新苏科版八年级苏科初二数学下册第二学期5月月考测试卷

新苏科版八年级苏科初二数学下册第二学期5月月考测试卷
一、选择题
1．一个不透明的盒子里有n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n 为（ ） A ．20
B ．24
C ．28
D ．30
2．为了解某校学生今年五一期间参加社团活动时间的情况，随机抽查了其中100名学生进行统计，并绘制成如图所示的频数直方图，已知该校共有1000名学生，据此估计，该校五一期间参加社团活动时间在8～10小时之间的学生数大约是（ ）
A ．280
B ．240
C ．300
D ．260
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
4．下列调查中，适合采用普查的是（ ） A ．了解一批电视机的使用寿命 B ．了解全省学生的家庭1周内丢弃塑料袋的
数量
C ．为保证某种新研发的战斗机试飞成功，对其零部件进行检查
D ．了解扬州市中学
生的近视率
5．某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为
1
3
．小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张( ) A ．能中奖一次 B ．能中奖两次 C ．至少能中奖一次 D ．中奖次数不能确定 6．用配方法解一元二次方程2620x x --=，以下正确的是（ ）
A ．2(3)2x -=
B ．2(3)11x -=
C ．2(3)11x +=
D ．2(3)2x +=
7．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．某校共有2000名学生，为了解学生对“七步洗手法”的掌握情况，现采用抽样调查，如果按10%的比例抽样，则样本容量是（ ） A ．2000
B ．200
C ．20
D ．2
9．如图，是一组由菱形和矩形组成的图案，第1个图中菱形的面积为S （S 为常数），第2个图中阴影部分是由连接菱形各边中点得到的矩形和再连接矩形各边中点得到的菱形产生的，依此类推…，则第2020个图中阴影部分的面积可以用含S 的代数式表示为（ ）（S ≥2且S 是正整数）
A ．
2018
4S B ．
2019
4S C ．
2020
4S D ．
2021
4S
10．已知12x <≤ ，则23(2)x x -+-的值为（ ） A ．2 x - 5
B ．—2
C ．5 - 2 x
D ．2
二、填空题
11．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，F 是线段DE 上一点，连接AF ，BF ，若AB ＝16，EF ＝1，∠AFB ＝90°，则BC 的长为_____．
12．48与最简二次根式23a -是同类二次根式，则a ＝_____．
13．为了了解某校学生的视力情况，随机抽取了该校50名学生进行调查．整理样本数据如表：
根据抽样调查结果，估计该校1200名初中学生视力不低于4.8的人数是_____． 14．如图，在菱形ABCD 中，若AC ＝24 cm ，BD ＝10 cm ，则菱形ABCD 的高为________cm ．
15．若点()23，
在反比例函数k
y x
=的图象上，则k 的值为________． 16．如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC 的长是 .
