山东省泰安第一中学平面向量及其应用试题及答案doc

一、多选题
1．下列说法中错误的为（ ）
A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a
D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 2．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤
B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =
C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向
D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
3．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（ ）
A ．1122
AE AB AC →
→→=+
B ．2AB EF →→
=
C ．1133
CP CA CB →→→
=+
D ．2233
CP CA CB →
→→
=+
4．下列结论正确的是（ ）
A ．在ABC 中，若A
B >，则sin sin A B >
B ．在锐角三角形AB
C 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形
D ．在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S = 5．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，
E 分别是AC 、AB 上的两点，且
AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）
A ．1A
B CE ⋅=- B ．0OE O
C +=
C ．32
OA OB OC ++=
D ．ED 在BC 方向上的投影为
76
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ）
A ．8+33
B ．83161+
C ．8﹣33
D ．83161-
7．下列各式中，结果为零向量的是（ ） A ．AB MB BO OM +++ B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++ D ．AB AC BD CD -+-
8．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，
则（ ）
A ．12AF AD A
B =+
B ．1()2EF AD AB =+
C ．21
33
AG AD AB =- D ．3BG GD =
9．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（ ）
A ．若a b >，则sin sin A
B >
B ．若sin 2sin 2A B =，则AB
C 是等腰三角形
C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形
D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形
10．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（ ） A ．a b ⊥
B ．2a b +=
C ．2a b -=
D ．,60a b =︒
11．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．()10,0e =，()21,1=e B ．()11,2e =，()22,1e =-
C ．()13,4e =-，234,55⎛⎫=-
⎪⎝⎭
e D ．()12,6=e ，()21,3=--e
12．设a 为非零向量，下列有关向量
||
a
a 的描述正确的是（ ） A ．|
|1||
a a =
B ．
//||
a a a
C ．
||
a a a =
D ．
||||
a a a a ⋅=
13．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ） A ．AB BC =
B ．AB B
C =
C ．AB C
D AD BC -=+ D ．AD CD CD CB +=-
14．已知ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足,3
B a c π
=+=,则
a
c
=( ) A ．2 B ．3 C ．
12
D ．
1
3
15．题目文件丢失！
二、平面向量及其应用选择题
16．已知向量(2
2cos m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数
()y f x =的性质的描述正确的是( )
A ．关于直线12
x π
=对称
B ．关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C ．周期为2π
D ．()y f x =在,03π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上是增函数 17．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若
lg lg lg sin a c B -==-，且0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则ABC 的形状是（ ）
A ．等边三角形
B ．锐角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若
2a =，ABC 的面积为1)，则b c +=（ ）
A ．5
B ．
C ．4
D ．16
19．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若
sin cos sin a b c
A B B
===ABC ∆的面积为（ ）
A ．2
B ．4
C
D ．20．已知,a b 是两个单位向量，则下列等式一定成立的是( ) A ．0a b -=
B ．1a b ⋅=
C ．a b =
D ．0a b ⋅=
21．a ，b 为单位向量，且27a b +=，则向量a ，b 夹角为（ ）
A ．30
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
22．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ）
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰或直角三角形
23．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与
AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）
A ．62-
B
．
1
(62)2
- C ．62+ D ．
1
(62)2
+ 24．已知非零向量AB 与AC 满足
0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪
⎝⎭
且1
2AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形
D ．以上均有可能
25．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222sin sin sin 0A B C +-=，
2220a c b ac +--=，2c =，则a =（ ）
A ．3
B ．1
C ．
1
2
D ．
3
26．题目文件丢失！
27．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若
(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ⋅等于（ ）
A ．316
- B ．
316 C ．
12
D ．12
-
28．ABC ∆中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
29．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3
C π
∠=
，且
sin sin()2sin 2C B A A +-=，则有如下四个结论：
①2a b =
②ABC ∆
③ABC ∆的周长为4+
④ABC ∆外接圆半径3
R =
这四个结论中一定成立的个数是（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
30．在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ∆的外心，若
AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）
A ．
34
B ．
53
C ．
73
D ．
83
31．在ABC ∆中，2,2,120,,AC AB BAC AE AB AF AC λμ==∠===，M 为线段EF 的中点，若1AM =，则λμ+的最大值为（ ）
A ．
3
B ．
3
C ．2
D 32．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()2
26,c a b =-+3
C π
=
，则
ABC 的面积为（ ）
A ．6
B C ．D 33．ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，
30B ∠=︒，ABC 的面积为
3
2
，那么b 等于（ ）
A ．
12
B ．1
C ．
22
+ D ．2
34．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2a
B c
=，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
35．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若
()2
2S a b c +=+，则cos A 等于（ ）
A ．
45
B ．45
-
C ．
1517
D ．1517
-
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、多选题 1．ACD 【分析】
由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】
对于A ，∵，，与的夹角为锐角， ∴ ，
且(时与的夹角为0)， 所以且，故A 错误； 对于B 解析：ACD 【分析】
由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】
对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++
142350λλλ=+++=+>，
且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以5
3
λ>-
且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；
对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则2
2
3()||||2
a a
b a a b a ⋅+=+⋅=
， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，
故2
3||()32cos ,2
||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===
+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD
【点睛】
本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.
