炎陵县第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

炎陵县第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m ），且∥，则=（
）
A ．（﹣5，﹣10）
B ．（﹣4，﹣8）
C ．（﹣3，﹣6）
D ．（﹣2，﹣4）
2． =（
）
A ．﹣i
B ．i
C ．1+i
D ．1﹣i
3． 等比数列{a n }中，a 3，a 9是方程3x 2﹣11x+9=0的两个根，则a 6=（ ）
A ．3
B ．
C ．±
D ．以上皆非
4． 已知集合A ，B ，C 中，A ⊆B ，A ⊆C ，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A 的子集最多有（
）
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
5． 若函数f （x ）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f （﹣3）=0，则（x ﹣2）f （x ）＜0的解集是（ ）
A ．（﹣3，0）∪（2，3）
B ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
C ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
D ．（﹣3，0）∪（2，
+∞）
6． 某几何体的三视图如图所示（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（
）
A ．20+2π
B ．20+3π
C ．24+3π
D ．24+3π
7． 在正方体中，是线段的中点，若四面体的外接球体积为，1111ABCD A B C D -M 11AC M ABD -36p 则正方体棱长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题，意在考查空间想象能力和基本运算能力．8． 某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用框图表示，这种框图通常称为（ ）
A ．程序流程图
B ．工序流程图
C ．知识结构图
D ．组织结构图
9． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）
A ． 2
B ．4
C ．
D ．
3
43
8
【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.
10．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．设a ，b 为实数，若复数，则a ﹣b=（
）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．1
D ．2
12．“方程+=1表示椭圆”是“﹣3＜m ＜5”的（ ）条件．
A ．必要不充分
B ．充要
C ．充分不必要
D ．不充分不必要
二、填空题
13．f （x ）=x （x ﹣c ）2在x=2处有极大值，则常数c 的值为 ．14．已知集合
，若3∈M ，5∉M ，则实数a 的取值范围是 ．
14．若x ，y 满足线性约束条件，则z=2x+4y 的最大值为 ．
15．直线与抛物线交于，两点，且与轴负半轴相交，若为坐标原点，则
20x y t +-=216y x =A B x O 面积的最大值为
.
OAB ∆【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决问题的能力.
16．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x 1，x 2，…，x 90和y 1，y 2，…，y 90，在90组数对（x i ，y i ）（1≤i ≤90，i ∈N *）中，经统计有25组数对满足
，则以此估计的π值为 ．
17．过点（0，1）的直线与x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，则|AB|的最小值为 ．18．多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm ） ．
三、解答题
19．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
(不等式选做题)设
，且
，则的最小值为
（几何证明选做题）如图，中，
，以
为直径的半圆分别交
于点
，
若
,则
20．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．
()|21|f x x =-（1）若不等式的解集为，求实数的值；1(21(0)2
f x m m +≤+>(][),22,-∞-+∞ m （2）若不等式，对任意的实数恒成立，求实数的最小值．()2|23|2
y
y a
f x x ≤+
++,x y R ∈a 【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．
21．如图，四棱锥中，，P ABC -,//,3,PA BC 4PA ABCD AD BC AB AD AC ⊥=====M 为线段上一点，为的中点．
AD 2,AM MD N =PC
（1）证明：平面；
//MN PAB （2）求直线与平面所成角的正弦值；
AN PMN
22．已知向量=（x ， y ），=（1，0），且（+）•（﹣）=0．
（1）求点Q （x ，y ）的轨迹C 的方程；
（2）设曲线C 与直线y=kx+m 相交于不同的两点M 、N ，又点A （0，﹣1），当|AM|=|AN|时，求实数m 的取值范围．　
23．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为C 1：为参数），曲线C 2： =1．
（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ=（ρ≥0）与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的交点为B ，求|AB|．
24．（本小题满分12分）已知分别是椭圆：的两个焦点，是椭圆上12,F F C 22
221(0)x y a b a b
+=>>P
成等差数列．
1122|,|||PF F F PF （1）求椭圆的标准方程；、
C （2）已知动直线过点，且与椭圆交于两点，试问轴上是否存在定点，使得l F C A B 、x Q 7
16
QA QB ⋅=-
恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
Q
炎陵县第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：排除法：横坐标为2+（﹣6）=﹣4，
故选B．
2．【答案】B
【解析】解：===i．
故选：B．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．
3．【答案】C
【解析】解：∵a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，
∴a3a9=3，
又数列{a n}是等比数列，
则a62=a3a9=3，即a6=±．
故选C
4．【答案】B
【解析】解：因为B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，且A⊆B，A⊆C；
∴A⊆B∩C={0，2}
∴集合A可能为{0，2}，即最多有2个元素，
故最多有4个子集．
故选：B．
5．【答案】A
【解析】解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，
∴在（﹣∞，0）内f（x）也是增函数，
又∵f（﹣3）=0，
∴f（3）=0
∴当x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）时，f（x）＜0；当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，f（x）＞0；
∴（x﹣2）•f（x）＜0的解集是（﹣3，0）∪（2，3）
故选：A．
6．【答案】B
【解析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以侧视图为底面的柱体（一个半圆柱与正方体的组合体），其底面面积S=2×2+=4+，