17．如图，已知22AB =，C 为线段AB 上的一个动点，分别以AC ，CB 为边在AB 的同侧作菱形ACED 和菱形CBGF ，点C ，E ，F 在一条直线上，120D ∠=︒，P 、
Q 分别是对角线AE ，BF 的中点，当点C 在线段AB 上移动时，线段PQ 的最小值为
________．
18．▱ABCD 的周长是32cm ，∠ABC 的平分线交AD 所在直线于点E ，且AE ：ED ＝3：2，则AB 的长为_____．
19．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △PAB ＝1
3
S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB 的最小值为_____．
20．如图，在□ABCD 中，AB ＝7，AD ＝11，DE 平分∠ADC ，则BE ＝_
_．
三、解答题
21．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的动点（不与点B、C重合），将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45°后交CD边于点F，AE、AF分别交BD于G、H两点．（1）当∠BEA＝55°时，求∠HAD的度数；
（2）设∠BEA＝α，试用含α的代数式表示∠DFA的大小；
（3）点E运动的过程中，试探究∠BEA与∠FEA有怎样的数量关系，并说明理由．
22．已知：如图，AC、BD相交于点O，且点O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD的形外，且∠AEC＝∠BED＝90°．求证：四边形ABCD是矩形．
23．计算：
2429
33 x x x
x x
--
-
--
24．如图，在ABC中，∠BAC＝90°，DE是ABC的中位线，AF是ABC的中线．求证DE＝AF．
证法1：∵DE是ABC的中位线，
∴DE＝．
∵AF是ABC的中线，∠BAC＝90°，
∴AF＝，
∴DE＝AF．
请把证法1补充完整，连接EF，DF，试用不同的方法证明DE＝AF
证法2：
25．如图1，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合）连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）求证：△ABF ≌△BCE ；
（2）如图2，连接EF 、CF ，若CE ＝8，求四边形BEFC 的面积； （3）如图3，当点E 运动到AB 中点时，连接DG ，求证：DC ＝DG ．
26．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD 为AC 的中线，过点C 作CE BD ⊥于点
E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点
F ，在AF 的延长线上截取F
G BD =，连接BG 、DF ．
（1）求证：BD DF =； （2）求证：四边形BDFG 为菱形；
（3）若13AG =，6CF =，求四边形BDFG 的周长．
27．发现：如图1，点A 为线段BC 外一动点，且(),,BC a AB c a c ==>．
（1）填空：当点A 位于 上时，线段AC 的长取得最小值，且最小值为 （用含,a c 的式子表示）
（2）应用：如图2，点A 为线段BC 外一动点，且3,1BC AB ==，分别以,AB AC 为边，作等腰直角ABD ∆和等腰直角ACE ∆，连接,CD BE ． ①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由； ②直接写出BE 长的最小值．
（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,0，点B 的坐标为()10,0，点P 为线段AB 外一动点，且2,,PA PM PB ==60BPM ︒∠=，请直接写出AM 长的最小值及此时点P 的坐标．
28．已知四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB=BC ，∠ABC =120゜，∠MBN=60゜，
∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
(1)当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），试猜想线段AE、CF、EF之间存在的数量关系为．（不需要证明）；
(2)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【详解】
试题解析：根据题意得9
n
=30%，解得n=30，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．故选D．
考点：利用频率估计概率．
2．A
解析：A
【解析】
由题可得,抽查的学生中参加社团活动时间在8∼10小时之间的学生数为100−30−24−10−8=28(人)，
∴1000×28
100
=280(人)，
即该校五一期间参加社团活动时间在8∼10小时之间的学生数大约是280人．故选A.
3．D
解析：D
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称的图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．C
解析：C
【分析】
根据调查的实际情况逐项判断即可．
【详解】
解：A. 了解一批电视机的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，不合题意；
B. 了解全省学生的家庭1周内丢弃塑料袋的数量，调查费时费力，适合抽样调查，不合题意；
C. 为保证某种新研发的战斗机试飞成功，对其零部件进行检查，考虑安全性，适合全面调查，符合题意；
D. 了解扬州市中学生的近视率，调查费时费力，适合抽样调查，不合题意．
故选：C
【点睛】
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，事关重大的调查往往选用普查．
5．D
解析：D
【分析】
由于中奖概率为1
3
，说明此事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生．
【详解】
解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定
.故选D．
【点睛】
解答此题要明确概率和事件的关系：
()
P A0
=
①，为不可能事件；
()P A 1=②为必然事件； ()0P A 1<<③为随机事件． 6．B
解析：B 【分析】
利用完全平方公式的特征在方程的两边同时加上11即可. 【详解】
解：2621111x x --+=，即26911x x -+=，所以2(3)11x -=. 故选：B. 【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，灵活利用完全平方公式是应用配方法解题的关键.
