甘肃省秦安一中高三数学补习班周考练试题四

秦安一中2011—2012学年度高三、补习班周考练（四）
数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合{}
{}3,1,2,3,4A x x B =<=，则B A C R )( = A .{}4 B .{}4,3 C ．{}4,3,2 D ．{}4,3,2,1
2．（理）若复数11i
z i
-=
+，则z 等于 A ．-i
B ．i
C ．2i
D ．1+i
（文）已知向量)0,2(),2,1(=-=b a ，向量)cos ,(sin θθ=c 与+共线，则=θtan
A.
23 B.2
3- C.2 D.21 3．已知函数)(x f 是定义在区间)0](,[>-a a a 上的奇函数，若()()2g x f x =+， 则()g x 的最大值与最小值之和为
（A ）0
（B ）2
（C ）4
（D ）不能确定
4．已知α为第三象限角，则
2
α
所在的象限是
A ．第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 5．平行四边形ABCD 中，A C 为一条对角线，若=（2，4），=（1，3），则·等于
A ．6
B ．8
C ．-8
D ．-6
6．给出下列命题：(1)三点确定一个平面；(2)在空间中，过直线外一点只能作一条直线与该直线平行；(3)若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；(4)若直线
a b c 、、满足,a b a c ⊥⊥、则//b c .其中正确命题的个数是
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 7．在等比数列{}n a 中，若公比1q >，且28466,5a a a a =+=，则
5
7
a a = （A ）
56 （B ）65 （C ）32 （D ）23
8．用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中恰有一个奇数夹在两个偶数之间的五
位数的个数是
A ．120
B ．72
C ．48
D ．36
9．已知ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c
，a c ==75A =o ，则b = A.2 B ．4
＋．4
—
10．设命题：.001:,11:<<<>ab ab
q b a b a p 则若则
给出以下3个复合命题，①p ∧q ；②p ∨q ；③⌝p ∧⌝q.其中真命题个数 A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
11．（理）某班有50名学生，在一次考试中，统计数学平均成绩为70分，方差为102，后
来发现2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得60分却记为90分，更正后平均成绩和方差分别为
A ．70，90
B ．70，114
C ． 65，90
D ．65，114 （文）某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70km/h 的汽车
视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测 点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方 图，则从图中可以看得出将被处罚的汽车大约有（ ） A ．30辆 B ．40辆 C ．60辆 D ．80辆
12．过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线
的两条渐近线的交点分别为,B C ．若1
2
AB BC =
，则双曲线的离心率是 A
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知圆22:30(,C x y bx ay a b +++-=为正实数）上任意一点关于直线:20l x y ++=的对称点都在圆C 上，则13
a b
+的最小值为 。

14．在103)1)(1(a a +-的展开式中，a 5的系数是 .（用数字作答）
15．10人排成一列，现交换部分人的位置，则至少有两个人不在原位置上的排法种数有 .（不要求计算出数值）
16．对于任意实数a,b 定义运算a*b=（a+1）(b+1)-1,给出以下结论： ①对于任意实数a,b,c ，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);
②对于任意实数a,b,c ，有a*(b*c)=(a*b)*c;
③对于任意实数a,有a*0=a,则以上结论正确的是 .（写出你认为正确的结论的所有序号）
三、解答题（本大题共6个小题，总分70分） 17．已知函数()sin(),f x x ωϕ=+其中0ω>，||2
π
ϕ<
（I ）若cos
cos sin
sin 0,4
4
π
π
ϕϕ3-=求ϕ的值； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若函数()f x 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于
3
π， 求函数()f x 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数()f x 的图像象左平移m 个单位所对应的函数是偶函数。

18．（理）有人预测:在2010年的广州亚运会上,排球赛决赛将在中国队与日本队之间展开,据以往统计, 中国队在每局比赛中胜日本队的概率为3
2
,比赛采取五局三胜制,即谁先胜三局谁就获胜,并停止比赛
（Ⅰ）求中国队以3:1获胜的概率； （Ⅱ）设ξ表示比赛的局数,求ξ的期望值。

18．（文）甲、乙两人玩一种游戏：5个球上分别标有数字1、2、3、4、5，甲先摸出一个球，
记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢，
（1）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率； （2）这种游戏规则公平吗？试说明理由.
19．如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直．已知2=AB ,1=EF ．
（Ⅰ）求证：平面⊥DAF 平面CBF ； （Ⅱ）求直线AB 与平面CBF 所成角的大小；
(Ⅲ)当AD 的长为何值时，二面角B FE D --的大小为
60？
20．已知定点1020A(,),F(,)-，定直线12
l :x =
，不在x 轴上的动点P
它到直线l 的距离的2倍.设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B C 、两点，直线
AB AC 、分别交l 于点M N 、
（Ⅰ）求E 的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由.
21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈在函数x x x f 23)(2-=的图象上， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
3
+⋅=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T .
22．（理）设x a x
a x x f ln 1
)(---
= )(R a ∈． （1）若1=x 是函数)(x f 的极大值点，求a 的取值范围；
（2）当),1[]11,(+∞++-∞∈e e a 时，若在],1[e e
x ∈上至少存在一点0x ，使
1)(0->e x f 成立，求a 的取值范围．
（文）设函数d cx bx ax x f y +++==2
3
)(的图象与y 轴的交点为P 点，曲线在点P 处的
切线方程为0412=--y x 。