2．AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】
对于A ，由平面向量数量积定义可知
解析：AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】
对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，
对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，
对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即
22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，
则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53
λ>-
， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时5
3
λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】
本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.
3．AC 【分析】
由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图：
根据三角形中线性质和平行四边形法则知， , A 是正确的；
因为EF 是中位线，所以B 是正确的； 根据三角形重心
解析：AC 【分析】
由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图：
根据三角形中线性质和平行四边形法则知，
111()()222
AE AB BE AB BC AB AC AB AC AB →
→
→
→
→→→→→
→=+=+=+-=+, A 是正确的；
因为EF 是中位线，所以B 是正确的； 根据三角形重心性质知，CP =2PG ，所以22113323CP CG CA CB CA CB →
→→→→→⎛⎫⎛⎫
==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以C 是正确的，D 错误. 故选：AC 【点睛】
本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.
4．AB 【分析】
由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】
中，，由得，A 正确； 锐角三角形中，，∴，B 正确； 中，
解析：AB 【分析】
由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ．
【详解】
ABC 中，A B a b >⇔>，由
sin sin a b A B
=得sin sin A B >，A 正确； 锐角三角形ABC 中，222
cos 02b c a A bc
+-=>，∴2220b c a +->，B 正确；
ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错；
ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =11
sin 3sin 6022
S bc A c ==⨯︒=4c =，∴2222cos 13a b c bc A =+-=，
a =，
∴2sin sin 603a R A =
==
︒，3
R =，D 错． 故选：AB ． 【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．
5．BCD 【分析】
以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】
由题E 为AB 中点，则，
以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示： 所以，，
解析：BCD 【分析】
以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】
由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，
以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以，123
(0,0),(1,0),(1,0),3),()3E A B C D -， 设123
(0,),3),(1,),(,3
3
O y y BO y DO y ∈==--，BO ∥DO ， 所以2313y y =-，解得：3
y =
， 即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确；
3
22
OA OB OC OE OC OE ++=+==
，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误；
123(3ED =，(1,3)BC =，
ED 在BC 方向上的投影为12
7326BC BC
ED +⋅==，所以选项D 正确.
故选：BCD 【点睛】
此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.
6．AC 【分析】
利用余弦定理：即可求解. 【详解】
在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：， 即，解得. 故选：AC 【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基
【分析】
利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】
在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，
即216310a a -+=，解得8a = 故选：AC 【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.
7．BD 【分析】
根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】
对于选项：，选项不正确； 对于选项： ，选项正确； 对于选项：，选项不正确； 对于选项： 选项正确. 故选：
解析：BD 【分析】
根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】
对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确； 对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确； 对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；
对于选项D ：()()
0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确. 故选：BD
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.
8．AB 【分析】
由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误 【详解】
，即B 正确
连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示
由其性质有 ∴，即C 错误 同理 ，
解析：AB 【分析】
由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+
、1
()2
EF AD AB =+、21
33AG AD AB =
+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 11
22
AF AD DF AD DC AD AB =+=+
=+，即A 正确 11
()()22
EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确
连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示
由其性质有||||1
||||2
GF GE AG CG == ∴211121
()333333AG AE AC AD AB BC AD AB =
+=++=+，即C 错误 同理21212
()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=-
211()333DG DF DA AB DA =
+=+，即1
()3
GD AD AB =- ∴2BG GD =，即D 错误 故选：AB 【点睛】
本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系
【分析】
对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判
解析：AC 【分析】
对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误. 【详解】
对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >⇒>⇒>，故A 正确； 对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =⇒= 所以A B =或2
A B π
+=
，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；
对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，
所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，
sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，
因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2
A π
=，ABC 是直角三角形，故③正确；
对D ，因为2
2
2
0a b c +->，所以222
cos 02a b c A ab
+-=>，A 为锐角.