7．A
解析：A 【分析】
直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解． 【详解】
解：A 、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； B 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A ． 【点睛】
此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
8．B
解析：B 【分析】
某校共有2000名学生，按10%的比例抽样，用总数乘以10%即可得出样本容量 【详解】
解：2000×10%＝200，故样本容量是200． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了样本容量，一个样本包括的个体数量叫做样本容量，等于总数乘以抽取的比例．
9．B
解析：B 【分析】
观察图形发现第2个图形中的阴影部分的面积为S 4
，第3个阴影部分的面积为16S
，依此类
推，得到第n 个图形的阴影部分的面积即可． 【详解】
解：观察图形发现：
第2个图形中的阴影部分的面积为S
4
， 第3个图形中的阴影部分的面积为16
S ， …
第n 个图形中的阴影部分的面积为
1
4n S -，
故第2020个图中阴影部分的面积可以用含S 的代数式表示为2019
4S ．
故选：B ． 【点睛】
本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察图形，找到规律用通项公式表示出来．
10．C
解析：C 【分析】
结合1 < x ≤ 2 ，根据绝对值和二次根式的进行计算，即可得到答案． 【详解】
因为1 < x ≤ 2 ，所以3x -+32x x -+-= 5 - 2 x.故选择C ． 【点睛】
本题考查不等式、绝对值和二次根式，解题的关键是掌握不等式、绝对值和二次根式．
二、填空题 11．18 【分析】
根据直角三角形的性质得到DF ＝8，根据EF ＝1，得到DE ＝9，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】
解：∵∠AFB ＝90°，点D 是AB 的中点， ∴DF ＝AB ＝8， ∵EF ＝1，
解析：18 【分析】
根据直角三角形的性质得到DF＝8，根据EF＝1，得到DE＝9，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
解：∵∠AFB＝90°，点D是AB的中点，
∴DF＝1
2
AB＝8，
∵EF＝1，
∴DE＝9，
∵D、E分别是AB，AC的中点，
∴BC＝2DE＝18，
故答案为：18
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
12．3
【分析】
首先化简二次根式，再根据同类二次根式定义可得2a﹣3＝3，再解即可．【详解】
，
∵与最简二次根式是同类二次根式，
∴2a﹣3＝3，
解得：a＝3，
故答案为：3．
【点睛】
此题主
解析：3
【分析】
2a﹣3＝3，再解即可．【详解】
==，
是同类二次根式，
∴2a﹣3＝3，
解得：a＝3，
故答案为：3．
【点睛】
此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握把二次根式化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
13．720
【分析】
先根据表格中的数据可得初中学生视力不低于4.8的人数占比，再乘以1200即可得．
【详解】
由表可知，初中学生视力不低于4.8的人数占比为
则（人）
即估计该校1200名初中学生视
解析：720
【分析】
先根据表格中的数据可得初中学生视力不低于4.8的人数占比，再乘以1200即可得．【详解】
由表可知，初中学生视力不低于4.8的人数占比为7914
100%60% 50
++
⨯=
则120060%720
⨯=（人）
即估计该校1200名初中学生视力不低于4.8的人数是720
故答案为：720．
【点睛】
本题考查了利用样本所占百分比估计总体的数量，理解题意，掌握样本估计总体的方法是解题关键．
14．【分析】
先根据菱形的面积=两条对角线积的一半得出面积，再求出菱形的边长，由面积即可得出菱形的高．
【详解】
解：作DE⊥AB于E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=24，BD=1
解析：120 13
【分析】
先根据菱形的面积=两条对角线积的一半得出面积，再求出菱形的边长，由面积即可得出菱形的高．
【详解】
解：作DE⊥AB于E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=24，BD=10，
∴AC⊥BD，OA=1
2
AC=12，OB=
1
2
BD=5，
菱形ABCD的面积=1
2
AC·BD=
1
2
×24×10=120，
22
12+5，
又∵菱形ABCD的面积=AB·DE=120，
∴DE=120 13
，
故答案为：120 13
