山东省部分学校2023-2024学年高三下学期4月金科大联考(二模)数学试题 (1)

82
分以上的考生的频率约为
0.025 10
90 90
82 80
0.005
10
0.25
，
所以获得 A 的考生人数约为 200 0.25 50 人，
故选：C.
4．C
【分析】根据双曲线方程求出渐近线，解得 m 的值，从而求得右焦点到直线 l 的距离即可.
【详解】双曲线 C : x2 y2 1(m 0) 的渐近线方程为 y m 2 x ，
6
3
36
即 sin ( x π ) sin( x π π ) sin[π ( x π 5π )] sin ( x π 5π ) 对任意实数 x 恒成立，
6
6
6
6
因此 π 5π π 2kπ, k Z ，解得 2k 2 , k Z ，而 0 ，则 k Z, k 0 ，
66
点 C 1, 2 到直线 l : x my m 2 0 的距离为 d m 3 ，
1 m2
从而 d 2
r2
m 32
1 m2
5
4m2 6m 4 1 m2
2
m 2 2m 1
1 m2
，
取 m 2 ，则此时有 d r ，故 B 错误；
对于 C，当直线 l 平分圆 C 时，有点 C 1, 2 在直线 l : x my m 2 0 上，
6
3
g(x) sin[(x π ) π ] sin( x π π ) ，
36
36
函数 y g(x) 的图象与 y f (x) 的图象关于直线 x π 对称，则 f (x) g( 2π x) ，
3
3
于是 sin ( x π ) sin[( 2π x) π π ] 对任意实数 x 恒成立，
A．直线 l 恒过定点 2,1
B．直线 l 与圆 C 相交
C．当直线 l 平分圆 C 时， m 3
D．当点
C
到直线
l
距离最大值时，
m
1 3
10．将正四棱锥 P ABCD 和正四棱锥 Q ABCD 的底面重合组成八面体 Ω, AB PA 2,QA 10 ，则（ ）
A． PQ 平面 ABCD
与坐标原点的距离为 11，则质点移动的方法总数有
种．
14．三棱锥 P ABC 中，ABC 和 PBC 均为边长为 2 的等边三角形，D, E 分别在棱 PB, AC 上，且 PD AE , DE PB AC
平面 , AP// 平面 ，若 PA 3 ，则平面 与三棱锥 P ABC 的交线围成的面积最大值为
为（ ）
A．2
B． 3
C． 3 1
D．4
5．设等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 a5 a8 30, S10 120 ，则 S14 （ ）
A．156
B．252
C．192
D．200
6．在 ABC 中，设内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，设甲： b c a(cosC cosB) ，设乙： ABC 是直角三角形，
即 sin( A C) sin( A B) sin A(cosC cosB) ，整理得 cos Asin C cos Asin B 0 ，
由正弦定理得 c cos A b cos A 0 ，则 cos A 0 或 b c ，即 A π 或 b c ， 2
因此甲： A π 或 b c ，显然甲不能推乙； 2
B． PA / /QC
C． Ω 的体积为 4 2
D．二面角 P AB Q 的余弦值为 1 3
11．已知抛物线 E : y2 2 px( p 0)焦点为 F ，过点 M 2, 0 （不与点 F 重合）的直线交 E 于 P,Q 两点，O 为坐标
原点，直线 PF ,QF 分别交 E 于 A, B 两点， POQ 90 ，则（ ）
3
所以当
k
0
时，
取得最小值
2 3
.
故选：A
8．C
【分析】根据 f x f 2 x 4x 4 进行 f x 奇偶性和周期性的推导，得到 f x 是周期为 4 的偶函数，从而
算出 f 2023 的值.
【详解】因为 f x f 2 x 4x 4 ，所以两边求导，得 f (x) f (2 x) 4 ，
A． p 1 C． FP FQ 的最小值为 25
4
B．直线
AB
过定点
1 4
,
0
D． PA QB 的最小值为 25 4
三、填空题
12．在平面直角坐标系中，角 的始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过点
3, 2
，则
sin
π 3
．
13．在数轴上，一个质点从坐标原点出发向 x 轴正半轴移动，每次移动 1 或者 2 个单位长度，若质点移动 7 次后
m m2
m
因为直线 l : y 3x 2m 与双曲线 C 的一条渐近线平行，
所以 m 2 3 ，解得 m 1，所以双曲线 C 的右焦点坐标为 (2,0) ， m
所以 C 的右焦点到直线 l 的距离为 | 2 3 2 | 3 1. 31
故选：C.
5．B
【分析】根据给定条件，求出等差数列an公差d ，再利用性质求出 S14 .
则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．已知函数 f (x) sin( x π )( 0) ，若将 f (x) 的图象向左平移 π 个单位后所得的函数图象与曲线 y f (x) 关
6
3
于 x π 对称，则 的最小值为（ ）
18．记 Sn 为数列an的前 n 项和， a2
1 4
,
Sn
1 2n
ancosn
．
(1)求 a3 和an 的通项公式；
(2)设数列
1 an
的前
n
项和为
Tn
，证明：
1 8
1 8
1 4n
n1 T k 1 2k
1 6
．
19．已知椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的离心率为
1 2
，设 C 的右焦点为 F
，左顶点为 A
，过 F
的直线与 C 于 D, E
两点，当直线 DE 垂直于 x 轴时，V ADE 的面积为 9 ． 2
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)连接 AD 和 AE 分别交圆 (x 1)2 y 2 1 于 M , N 两点．
（ⅰ）当直线
DE
斜率存在时，设直线
DE
的斜率为
k1
，直线 MN
乙： ABC 是直角三角形，当角 B 或 C 是直角时，乙不能推甲，
所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.