底面周长C=2×3+=6+π，高为2，
故柱体的侧面积为：（6+π）×2=12+2π，
故柱体的全面积为：12+2π+2（4+）=20+3π，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．
7．【答案】C
8．【答案】D
【解析】解：用来描述系统结构的图示是结构图，
某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用组织结构图表示．
故选D．
【点评】本题考查结构图和流程图的概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
9．【答案】B
10．【答案】A
【解析】解：由三视图知几何体为半个圆锥，且圆锥的底面圆半径为1，高为2，
∴母线长为，
圆锥的表面积S=S底面+S侧面=×π×12+×2×2+×π×=2+．
故选A．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．
11．【答案】C
【解析】解：，因此．a﹣b=1．
故选：C．
12．【答案】C
【解析】解：若方程+=1表示椭圆，则满足，即，
即﹣3＜m＜5且m≠1，此时﹣3＜m＜5成立，即充分性成立，
当m=1时，满足﹣3＜m＜5，但此时方程+=1即为x2+y2=4为圆，不是椭圆，不满足条件．即必要性不成立．
故“方程+=1表示椭圆”是“﹣3＜m＜5”的充分不必要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查椭圆的标准方程，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，是基础题．
二、填空题
13．【答案】　6　．
【解析】解：f（x）=x3﹣2cx2+c2x，f′（x）=3x2﹣4cx+c2，
f′（2）=0⇒c=2或c=6．若c=2，f′（x）=3x2﹣8x+4，
令f′（x）＞0⇒x＜或x＞2，f′（x）＜0⇒＜x＜2，
故函数在（﹣∝，）及（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减，
∴x=2是极小值点．故c=2不合题意，c=6．
故答案为6
【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，会利用待定系数法求函数解析式．
14．【答案】　38　．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+4y得y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，
直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，
由，解得，
即A（3，8），
此时z=2×3+4×8=6+32=32，
故答案为：38
15．
【解析】
16．【答案】 ．
【解析】设A（1，1），B（﹣1，﹣1），则直线AB过原点，且阴影面积等于直线AB与圆弧所
围成的弓形面积S1，由图知，，又，所以
【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式，属于中档题．　
17．【答案】　2　
【解析】解：∵x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，
∴点（0，1）到圆心O（0，0）的距离d=1，
∴点（0，1）在圆内．
如图，|AB|最小时，弦心距最大为1，
∴|AB|min=2=2．
故答案为：2．
18．【答案】　cm3　．
【解析】解：如图所示，
由三视图可知：
该几何体为三棱锥P﹣ABC．
该几何体可以看成是两个底面均为△PCD ，高分别为AD 和BD 的棱锥形成的组合体，
由几何体的俯视图可得：△PCD 的面积S=×4×4=8cm 2，
由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm ，
故几何体的体积V=×8×4=
cm 3，故答案为： cm 3【点评】本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键．　
三、解答题19．【答案】
【解析】A
B
20．【答案】
【解析】（1）由题意，知不等式解集为．
|2|21(0)x m m ≤+>(][),22,-∞-+∞ 由，得，……………………2分|2|21x m ≤+1122m x m --
≤≤+所以，由，解得．……………………4分122m +=32
m =（2）不等式等价于，()2|23|2y y a f x x ≤+++|21||23|22y y a x x --+≤+
由题意知．……………………6分max (|21||23|)22y y
a x x --+≤+
21．【答案】（1）证明见解析；（2.【解析】试
题解析：
（2）在三角形中，由，得AMC 22,3,cos 3
AM AC MAC ==∠=，
2222cos 5CM AC AM AC AN MAC =+-∠=A A ，则，
222AM MC AC +=AM MC ⊥∵底面平面，
PA ⊥,ABCD PA ⊂PAD ∴平面平面，且平面平面，
ABCD ⊥PAD ABCD PAD AD =∴平面，则平面平面，
CM ⊥PAD PNM ⊥PAD 在平面内，过作，交于，连结，则为直线与平面所成角。

PAD A AF PM ⊥PM F NF ANF ∠AN PMN
在中，由，得，Rt PAM ∆PA AM PM AF =A A AF =
sin ANF ∠=
所以直线与平面．1AN PMN
考点：立体几何证明垂直与平行．
22．【答案】
【解析】解：（1）由题意向量=（x，y），=（1，0），且（+）•（﹣）=0，
∴，
化简得，
∴Q点的轨迹C的方程为．…
（2）由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1．①…
（i）当k≠0时，设弦MN的中点为P（x P，y P），x M、x N分别为点M、N的横坐标，则
，
从而，，…
又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN．
则，即2m=3k2+1，②
将②代入①得2m＞m2，解得0＜m＜2，由②得，解得，
故所求的m的取值范围是（，2）．…
（ii）当k=0时，|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，m2＜3k2+1，
解得﹣1＜m＜1．…
综上，当k≠0时，m的取值范围是（，2），
当k=0时，m的取值范围是（﹣1，1）．…
【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．　
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）曲线为参数）可化为普通方程：（x﹣1）2+y2=1，
由可得曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）=2．
（Ⅱ）射线
与曲线C 1的交点A 的极径为，射线
与曲线C 2的交点B 的极径满足，解得，所以
．
24．【答案】【解析】【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识，意在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力，以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用．
下面证明时，恒成立．54m =716
QA QB ⋅=- 当直线的斜率为0时，结论成立；
l 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，
l l 1x ty =+()11,A x y ()22,B x y
由及，得，1x ty =+2
212
x y +=22(2)210t y ty ++-=所以，∴．0∆>12122221,22
t y y y y t t +=-=-++，，
111x ty =+221x ty =+∴=＝112212125511(,)(,)()4444x y x y ty ty y y -⋅-=--+2(1)t +121211()416
y y t y y -++．22222211212217(1)242162(2)1616
t t t t t t t t --+-++⋅+=+=-+++综上所述，在轴上存在点使得恒成立．x 5(,0)4Q 716
QA QB ⋅=-。