．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积的计算；根据菱形的性质由勾股定理求出边长是解题的关键．
15．6
【详解】
解：由题意知：k=3×2=6
故答案为：6
解析：6
【详解】
解：由题意知：k=3×2=6
故答案为：6
16．6
【分析】
由菱形的性质可得AB=BC，再由∠ABC=60°得△ABC为等边三角形即可求得答案．
【详解】
根据菱形的性质可得AB=BC=6，
∵∠ABC=60°，
则△ABC为等边三角形，
解析：6
【分析】
由菱形的性质可得AB=BC，再由∠ABC=60°得△ABC为等边三角形即可求得答案．
【详解】
根据菱形的性质可得AB=BC=6，
∵∠ABC=60°，
则△ABC为等边三角形，
则AC=AB=6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
17．【分析】
连接QC、PC，先证明∠PCQ=90°，设AC=，则BC=，PC=，CQ=()，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】
连接PC、CQ．
∵四边形ACED，四边形CB
解析：
6
【分析】
连接QC、PC，先证明∠PCQ=90°，设AC=2a，则BC=222a
-，PC=a，
CQ=3(2a
-)，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】
连接PC、CQ．
∵四边形ACED，四边形CBGF是菱形，∠D=120°，
∴∠ACE=120°，∠FCB=60°，
∵P，Q分别是对角线AE，BF的中点，
∴∠ECP=∠ACP=1
2
∠ACE=60°，∠FCQ=∠BCQ=
1
2
∠BCF=30°，
∴∠PCQ=90°，
设AC=2a ，则BC=2a ，PC=12
AC=a ，CQ=BC cos30⋅︒a )，
∴PQ ===
∴当a =PQ 2=．
故答案为：
2
． 【点睛】 本题考查了菱形的性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题．
18．6cm 或12cm ．
【分析】
证△ABE 是等腰三角形，分“点E 在线段AD 上” 和“点E 在AD 的延长线上”两种情况，分别求得答案即可．
【详解】
解：分两种情况：
①点E 在线段AD 上，如图1，
∵四边
解析：6cm 或12cm ．
【分析】
证△ABE 是等腰三角形，分“点E 在线段AD 上” 和“点E 在AD 的延长线上”两种情况，分别求得答案即可．
【详解】
解：分两种情况：
①点E 在线段AD 上，如图1，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＝BC ，
∴AB +AD ＝12
×32＝16（cm ），∠AEB ＝∠CBE ， ∵∠ABC 的平分线交AD 所在的直线于点E ，
∴∠ABE ＝∠CBE ，
∴∠ABE ＝∠AEB ，
∴AB ＝AE ，
∵AE ：ED ＝3：2，
∴AB ：AD ＝3：5，
∵平行四边形ABCD 的周长为32cm ．
∴AB的长为：16×3
8
＝6（cm）．
②点E在AD的延长线上，如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∴AB+AD＝1
2
×32＝16（cm），∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD所在的直线于点E，∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AE：ED＝3：2，
∴AB：AD＝3：1，
∵平行四边形ABCD的周长为32cm．
∴AB的长为：16×3
4
＝12（cm）；
故答案为：6cm或12cm．
【点睛】
本题考查了平行四边形与角平分线线的综合应用，熟知以上知识点及应用是解题的关键．19．【分析】
已知S△PAB＝S矩形ABCD ，则可以求出△ABP的高，此题为“将军饮马”模型，过P点作直线l∥AB，作点A关于l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE 的长就是所求的最短距离.
【详解
41
【分析】
已知S△PAB＝1
3
S矩形ABCD，则可以求出△ABP的高，此题为“将军饮马”模型，过P点作直
线l∥AB，作点A关于l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离.
【详解】
解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB＝1
3
S矩形ABCD，
∴1
2
AB•h＝
1
3
AB•AD，
∴h＝2
3
AD＝2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2+2＝4，
∴BE＝2222
5441
+=+=
AB AE，
即PA+PB的最小值为41．
故答案为：41．
【点睛】
本题主要考查的是勾股定理以及“将军饮马”的模型，“将军饮马”模型主要是用来解决最小值问题，掌握这模型是解题的关键.