若函数在2=x 处取得极值0，试求函数的单调区间。

秦安一中2011—2012学年度高三、补习班周考练（四）
参考答案
一、选择题
1．B 2.（理）B （文）B 3.C 4.D 5.B 6.B 7.D 8.D 9.A 10.B 11.（理）A (文)B 12.C
二、填空题
13．
1+ 14．207 15．110
10-A 16．答案：②③
三、解答题
17．【解析】方法一：（I ）由3cos
cos sin
sin 04
4π
πϕϕ-=得cos cos sin sin 044
ππ
ϕϕ-= 即cos(
)04
π
ϕ+=又||,2
4
π
π
ϕϕ<
∴=
（Ⅱ）由（I ）得，()sin()4
f x x π
ω=+依题意，得
23
T π
= 又2,T π
ω=
故3,()sin(3)4
f x x π
ω=∴=+ 函数()f x 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为
()sin 3()4g x x m π⎡
⎤=++⎢⎥⎣
⎦
()g x 是偶函数当且仅当3()4
2
m k k Z π
π
π+=+
∈ 即()312
k m k Z ππ
=
+∈ 从而，最小正实数12
m π= 方法二：（I ）同方法一
（Ⅱ）由（I ）得，()sin()4
f x x π
ω=+ 依题意，得
23
T π= 又2T π
ω
=
，故3,()sin(3)4
f x x π
ω=∴=+
函数()f x 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为()sin 3()4g x x m π⎡⎤
=++
⎢⎥⎣
⎦
()g x 是偶函数当且仅当()()g x g x -=对x R ∈恒成立
亦即sin[(33)]sin(33)4
4
x m x m π
π
-++
=++
对x R ∈恒成立。

sin(3)cos(3)cos(3)sin(3)
44
x m x m ππ
∴-++-+sin 3cos(3)cos3sin(3)44
x m x m ππ
=+++
即2sin 3cos(3)04x m π
+=对x R ∈恒成立。