故选：D
7．A
【分析】求出函数 f (x) 的图象平移后所得函数的解析式，再利用对称列式计算即得.
【详解】函数 f (x) sin( x π ) ， f (x) 的图象向左平移 π 个单位后所得函数
2d
36
，所以
S14
14(a1 2
a14 )
7(a6
a9 )
252
.
故选：B
6．D
【分析】利用正弦定理定理、和角的正弦公式化简命题甲，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】在 ABC 中，由正弦定理及 b c a(cosC cosB) ，得 sin B sin C sin A(cosC cosB) ，
即 f (x) f (2 x) 4 ①
答案第 2页，共 13页
因为 f x 为定义在 R 上的奇函数，则 f (x) f (x) ，
所以两边求导，得 f (x) f (x) ，所以 f (x) 是定义在 R 上的偶函数， 所以 f (2 x) f (x 2) ，结合①式可得， f (x) f (x 2) 4 ， 所以 f (x 2) f (x 4) 4 ，两式相减得， f (x) f (x 4) ， 所以 f (x) 是周期为 4 的偶函数， 所以 f (2023) f (1) f (1) . 由①式，令 x 1，得 f (1) 2 ，所以 f (2023) f (1)=2 . 故选：C. 9．ACD 【分析】对于 A，将直线方程变形即可进一步判断；对于 B，举反例即可判断；对于 C，将圆心坐标代入直线方 程即可验算参数 m ；对于 D，当点 C 到直线 l 距离最大值时，有 PC l ，结合它们的斜率关系即可判断.
C． 0, 2
D．
0,
3 2
A．2
B．1
C． 5
D．5
3．某校高三共有 200 人参加体育测试，根据规则，82 分以上的考生成绩等级为 A ，则估计获得 A 的考生人数约 为（ ）
A．100
B．75
C．50
D．25
4．已知直线 l : y 3x 2m 与双曲线 C : x2 y2 1(m 0) 的一条渐近线平行，则 C 的右焦点到直线 l 的距离 m m2
16．甲同学参加学校的答题闯关游戏，游戏共分为两轮，第一轮为初试，共有 5 道题，已知这 5 道题中甲同学只
能答对其中 3 道，从这 5 道题目中随机抽取 3 道题供参赛者作答，答对其中两题及以上即视为通过初试；第二轮
为复试，共有
2
道题目，甲同学答对其中每道题的概率均为
1 2
，两轮中每道题目答对得
6
【详解】等差数列 an 中，
S10
120
，得 10(a1 2
a10 )
120 ，则
a5
a6
a1
a10
24 ，
设数列an公差为d ，而 a5 a8 30 ，因此 2d a8 a6 a5 a8 (a5 a6 ) 6 ，解得 d 3，
答案第 1页，共 13页
则
a6
a9
a5
a8
分，答错得
0
分，两轮
总分不低于 24 分即可晋级决赛．
(1)求甲通过初试的概率；
(2)求甲晋级决赛的概率，并在甲晋级决赛的情况下，记随机变量 X 为甲的得分成绩，求 X 的数学期望．
17．已知函数 f x a2xex x lnx ．
(1)当 a 1 时，求 f x 的单调区间；
e
(2)当 a 0 时， f x 2 a ，求 a 的取值范围．
的斜率为
k2
，求
k1 k2
；
（ⅱ）设 V
ADE
的面积为
S1,△AMN
的面积为
S2
，求
S1 S2
的最大值．
试卷第 3页，共 3页
1．B
参考答案：
【分析】先化简集合 A ，再利用交集运算求解.
【详解】由 ln x 1 0 ln1可得 A x 1 x 2，
所以
A
B
1,
3 2
.
故选：B
2．D
【详解】对于 A，l : x my m 2 0 即 x 2 m y 1 0 ，令 y 1 0 ，有 y 1, x 2 ，所以直线 l 恒过定
点 P 2,1 ，故 A 正确；
对于 B，圆 C : ( x 1)2 ( y 2)2 5 的圆心、半径为 C 1, 2, r 5 ，
3
A．
2 3
B． 1 3
C．1
D．
1 2
试卷第 1页，共 3页
8．已知 f x 为定义在 R 上的奇函数，设 f x 为 f x 的导函数，若 f x f 2 x 4x 4 ，则 f 2023 （ ）
A．1
B． 2023
C．2
D．2023
二、多选题 9．已知直线 l : x my m 2 0 ，圆 C : ( x 1)2 ( y 2)2 5 ，则下列说法正确的是（ ）
山东省部分学校 2023-2024 学年高三下学期 4 月金科大联考（二模）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合
A
x
ln
x
1
0
,
B
x
1
x
3
，则
A
B
（
）
2
A． 0, 2
B．
1,
3 2
2．若 zi z 1 3i ，则 zz （ ）
．
四、解答题 15．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形， AB AD, AD∥BC , 2AB 2BC AD 2 ，
PA PD 2 ．
试卷第 2页，共 3页
(1)证明： AD PC ；
(2)若 PC 2 ，设 M 为 PC 的中点，求 PB 与平面 AMD 所成角的正弦值．
【分析】根据复数的四则运算得到 z ，再计算 z z 即可.
【详解】因为
Hale Waihona Puke ziz13i
，所以
z
1 3i 1+i
(1 3i)(1 i) (1 i)(1 i)
2+i
，
所以 z 2 i ，所以 zz 5 .
故选：D.
3．C
【分析】首先计算出 82 分以上的考生的频率，即可得获得 A 的考生人数.
【详解】由频率分布直方图可得
也就是说有1 2m m 2 0 成立，解得 m 3 ，故 C 正确；
对于 D，点 C 到直线 l 距离满足 d PC ，等号成立当且仅当 PC l ，
而
PC
的斜率为
k1
2 1
1 2
1 3