y y xy x y x x x y xy y 3223322332233241224358+-+++-+-++-+--的值恒等于一个常数，并求出这个常数。

【试题答案】 一. 1. xy
2. x x 279+-
3. m n ==23，
二.
1. 化简后：--+=-x x x x 322624，代入得值为
2. 化简后：--=--x x 2123149
，代入得值为 3. 化简后：x y x y +==--21
5
0202，代入，得值为.. 三. 计算
1. （1）x x x 324116--+ （2）x x x 326116-+-
（3）-+-+x x x 326116 2. 化简多项式
()()()x x y xy y y xy x y x x x y xy y 3223322332233241224358+-+++-+-++-+-- 得结果-5
因而可以肯定其值恒等于一个常数，且这个常数为-5
有理数的乘法和除法
教学目标：
1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法则，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。

2、通过实例，探究出有理数除法法则。

会把有理数除法转化为有理数乘法，培养学生的化归思想。

重点：有理数除法法则的运用及倒数的概念
难点：怎样根据不同的情况来选取适当的方法求商，0不能作除数以及0没有倒数的理解。

教学过程：
一、创设情景，导入新课 1、有理数乘法法则
两数相乘，同号得正,异号得负，并把绝对值相乘.
几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。

有一个因数是0，积就为0. 2、有理数乘法运算律：
a ×
b = b ×a (a ×b )×
c = a ×(b ×c ). a ×(b+c )=a × b + a ×c 3、计算（分组练习，然后交流）（见ppt ） 二、合作交流，解读探究
1、（1）6个同样大小的苹果平均分给3个小孩，每个小孩分到几个苹果？
（2）怎样计算下列各式？（－6）÷3 6÷（－3） （－6）÷（－3） 学生：独立思考后，再将结果与同桌交流。

教师：引导学生回顾小学知识，根据除法是乘法的逆运算完成上例，要求6÷3即要求3×？＝6，由3×2＝6可知6÷3＝2。

同理（－6）÷3＝－2，6÷（－3）＝－2，（－6）÷（－3）＝2。

根据以上运算，你能发现什么规律？对于两个有理数a,b ，其中b ≠0，如果有一个有理数c 使得c ×b=a ，那么我们规定a ÷b=c ，称c 叫做a 除以b 的商。

2、从有理数的除法是通过乘法来规定，引导学生对比乘法法则，自己总结有理数除法法则，经讨论后，板书有理数除法法则。

同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并且把它们的绝对值相除。

0除以以何一个为等于0的数都得0
教师指出：为了使商存在且唯一，要求除数不等于0，即0不能作除数。

三、应用迁移，巩固提高 例1 计算
（1） （－24）÷4 （2）（－18）÷（－9） （3） 10÷（－5） 引导学生按照有理数除法法则进行计算，既先确定商的符号，再计算绝对值。

请四位同学到黑板做，完成后，师生共同订正。

四、合作交流，解读探究
1、小学里学过有关倒数的概念是什么？怎么求一个数的倒数？（用1除以这个数） 4和+3
2
的倒数是多少？0有倒数吗？为什么没有？
2、小学里学过的除法与乘法有何关系？例如10÷0.5=10×2；0÷5=0×（5
1
），你能总结总结出一句话吗？（除以一个数等于乘以这个数的倒数） 我们已经知道 10÷（-5）= -2 ，又 10×（-5
1
）=-2 所以就有：10 ÷（-5）=10×（-
5
1） 引入倒数的概念。

如果两个数的乘积等于1，那么把其中一个数叫做另一个数的倒数，也称这两个数互为倒数。

这里(-5)×(-
51 )=1，我们把-5
1
叫作-5的倒数。

3、5÷0=？，0÷0=？呢？（这些式子无意义）也就是说0是没有倒数的。

提问：（1）以上两组数的计算结果怎样？（2）5与
51
，52-与2
5-是一对什么数？ 由上面的计算，你能得出什么结论？除以一个非零数等于乘上这个数的倒数。

上述结论称之为有理数除法的第二个法则。

例2（1）写出9，3
2
-
，87 ，-1，1，-241的倒数。

（2）计算：(1) (-12)÷3
1
；
(2) 15÷(-73) (3) (-152)÷(-3
2
)
3、课堂练习：P36练习第1、2、3题
四、总结反思
（1）有理数的除法法则是什么？
（2）如何运用除法法则进行有理数的除法运算？ 五、作业：P41习题1.5A 组第6、7、8题。