cos(3)04
m π
∴+= 故3()4
2
m k k Z π
π
π+
=+
∈
()312
k m k Z ππ
∴=
+∈ 从而，最小正实数12
m π=
18．（理）【解析】若中国队以3:1获胜,则前3局中国队恰好胜2局,然后第4局胜.所以,
2232128()()33327P A C =⋅⋅=
(Ⅱ)3,4,5ξ=
()33211
3()()333P ξ==+=
;
()()2331210
4()3327P P A C ξ==+⋅=
()()()8513427P P P ξξξ==-=-==
所以所求的ξ的期望值
110826
3453
3272727E ξ=⋅+⋅+⋅=
（文）解：（1）设“甲胜且数字之和为6”为事件A ，事件A 包含的基本事件为
(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5，共5个，又甲、乙二人取出的数字共有5525⨯=种等可能
的结果，所以51
()255
P A =
=. 19．【解析】（Ⅰ） 平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥,
平面 ABCD 平面ABEF =AB ，
⊥∴CB 平面ABEF ．
⊂AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴，
又AB 为圆O 的直径，BF AF ⊥∴，
⊥∴AF 平面CBF ．
⊂AF 平面ADF ，∴平面⊥DAF 平面CBF ．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的证明，有⊥AF 平面CBF ，∴FB 为AB 在 平面CBF 上的射影，
因此，ABF ∠为直线AB 与平面CBF 所成的角．
EF AB // ，∴四边形ABEF 为等腰梯形，
过点F 作AB FH ⊥，交AB 于H ．
2=AB ,1=EF ，则2
1
2=-=
EF AB AH ． 在AFB Rt ∆中，根据射影定理AB AH AF ⋅=2
，得1=AF ．
2
1
sin ==
∠AB AF ABF ， 30=∠∴ABF ． ∴直线AB 与平面CBF 所成角的大小为
30．
(Ⅲ) 设EF 中点为G ，以O 为坐标原点，OA 、OG 、AD 方向 分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系（如图） 设t AD =)0(>t ，则点D 的坐标为),0,1(t
在AFH Rt ∆中，21=
AH ，1=AF ,2
3=∴FH ． ∴点F 的坐标为)0,23,21(，点E 的坐标为)0,23
,21(-, ),23,21(t --=∴
，3()2DE t =--
设平面DEF 的法向量为),,(1z y x n =，则01=⋅n ,01=⋅n ．
即⎪⎩
⎪⎨⎧=-+-=-+-.023,023
2321tz y x tz y x 令3=z ，解得t y x 2,0==
)3,2,0(1t n =∴
取平面BEF 的一个法向量为)1,0,0(2=n ，依题意1n 与2n 的夹角为
60
60cos n n ⋅=
∴ ，即
1
343
00212⋅+++=
t ， 解得23±=t （负值舍去） 因此，当AD 的长为
2
3时，二面角B FE D --的大小为
60． 20．【命题立意】本题主要考查轨迹方程、直线方程、直线和双曲线相交交点问题、圆的性质等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及推理运算能力.
【思路点拨】（Ⅰ）可直接设点，利用已知条件求轨迹方程，属送分题.
（Ⅱ）结合图形，要判断线段MN 为直径的圆是否过点F ，一从长度判断：点F 到MN 的中点的距离是否是线段MN 长度的一半，这个计算量更大些；二从位置关系判断：若F 在以MN 为直径的圆上，则MFN ∠为直角， 即MF NF ⊥,因平面坐标系内点的坐标易求，从而转化为向量的坐标运算，即判断0MF NF ⋅=是否成立.
【规范解答】（I ）设(,)(0)P x y y ≠
1
22x =-
，
整理可得22
1(0)3y x y -=≠. ∴E 的方程的为22
1(0)
3y x y -=≠.
（II ）①当直线BC 与x 轴不垂直时，设BC 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，
由2
21,3(2).y x y k x ⎧-=⎪⎨
⎪=-⎩消去y 得
222(3)4(43)0k x k x k -+-+=. 由题意知，2
30k -≠且0∆>.
设
11(,)B x y ，22(,)C x y 则212243k x x k +=-，2122
43
3k x x k +=-. []
2212121212(2)(2)2()4y y k x x k x x x x =--=-++222
2
222
4389(4)333k k k k k k k +-=-+=---，
∵
121x x ≠-，，∴直线AB 的方程为
1
1(1)1y y x x =
++, 因此M 点的坐标为
1131(,)22(1)y x +,
1133(,)22(1)y FM x =-+,同理可得2233
(,)
22(1)y FN x =-+, ∴
1212933()()224(1)(1)y y FM FN x x ⋅=-⨯-+
++
22222281999304344444(1)33k k k k k k --=+=-=+++--.
∴FM FN ⊥,即以线段MN 为直径的圆过点F .
②当直线BC 与x 轴垂直时，其方程为2x =，则(2,3),(2,3)B C -,
AB 的方程为1y x =+，因此M 点的坐标为13(,)22，33
(,)
22FM =-.同理可得33
(,)
22FN =--.
∴3333
()()0
2222FM FN ⋅=-⨯-+-⨯=（）.∴FM FN ⊥,即以线段MN 为直径的圆过点F .
综上，以线段MN 为直径的圆过点F .
【方法技巧】利用方程组求解直线和圆锥曲线的交点问题是通用方法，判断垂直的问题可借助向量的数量积解决.注重数形结合的思想，很多几何性质，从图形可直观体现出来. 21．【解析】(1)由题意可知：n n S n 232-=
当56)1(2)1(323,2221-=-+---=-=≥-n n n n n S S a n n n n ….4分 又因为111==S a ………….. 5分 所以56-=n a n ………….6分 （2）)1
61
561(21)16)(56(331+--=+-==
+n n n n a a b n n n 。

8分 所以1
63))1611(21)161561...13171711(21+=+-=+--++-+-=
n n n n n T n ……12分 22．（理）【解析】2222
1(1)(1)[(1)]
'()1(0)a a x ax a x x a f x x x x x x
--+----=+-==>（2分）
当10a -≤即1a ≤时，
当011a <-<即12a <<时，
当11a -=即2a =时
当11a ->即2a >时，
综上所述，当11a ->，即2a >时，1=x 是函数)(x f 的极大值点．（6分） （2）在],1
[e e x ∈上至少存在一点0x ，使1)(0->e x f 成立，等价于
当],1
[e e
x ∈时, max ()1f x e >-． （9分）
由（1）知，①当11a e ≤+，即1
1a e
-≤时，
函数)(x f 在1
[,1]e
上递减，在[1,]e 上递增，
max 1
()max{(),()}f x f f e e
∴=．
由11()(1)1f a e a e e e =--+>-，解得21e a e e
+<-．
由1()1a f e e a e e
-=-->-，解得1a < 211e e e
+<-， 1a ∴<； ②当1a e ≥+，即1a e -≥时，函数)(x f 在1
[,1]e
上递增，在[1,]e 上递减， max ()(1)211f x f a e e ==-≤-<-．
综上所述，当1a <时，在],1[e e x ∈上至少存在一点0x ，使1)(0->e x f 成立． （12分）
（文）解析：∵函数d cx bx ax x f y +++==23)(的图象与y 轴的交点为P 点， ∴点,'),,0(0c y d P x == ∴曲线在P 点处的切线方程为d cx y +=
由题设知，曲线在点P 处的切线方程为0412=--y x ，4,12-==∴d c 又函数在2=x 处取得极值0，9,2,0)2(',0)2(-==∴==∴b a f f
)2)(1(6)(',41292)(23--=-+-=∴x x x f x x x x f
由21,0)(';120)('<<<<>>x x f x x x f 得或，得
所以函数)(x f 的单调递增区间为),2()1,(∞-∞和，单调递减区间为)2,1(。