20．4
【解析】
解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵▱ABCD中AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵在▱ABCD中，AB=7，AD=11，
解析：4
【解析】
解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵▱ABCD中AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED ，
∴CE=CD ，
∵在▱ABCD 中，AB=7，AD=11，
∴CD=AB=7，BC=AD=11，
∴BE=BC-CE=11-7=4．
三、解答题
21．（1）10°；（2）135DFA α∠=︒-；（3）∠BEA ＝∠FEA ，理由见解析
【分析】
（1）根据正方形的性质和三角形的内角和解答即可；
（2）根据正方形的性质和三角形内角和解答即可；
（3）延长CB 至I ，使BI ＝DF ，根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠EBA ＝∠BAD ＝90°，
∴∠EAB ＝90°﹣∠BAE ＝90°﹣55°＝35°，
∴∠HAD ＝∠BAD ﹣∠EAF ﹣∠EAB ＝90°﹣45°﹣35°＝10°；
（2）∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠EBA ＝∠BAD ＝∠ADF ＝90°，
∴∠EAB ＝90°﹣∠BAE ＝90°﹣α，
∴∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ﹣∠EAB ＝()90459045αα︒-︒-︒--︒＝，
∴∠DFA ＝90°﹣∠DAF ＝()9045α︒--︒＝135°﹣α；
（3）∠BEA ＝∠FEA ，理由如下：
延长CB 至I ，使BI ＝DF ，连接AI ．
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD ＝AB ，∠ADF ＝∠ABC ＝90°，
∴∠ABI ＝90°，
又∵BI ＝DF ，
∴△DAF ≌△BAI （SAS ），
∴AF ＝AI ，∠DAF ＝∠BAI ，
∴∠EAI ＝∠BAI +∠BAE ＝∠DAF +∠BAE ＝45°＝∠EAF ，
又∵AE是△EAI与△EAF的公共边，
∴△EAI≌△EAF（SAS），
∴∠BEA＝∠FEA．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、三角形外角性质及全等三角形，关键是根据正方形的性质及外角和性质得到角之间的关系，然后求解．
22．见解析
【分析】
连接EO，证四边形ABCD是平行四边形，在Rt△AEC中EO＝1
2
AC，在Rt△EBD中，EO＝
1
2
BD，得到AC＝BD，即可得出结论．【详解】
证明：连接EO，如图所示：
∵O是AC、BD的中点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
在Rt△EBD中，
∵O为BD中点，
∴EO＝1
2 BD，
在Rt△AEC中，∵O为AC的中点，
∴EO＝1
2 AC，
∴AC＝BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【点睛】
此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
23．3
x
【分析】
先把分式进行合并，再进行因式分解，然后约分，即可得到答案．
【详解】
解：原式22242969(3)3333
x x x x x x x x x x --+-+-====----； 【点睛】
本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
24．
2BC ，2
BC ，证明见解析 【分析】 证法1：根据三角形中位线定理得到DE=
12BC ，根据直角三角形的性质得到AF=12BC ，等量代换证明结论； 证法2：连接DF 、EF ，根据三角形中位线定理得到DF ∥AC ，EF ∥AB ，证明四边形ADFE 是矩形，根据矩形的对角线相等证明即可．
【详解】
证法1：∵DE 是△ABC 的中位线，
∴DE=12
BC ， ∵AF 是△ABC 的中线，∠BAC=90°， ∴AF=
12BC ， ∴DE=AF ，
证法2：连接DF 、EF ，
∵DE 是△ABC 的中位线，AF 是△ABC 的中线，
∴DF 、EF 是△ABC 的中位线，
∴DF ∥AC ，EF ∥AB ，
∴四边形ADFE 是平行四边形，
∵∠BAC=90°，
∴四边形ADFE 是矩形，
∴DE=AF ．
故答案为：
12BC ；12