但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误. 故选：AC 【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.
10．AC 【分析】
由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】
，且,平方得，即，可得，故A 正确； ，可得，故B 错误； ，可得，故C 正确； 由可得，故D 错误; 故选：AC 【点睛】
【分析】
由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】
1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-⋅=，即0a b ⋅=，可得a b ⊥，故A
正确；
()2
22
22a b
a b a b +=++⋅=，可得2a b +=，故B 错误； ()
2
2
2
22a b a b a b -=+-⋅=，可得2a b -=，故C 正确；
由0a b ⋅=可得,90a b =︒，故D 错误; 故选：AC 【点睛】
本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.
11．ACD 【分析】
依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】
A ，C ，D 中向量与共线，不能作为基底；
B 中，不共线，所以可作为一组基底． 【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属
解析：ACD 【分析】
依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】
A ，C ，D 中向量1e 与2e 共线，不能作为基底；
B 中1e ，2e 不共线，所以可作为一组基底． 【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.
12．ABD 【分析】
首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项. 【详解】
表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB 正确，当不是单位向量时，不正确， ，所以D 正确. 故选：ABD
【分析】
首先理解a
a
表示与向量a 同方向的单位向量，然后分别判断选项.
【详解】
a a 表示与向量a 同方向的单位向量，所以
1a
a
=正确，//a a a 正确，所以AB 正确，当a 不是单位向量时，a
a a
=不正确，
cos 0a a a
a a a a a a a
⋅==⨯=，所以D 正确. 故选：ABD 【点睛】
本题重点考查向量a a 的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解
a a
表示与向量a 同方向的单位向量.
13．BCD 【分析】
由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】
菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误； 因为，，且， 所以，即C 结论正确； 因为，
解析：BCD 【分析】
由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】
菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误；
因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确； 因为AD CD BC CD BD +=+=，
||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.
故选：BCD 【点睛】
本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.
14．AC 【分析】
将两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】 ∵， ∴①，
由余弦定理可得，②， 联立①②，可得， 即， 解得或. 故选：AC. 【点睛】
本题考查余弦定理的应
解析：AC 【分析】
将a c +=两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】
∵,3
B a c π
=
+=，
∴2
2
2
2
()23a c a c ac b +=++=①， 由余弦定理可得，2
2
22cos
3
a c ac
b π
+-=②，
联立①②，可得222520a ac c -+=，
即2
2520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 解得
2a
c =或12a c =. 故选：AC. 【点睛】
本题考查余弦定理的应用，考查计算能力，是基础题.
15．无
二、平面向量及其应用选择题
16．D 【详解】
()
22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12
x π
=
时,sin(2)sin
163x π
π
+
=≠±,∴f (x )不关于直线12
x π
=
对称；
当512x π=时,2sin(2)116x π
++= ,∴f (x )关于点5(
,1)12
π对称； f (x )得周期22
T π
π==， 当(,0)3
x π
∈-
时,2(,)6
26x π
ππ
+
∈-
,∴f (x )在(,0)3
π
-上是增函数． 本题选择D 选项. 17．C 【分析】
化简条件可得sin 2
a B c ==
，由正弦定理化边为角，整理cos 0C =，即可求解. 【详解】
lg lg lg sin a c B -==-，
sin a B c ∴
==
0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 4
B π
∴=
.
由正弦定理，得
sin sin a A c C ==
，
3
sin cos sin 422C A C C C π⎫⎛⎫
∴==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
， 化简得cos 0C =.
()0,C π∈， 2
C π
∴=
， 则4
A B C π
π=--=
，
∴ABC 是等腰直角三角形. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题. 18．C 【分析】
根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4
A π
=,再根据面积公式可求得6(2bc =,
再代入余弦定理求解即可. 【详解】
ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,
又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,
∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,
∴4
A π
=
.∵1sin 1)24
ABC
S
bc A ===-,
∴bc =6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得2
2
()22cos a b c bc bc A =+--,
∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 19．A 【分析】
首先由条件和正弦定理判断ABC 是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由ABC 外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积. 【详解】 由正弦定理可知2sin sin sin a b c r A B C
===
已知
sin cos sin a b c
A B B
===sin cos B B =和sin sin C B =， 所以45B =，45C =，所以ABC 是等腰直角三角形，
由条件可知ABC ，即等腰直角三角形的斜边长为
所以1
22
ABC
S
=⨯=. 故选：A 【点睛】
本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型. 20．C 【分析】 取,a b 夹角为
3
π
，计算排除ABD ，得到答案.
