课时作业6：9.5 椭 圆

9.5 椭 圆
一、选择题
1．(2015·北京西城区期末)若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ，b 满足( )
A ．a 2>b 2 B.1a <1
b C ．0<a <b
D ．0<b <a
2．(2015·运城二模)已知椭圆x 236＋y 2
9＝1以及椭圆内一点P (4,2)，则以P 为中点的弦所在
直线的斜率为( )
A.12 B ．－1
2
C ．2
D ．－2
3.如图，F 1，F 2是双曲线
C 1：x 2－
y 2
3
＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是( )
A.13
B.23
C.15
D.25
4．(2015·河北邯郸一模)椭圆x 212＋y 2
3＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 2
的中点在y 轴上，那么|PF 2|是|PF 1|的( )
A ．7倍
B ．5倍
C ．4倍
D ．3倍
5．已知椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2.
若点P 是椭圆C 上的动点，则1F P ·2F A 的最大值为( )
A.32
B.332
C.94
D.154
6．(2015·辽宁沈阳二模)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，
若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝c
sin ∠PF 2F 1
，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A ．(0，2－1)
B.⎝⎛⎭
⎫
22，1
C.⎝
⎛⎭
⎫0，
22 D ．(2－1,1)
二、填空题
7．已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2
3＝1的两个焦点，过点F 2作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两
点，则△F 1AB 的周长为________．
8．直线x －2y ＋2＝0过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1的左焦点F 1和一个顶点B ，则椭圆的方程为
________________．
9．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且1
PF ⊥2PF .若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.
10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e .直线l ：y
＝ex ＋a 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设|AM |＝e |AB |，则该椭圆的离心率e ＝________.
三、解答题
11．(2015·衡水中学二调)已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|＝2，点⎝⎛⎭
⎫1，3
2在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；
(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的面积为122
7，求以F 2为圆心
且与直线l 相切的圆的方程．
12．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，
M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .
(1)若直线MN 的斜率为3
4
，求C 的离心率；
(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .
答案
1．选C 由ax 2
＋by 2
＝1，得x 21a ＋y 2
1b
＝1，
因为焦点在x 轴上，所以1a >1
b >0，
所以0<a <b .
2．选B 设弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，
⎩⎨⎧
x 2136＋y 21
9
＝1，x 22
36＋y
22
9＝1，
两式相减，
得x 1＋x 2
x 1－x 2
36
＋
y 1＋y 2
y 1－y 2
9
＝0，
∴2
x 1－x 29＝－4
y 1－y 2
9
， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2
＝－12.
3．选B 由题意知|AF 1|＋|AF 2|＝2a (设a 为椭圆的长半轴)，|AF 1|－|AF 2|＝2，而|F 1F 2|＝|F 1A |＝4，因此可得2×|F 1A |＝2a ＋2，∴8＝2a ＋2，∴a ＝3，又c ＝2，故C 2的离心率e ＝2
3
.
4．选A 设线段PF 2的中点为D ， 则|OD |＝1
2|PF 1|，OD ∥PF 1，OD ⊥x 轴，
∴PF 1⊥x 轴． ∴|PF 1|＝b 2a ＝323＝3
2.
又∵|PF 1|＋|PF 2|＝43， ∴|PF 2|＝43－
32＝732
. ∴|PF 2|是|PF 1|的7倍．
5．选B 设向量1F P ，2F A 的夹角为θ.由条件知|AF 2|为椭圆通径的一半，即|AF 2|＝b 2
a ＝
32，则1F P ·2F A ＝3
2|1F P |cos θ，于是1F P ·2F A 要取得最大值，只需1F P 在向量2F A 上的投影值最大，易知此时点P 在椭圆短轴的上顶点，所以1F P ·2F A ＝32|1F P |cos θ≤332，故选
B.
6．选D 根据正弦定理得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，所以由a sin ∠PF 1F 2＝c
sin ∠PF 2F 1
可
得
a |PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝c
a
＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|，又|PF 1|＋|PF 2|＝e |PF 2|＋|PF 2|＝|PF 2|·(e ＋1)＝2a ，则|PF 2|＝2a e ＋1，因为a －c <|PF 2|<a ＋c (不等式两边不能取等号，否则分式中的分母
为0，无意义)，所以a －c <
2a e ＋1<a ＋c ，即1－c a <2e ＋1<1＋c a ，所以1－e <2
e ＋1
<1＋e ，即
⎩⎪⎨⎪⎧
1－e 1＋e <2，
2<1＋e
2，
解得2－1<e <1.
7．【解析】 由已知可得△F 1AB 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝8. 【答案】8
8．【解析】 直线x －2y ＋2＝0与x 轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c ＝2. 直线x －2y ＋2＝0与y 轴的交点为(0,1)， 即为椭圆的顶点，故b ＝1. 故
a 2＝
b 2＋
c 2＝5，椭圆方程为
x 25
＋y 2
＝1. 【答案】 x 25
＋y 2
＝1
9．【解析】 由题意知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，
1PF ⊥2PF ，
∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2， ∴2|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2. ∴|PF 1||PF 2|＝2b 2.
∵S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝1
2×2b 2＝b 2＝9，∴b ＝3.
【答案】 3
10．【解析】 因为点A ，B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴，y 轴的交点，所以点A ，B 的坐标分别是⎝⎛⎭
⎫－a
e ，0，(0，a )． 设点M 的坐标是(x 0，y 0)，
由|AM |＝e |AB |，得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝a e e －1，
y 0＝ea ，
(*)
因为点M 在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20
b 2＝1，将(*)式代入，得
e －12
e 2
＋e 2a 2
b
2＝1，整理得，e 2
＋e －1＝0，解得e ＝
5－1
2
. 【答案】
5－1
2
11．解：(1)由题意知c ＝1， 2a ＝
⎝⎛⎭⎫322＋ ⎝⎛⎭
⎫322＋22＝4， a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)①当直线l ⊥x 轴时，可取A ⎝⎛⎭⎫－1，－32，B ⎝⎛⎭⎫－1，3
2，△AF 2B 的面积为3，不符合题意．
②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2
＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，
显然Δ>0成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8k 2
3＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，
可得|AB |＝
1＋k 2·
x 1＋x 22－4x 1x 2
＝12
k 2＋1
3＋4k 2
，
又圆F 2的半径r ＝2|k |
1＋k 2
， ∴△AF 2B 的面积为
1
2|AB |·r ＝12|k |k 2＋13＋4k 2
＝1227， 代简得：17k 4＋k 2－18＝0，得k ＝±1， ∴r ＝2，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2. 12．解：(1)根据a 2－b 2＝c 2及题设知 M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，b 2
a 2c ＝34，
得2b 2＝3ac .
将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ， 解得c a ＝12，c
a ＝－2(舍去)．
故C 的离心率为1
2
.
(2)设直线MN 与y 轴的交点为D ， 由题意，原点O 为F 1F 2的中点，
MF 2∥y 轴，
所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点， 故b 2
a ＝4，即
b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则
⎩⎪⎨⎪⎧
2（－c －x ）＝c ，
－2y 1＝2，即⎩⎪
⎨⎪⎧
x 1＝－3
2c ，y 1＝－1.
代入C 的方程，得9c 24a 2＋1
b 2＝1.②
将①及
a 2－
b 2＝
c 2代入②得
9
a 2－4a 4a 2
＋1
4a
＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28， 故a ＝7，b ＝27.。