BC ． 【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、矩形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）32；（3）见解析
【分析】
（1）根据同角的余角相等得到∠GCB ＝∠FBA ，利用ASA 定理证明△ABF ≌△BCE ； （2）根据全等三角形的性质得到BF ＝CE ＝8，根据三角形的面积公式计算，得到答案； （3）作DH ⊥CE ，设AB ＝CD ＝BC ＝2a ，根据勾股定理用a 表示出CE ，根据三角形的面积公式求出BG ，根据勾股定理求出CG ，证明△CHD ≌△BGC ，得到CH ＝BG ，证明CH ＝GH ，根据线段垂直平分线的性质证明结论．
【详解】
（1）证明：∵BF ⊥CE ，
∴∠CGB ＝90°，
∴∠GCB +∠CBG ＝90，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠CBE ＝90°＝∠A ，BC ＝AB ，
∴∠FBA +∠CBG ＝90，
∴∠GCB ＝∠FBA ，
在△ABF 和△BCE 中，
A CBE A
B BC
ABF BCE ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ABF ≌△BCE （ASA ）；
（2）解：∵△ABF ≌△BCE ，
∴BF ＝CE ＝8，
∴四边形BEFC 的面积＝△BCE 的面积+△FCE 的面积 ＝
12×CE ×FG +12×CE ×BG ＝
12×CE ×（FG +BG ） ＝
12×CE ×BF ＝12
×8×8 ＝32；
（3）证明：如图3，过点D 作DH ⊥CE 于H ，
设AB ＝CD ＝BC ＝2a ，
∵点E 是AB 的中点，
∴EA ＝EB ＝
12AB ＝a ， ∴CE
=，
在Rt △CEB 中，12BG •CE ＝12CB •EB ， ∴BG ＝255
CB EB a CE ⋅=， ∴CG ＝22455BC BG a -=
， ∵∠DCE +∠BCE ＝90°，∠CBF +∠BCE ＝90°，
∴∠DCE ＝∠CBF ，
∵CD ＝BC ，∠CHD ＝∠CGB ＝90°，
∴△CHD ≌△BGC （AAS ），
∴CH ＝BG ＝25a ， ∴GH ＝CG ﹣CH ＝
25a ＝CH ， ∵CH ＝GH ，DH ⊥CE ，
∴CD ＝GD ；
【点睛】
本题通过正方形动点问题引入，考查了三角形全等、勾股定理和垂直平分线定理的应用． 26．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）20
【分析】
（1）先可判断四边形BGFD 是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD FD =；
（2）由邻边相等可判断四边形BGFD 是菱形；
（3）设GF x =，则13AF x =-，2AC x =，在Rt ACF ∆中利用勾股定理可求出x 的值．
【详解】
（1）证明：90ABC ∠=︒，BD 为AC 的中线，
12
BD AC ∴= //AG BD ，BD FG =，
∴四边形BDFG 是平行四边形，
CF BD ⊥
CF AG ∴⊥ 又点D 是AC 的中点
12
DF AC ∴= BD DF ∴=．
（2）证明：由（1）知四边形BDFG 是平行四边形
又BD DF =
BDFG ∴是菱形
（3）解：设GF x =则13AF x =-，2AC x =，6CF =，
在Rt ACF ∆中，222CF AF AC +=
2226(13)(2)x x ∴+-=
解得5x =
4520BDFG C ∴=⨯=菱形．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质；解答本题的关键是证明四边形BGFD 是菱形．
27．（1）;BC a c -；（2）①BE DC =，证明见解析，②3；（3）AM 最小为(
6,P 或(3．
【分析】
（1）根据点A 位于CB 上时，线段AC 的长取得最小值，即可得到结论；
（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=90°，推出△CAD ≌△EAB ，根据全等三角形的性质得到CD=BE ；
②由于线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果； （3）以AP 为边向右边作等边三角形APC ，连接BE 后，易证APM CPB ≅，此时AM=BC ，然后根据（1）的结论求值即可，点P 坐标可根据等边三角形性质求．
【详解】
解：()1AC BC AB a c ≥-=-
当A 位于BC 线段上AO ，取到最小值a c -
故答案为：;BC a c - ()2①ABO ∆和AEC ∆均为等腰直角三角形，
1,AB AD AE AC ∴===
