2019届高三上学期第二次模拟考试数学(理)试题含解析

题.
11. 已知双曲线
的右焦点为 ，过 作双曲线渐近线的垂线， 垂足为 ，直线 交双曲线右支于点 ，
且 为线段 的中点，则该双曲线的离心率是（
）
A. 2 B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】
【分析】
先求得 点的坐标，根据中点坐标公式求得
点坐标，将 点坐标代入双曲线方程，化简后求得双曲线的离心率
.
【详解】由于双曲线焦点到渐近线的距离为
.
8. 已知 是抛物线
的焦点，过点
的直线 与抛物线 交于 ， 两点， 为线段 的中点，若
，则直线 的斜率为 ( )
A. 3 B. 1 C. 2 D.
【答案】 B 【解析】 【分析】 根据 【详解】由于
求得 的值，利用点差法求得直线 为 中点，根据抛物线的定义
的斜率 .
，解得 ，抛物线方程为
.
设
，则
目标函数
取得最小值为：
考点：线性规划． 【此处有视频，请去附件查看】
；故选 B．
5. 在等差数列 中， ， 是方程
的两个实根，则
()
A.
B. -3 C. -6 D. 2
【答案】 A
【解析】
【分析】
利用韦达定理列出 ， 的关系式，然后利用等差数列的性质求得所求表达式的值
.
【详解】由于 ， 是方程
的两个实根，所以
.
3. 设命题
在定义域上为减函数；命题
为奇函数，则下列命题中真命题是 ( )
A.
B.
【答案】 C
【解析】
【分析】
分别判断命题
C.
D.
的真假性，由此判断出正确的选项 .
【详解】 对于命题 ，
的减区间是
和
，不能写成并集， 故命题 为假命题 . 对于命题 ，
为
奇函数，故命题 为真命题 . 所以
为真命题，故选 C.
黑龙江省大庆市 2019 届高三上学期第二次模拟考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
.
1. 已知集合
，
，则
()
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得集合 的具体范围，然后求两个集合的交集，从而得出正确选项
【详解】由
出双曲线的离心率 .
12. 已知 是定义在
上的可导函数，且
，则不等式
的解集为（ ）
A.
B.
【答案】 B 【解析】 【分析】
构造函数
C.
D.
，利用已知条件求得
的正负， 由此判断函数
的单调性， 并解出不等式
的解集 .
【详解】由
得
，构造函数
，
，故 为
上的减函数 . 原不等
式
可转化为
，即
，所以
，解得
，故选 B.
【解析】
【分析】
画出三视图对应的直观图，根据直观图，判断出
个侧面中有几个直角三角形 .
【 详解】 画出三 视图对应 的四棱 锥如下 图所示
. 由三 视图可知
是 直角三 角形 . 而
，所以
，即
为直角三角形 . 所以直角三角形一共有 个，故选 A.
【点睛】本小题主要考查三视图和直观图，考查空间想象能力，属于基础
【点睛】本小题主要考查对数的运算公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题
.
7. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”
. 意思是两个同高的
几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等
. 现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅满足祖暅
原理的条件 . 若圆锥的侧面展开图是半径为 2 的半圆，由此推算三棱锥的体积为（
解得
，故
. 故选 D.
【点睛】本小题主要考查集合交集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题
Hale Waihona Puke .2. 若复数 满足
（其中 是虚数单位） ，则 （ ）
A. 2 B. 4 C.
D.
【答案】 A
【解析】
【分析】
利用复数乘法和除法运算，化简 为
的形式，再求 的模 .
【详解】依题意
，故
. 故选 A.
【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数的除法运算，考查复数的模，属于基础题
，所以
.
故选 A.
【点睛】本小题主要考查等差数列的基本性质，考查一元二次方程根与系数关系，属于中档题
.
6. 已知
，
，
，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】
【分析】
利用对数运算的公式化简
为形式相同的表达式，由此判断出
的大小关系 .
【详解】依题意得
，
，
，而
，所以
，故选 C.
【点睛】本小题主要考查含有简单逻辑连接词命题真假性的判断，还考查了函数的单调性，三角函数的诱导公式以
及三角函数的奇偶性，属于中档题 .
4. 设 ， 满足约束条件
则
的最小值是 ( )
A. -7 B. -6 C. -5 D. -3 【答案】 B 【解析】
试题分析：作出可行域：
，并作出直线
，平移 到经过点Ｅ (3,4) 时，
，两式相减并化简得
，即直线 的斜率为 ，故选 B.
【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查利用点差法求解有关弦的中点问题，属于中档题
.
9. 已知函数
，
的值域为
，则 的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 C 【解析】 【分析】
先由 的取值范围，求得
的取值范围，结合函数的值域，求得
的取值范围 .
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】
【分析】
根据圆锥侧面展开图是半径为 的半圆，计算出圆锥的体积，也即是三棱锥的体积
.
【详解】设圆锥的底面半径为 ，则
，解得 ，故圆锥的高为
，所以圆锥的体积也即三棱锥
的体积为
. 故选 D.
【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图与底面圆的半径的关系，考查中国古代数学文化，属于基础题
，所以
，所以
，由于 是 的中点，故
，
代入双曲线方程并化简得
，即
，
.
【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，考查双曲线焦点到渐近线的距离，考查中点坐标公式，考查双曲线离
心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题
. 双曲线焦点到渐近线的距离是一个定值
，这个要作为
结论来记忆 . 要求双曲线的离心率，可从一个等式中得到，本题通过双曲线上一个点的坐标来得到一个等式，由此解
【点睛】本小题主要考查函数导数运算，考查利用导数判断函数的单调性，考查构造函数法解函数不等式，考查化
归与转化的数学思想方法，属于中档题 . 题目给定一个含有导数的式子，此类题目主要的解题方法是构造函数法，构
【详解】由于
，所以
，由于
，所以
，解得
. 故选 C.
【点睛】本小题主要考查三角函数值域，考查三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题
.
10. 某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥
4 个侧面中，直角三角形共有（
）
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
【答案】 A