【详解】 取,a b 夹角为3π
，则0a b -≠，12
a b ⋅=，排除ABD ，易知1a b ==. 故选：C . 【点睛】
本题考查了单位向量，意在考查学生的推断能力. 21．C 【分析】
首先根据题的条件27a b +=
，得到2()7a b +=，根据a ，b 为单位向量，求得
1
2a b ⋅=
，进而求得向量夹角. 【详解】 因为27a b +=
，所以2()7a b +=，
即2
2
447a a b b +⋅+=， 因为2
2
1a b ==，所以12
a b ⋅=， 所以1
cos ,2
a b <>=
，因为向量a ，b 夹角的范围为[0,180]︒︒， 所以向量a ，b 夹角的范围为60︒， 故选：C. 【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的平方与向量模的平方是相等的，已知向量数量积求向量夹角，属于简单题目. 22．D 【分析】
首先利用正弦定理求得sin 2sin 2A B =，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果． 【详解】
解：已知：cos cos a A b B =，利用正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C
===， 解得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，
所以：22A B =或21802A B =︒-，解得：A B =或90A B +=︒ 所以：ABC 的形状一定是等腰或直角三角形 故选：D ． 【点评】
本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于中档题． 23．A 【分析】
由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105°，代入正弦定理sin30sin105AE AB
=︒︒
，化简求得
AE =-． 【详解】
由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝
DA =BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°
＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故
∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．
再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45
°=， △ABE 中，由正弦定理可得
sin30sin105AE AB
=︒︒
，
∴1
2
4
AE
=，∴
AE =）， 故选:A ． 【点睛】
本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题． 24．C 【分析】
AB
AB 和AC
AC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ⎛⎫
⎪+⋅= ⎪
⎝⎭表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由1
2
AB AC AB
AC
⋅
=
可求出A ∠，即得三角形形状。

【详解】
由题的，∵0AB AC BC AB AC ⎛⎫
⎪+⋅= ⎪⎝⎭
，∴A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，∴ABC 为等腰三角形.又12AB AC AB
AC
⋅
=
，∴1cos 2A =，∴3
A π
=，故ABC 为等边三角形. 故选：C 【点睛】
本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。

25．B 【分析】
先根据正弦定理化边得C 为直角，再根据余弦定理得角B ，最后根据直角三角形解得a.
【详解】
因为222sin sin sin 0A B C +-=，所以222b c 0a +-=, C 为直角，
因为222
0a c b ac +--=，所以2221cosB ,223a c b B ac π+-===, 因此13a ccos
π==选B.
【点睛】 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
26．无
27．A
【分析】
利用平面向量的线性运算，将DE 用AB 和AD 表示，可得出λ和μ的值，由此可计算出λμ⋅的值.
【详解】 E 为AO 的中点，且O 为AC 的中点，所以，()111244AE AO AC AB AD =
==+， ()113444DE AE AD AB AD AD AB AD ∴=-=
+-=-，14λ∴=，34μ=-. 因此，1334416
λμ⎛⎫⋅=
⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】 本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题.
28．D
【分析】
由已知22:tan :tan a b A B =，利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化简，然后结合三角函数的性质再进行化简即可判断．
【详解】
∵22:tan :tan a b A B =， 由正弦定理可得，2
2sin sin tan sin cos sin sin sin tan sin cos cos A
A A A
B B B B B B A
B
===， ∵sin sin B 0A ≠， ∴sin cos sin cos A B B A
=，
∴sin cos sin cos A A B B =即sin 2sin 2A B =，∵()(),0,,0,A B A B ππ∈+∈， ∴22A B =或22A B π+=，
∴A B =或2A B π+=
，即三角形为等腰或直角三角形， 故选D ．
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用，利用正弦定理进行代数式变形是解题的关键和难点．
29．C
【分析】 由正弦定理可得三角形的外接圆的半径；由三角函数的恒等变换化简2A π
=或
sin 2sin B A =，即2b a =；分别讨论，结合余弦定理和三角形面积公式，计算可得所求值，从而可得结论．
【详解】
4c =，3C π∠=
，可得42sin sin 3
c R C π===，可得ABC ∆
外接圆半径R =④正确； ()sin sin 2sin2C B A A +-=，即为()()sin sin 2sin2A B B A A ++-=，
即有sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 4sin cos A B A B B A B A B A A A ++-==， 则cos 0A =，即2A π=
或sin 2sin B A =，即2b a =； 若2A π
=，3C π
=，6B π
=，可得2a b =，①可能成立；
由4c =
可得a =
，b =
4+
；面积为12bc =； 则②③成立； 若2b a =，由2222222cos 316c a b ab C a b ab a =+-=+-==，
可得a =
，b =
则三角形的周长为4a b c ++=+
11sin sin 223S ab C π=== 则②③成立①不成立；
综上可得②③④一定成立,故选C ．
【点睛】
本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，考查三角函数的恒等变换，属于中档
题．以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
30．C
【分析】
作出图形，先推导出
2
1
2 AM
AB AB
⋅=，同理得出2
1
2
AM AC AC
⋅=，由此得出关于实数λ、μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43
λμ
+的值.