,BAD EAC BD ∠=∠=BAE BAD EAD EAC EAD DAC ∴∠=∠-∠=∠-∠=∠
∴在ABE ∆和ADC ∆中
AB AD BAE DAC AE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()BAE DAC SAS ∴∆≅∆
BE DC ∴= ②而32DC
BC BD ≥-=-
BE 最小值为32-，当且仅当D 在线段BC 上取到
()3以AP 为边向右边作等边三角形APC ，连接BC
APC ∆为正三角形，
2,60AC AP PC APC ︒∴===∠=
又60MPB ︒∠=
APM APC MPC ∴∠=∠-∠
60MPC ︒=-∠
MPB MPC =∠-∠
CPB =∠
∴在APM ∆和CPB ∆中
AP CP APM CPB PM PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()APM CPB SAS ∴∆≅∆
()10226AM BC AB AC ∴=≥-=--=
AM ∴最小为6，此时C 在线段AB 上，
P 的横坐标为1232
AP +⨯= 纵坐标为222222322AP AP ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
((33,3P ∴-或．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用转化的思想思考问题．
28．（1）AE+CF=EF；（2）如图2，（1）中结论成立，即AE+CF=EF；如图3，（1）中结论不成立，AE=EF+CF．
【分析】
（1）根据题意易得△ABE≌△CBF，然后根据全等三角形的性质可得∠ABE=∠CBF=30°，进而根据30°角的直角三角形及等边三角形的性质可求解；
（2）如图2，延长FC到H，使CH=AE，连接BH，根据题意可得△BCH≌△BAE，则有
BH=BE，∠CBH=∠ABE，进而可证△HBF≌△EBF，推出HF=EF，最后根据线段的等量关系可求解；如图3，在AE上截取AQ=CF，连接BQ，根据题意易得△BCF≌△BAQ，推出
BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，进而可证△FBE≌△QBE，推出EF=QE即可．
【详解】
解：（1）如图1，AE+CF=EF，理由如下：
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A=∠C=90°，
∵AB=BC，AE=CF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠ABE=∠CBF，BE=BF，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE=∠CBF=30°，
∴
11
,
22
AE BE CF BF
==，
∵∠MBN=60°，BE=BF，∴△BEF是等边三角形，
∴
11
22
AE CF BE BF BE EF +=+==，
故答案为AE+CF=EF；
（2）如图2，（1）中结论成立；理由如下：延长FC到H，使CH=AE，连接BH，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A=∠BCH=90°，
∴△BCH≌△BAE（SAS），
∴BH=BE，∠CBH=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE+∠CBF=120°-60°=60°，
∴∠HBC+∠CBF=60°，
∴∠HBF=∠MBN=60°，
∴∠HBF=∠EBF，
∴△HBF≌△EBF（SAS），
∴HF=EF，
∵HF=HC+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF，
如图3，（1）中的结论不成立，为AE=EF+CF，理由如下：
在在AE上截取AQ=CF，连接BQ，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A=∠BCF=90°，
∵AB=BC，
∴△BCF≌△BAQ（SAS），
∴BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，
∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE，
∴∠CBE+∠ABQ=60°，
∵∠ABC=120°，
∴∠QBE=120°-60°=60°=∠MBN，
∴∠FBE=∠QBE，
∴△FBE≌△QBE（SAS），
∴EF=QE，
∵AE=QE+AQ=EF+CE，
∴AE=EF+CF．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质及等边三角形的性质是解题的关键．。