【详解】
如下图所示，取线段AB的中点E，连接ME，则AM AE EM
=+且EM AB
⊥，()2
1
2
AM AB AE EM AB AE AB EM AB AB
∴⋅=+⋅=⋅+⋅=，
同理可得
2
1
2
AM AC AC
⋅=，
86cos6024
AB AC
⋅=⨯⨯=，
由
2
2
1
2
1
2
AM AB AB
AM AC AC
⎧
⋅=
⎪⎪
⎨
⎪⋅=
⎪⎩
，可得
()
()
32
18
AB AC AB
AB AC AC
λμ
λμ
⎧+⋅=
⎪
⎨
+⋅=
⎪⎩
，即
642432
243618
λμ
λμ
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得
5
12
λ=，
2
9
，因此，
527
4343
1293
λμ
+=⨯+⨯=.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 31．C
【分析】
化简得到
22
AM AB AC
λμ
=+，根据1
AM=得到221
λμλμ
+-=，得到λμ
+的最大值.
【详解】
()
1222AM AE AF AB AC λμ=+=+， 故2222224cos1201222AM AB AC λμλμλμλμλμ⎛⎫=+=++⨯︒=+-= ⎪⎝⎭ 故()()()222223134
λμλμλμλμλμλμ=+-=+-≥+-+，故2λμ+≤. 当1λμ==时等号成立.
故选：C .
【点睛】
本题考查了向量的运算，最值问题，意在考查学生的综合应用能力.
32．B
【分析】
由条件和余弦定理得到6ab =，再根据三角形的面积公式计算结果.
【详解】
由条件可知：22226c a b ab =+-+，①
由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，②
所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =，
则ABC 的面积为11sin 622S ab C =
=⨯=. 故选：B
【点睛】
本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.
33．B
【分析】
由题意可得2b a c =+，平方后整理得22242a c b ac +=-，利用三角形面积可求得ac 的值，代入余弦定理可求得b 的值.
【详解】
解：∵a ，b ，c 成等差数列，
∴2b a c =+，
平方得22242a c b ac +=-，①
又ABC 的面积为
32，且30B ∠=︒， 由11sin sin 3022ABC S ac B ac ==⋅︒△1342
ac ==，解得6ac =， 代入①式可得222412a c b +=-，
由余弦定理得222
cos 2a c b B ac
+-=，
22241231226122
b b b ---===⨯，
解得24b =+，
∴1b =+
故选：B .
【点睛】
本题考查等差数列的性质和三角形的面积公式，涉及余弦定理的应用，属于中档题. 34．A
【分析】
利用余弦定理化角为边，得出c b ABC =， 是等腰三角形．
【详解】
ABC ∆中，c cos 2a B c =，由余弦定理得，222
2a c b cosB ac
+-= ， ∴222
22a a c b c ac
+-= 220c b ∴-= ，
∴c b ABC =，是等腰三角形．
【点睛】
本题考查余弦定理的应用问题，是基础题．
35．D
【分析】
由22
()S a b c +=+，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：1sin 2cos 22
bc A bc A bc =+，化为sin 4cos 4A A -=，与22sin cos 1A A +=．解出即可．
【详解】
解：22()S a b c +=+，
2222S b c a bc ∴=+-+， ∴1sin 2cos 22
bc A bc A bc =+， 所以sin 4cos 4A A -=，
因为22sin cos 1A A +=． 解得15cos 17
A =-或cos 1A =-． 因为1cos 1A -<<，所以cos 1A =-舍去．
15cos 17
A ∴=-． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。