山东省青岛第二中学高考数学打靶测试试题理

山东省青岛第二中学2016届高考数学打靶测试试题 理
(时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数2
2 (
)1i i
-（其中i 为虚数单位）的虚部等于（ ） A ．i - B ．1- C ．1 D ．0
2．已知集合}30|{<<=x x M ，}045|{2
≥+-=x x x N ，则M
N =（ ）
A ．{|01}x x <≤
B ．{|13}x x ≤<
C ．{|04}x x <≤
D ．{|0x x <或4}x ≥ 3．下列命题中正确的是（ ）
A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题
B ．“0a >，0b >”是“
2b a
a b
+≥”的充分必要条件 C ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若
1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”
D ．命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，使得
210x x +-≥
4．某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于37，则输入的整数i 的最大值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
5．设m , n 是两条不同的直线， , 是两个不同的平面，下列命题为真的是（ ） A ．若m , n ，且 ，则m n B ．若m / / , n / / ，且 / / ，则m / /n C ．若m , n ，且m n ，则 D ．若m , n ，且m / / ， n / / ，则 / /
6．下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程
x y
53ˆ-=，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③回归方程a bx y +=ˆ必过)(y x ，；④有一个2×2列联表中，由计算得2
χ=7．079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中错
误的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
本题可以参考独立性检验临界值表：
P(2
χ≥0
k )
0．05 0．010
0k
3．841 6．635
7．网格纸上小正方形的边长为1，一个正三棱锥的左视图如图所示，则这个正三棱锥的体积为（ ）A ．3 B ．33 C ．
92
D ．9
32 8．现有4名选手参加演讲比赛活动，若每位选手可以从4个题目中任意选1个，则恰有1个题目没有被这4位选手选中的情况有（ ）
A ．36种
B ．72种
C ．144种
D ．288种
9．若实数,x y 满足2
20
5y x y x
⎧-≥⎪⎨≤-⎪⎩，则y x 2+的最大值是（ ）
A ．3
B ．25
C ．5
D ．55
10．椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，
使得21F PF ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．12,
33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．111,,1322⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()
a b a b λλ+⊥-，则实数λ=________．
12．设),0(πα∈，若54
)6cos(=
+
π
α，则αsin 的值为 ．
13．右图阴影部分是由曲线2y x =和圆22
2=+y x 及x 轴围成的封闭图
形，则封闭图形的面积为_______________．
14．若函数a x x x f -++=21)()0(>a 的最小值为5，则实数
y
x
2
1082-264O A
P
B
C
E
D a =_______．
15
．
已
知
函
数
(](]⎪⎩⎪
⎨⎧∈-∈-+=1,00,131
1
)(x x x x x f ，
，，且
m mx x f x g --=)()(在(]11，
-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是_______________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin()(>0,>0,)2
f x A x A ωϕωϕπ=+<的部分图象如下图
所示，
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ，，对的边分别为c b a ，，，若()f x 在[4,12]x ∈上的最大值为c 且︒=60C ，求
ABC ∆的面积的最大值．
17．（本小题满分12分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥ABCD P -中，AC AB ⊥，⊥PA 平面ABCD ，且
AB PA =，点E 是PD 的中点． （Ⅰ）求证：//PB 平面AEC ；
（Ⅱ）求二面角B AC E --的大小．
18．（本小题满分12分）为落实国务院“十三五”规
划中的社会民生建设，某医院到社区检查老年人的体
质健康情况．从该社区全体老年人中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式如图：根据老年人体质健康标准，成绩不低于80的为优良．
（Ⅰ）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；
（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的人数，求ξ的分布列及期望．
19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，111
,1,33,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩
为奇数，
为偶数.
（I ）求证：数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是等比数列； （II ）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，求n S 2．
20．（本小题满分13分）已知函数x x f ln )(=．
（Ⅰ）若方程x a x f =+)(有且只有一个实数解，求a 的值； （Ⅱ）若函数)2
5
(21)()(2≥-+
=m mx x x f x g 的极值点21x x ，)(21x x <恰好是函数bx cx x f x h --=2)()(的零点，求)2
()(2
121x x h x x y +'-=的最小值．
21．（本小题满分14分）已知抛物线2
2(0)y px p =>上的任意一点P 到该抛物线焦点的距离比该点到y 轴的距离多1． （Ⅰ）求p 的值；
（Ⅱ）如图所示，过定点Q （2，0）且互相垂直的两条直线1l 、
2l 分别与该抛物线分别交于A 、C 、B 、D 四点．
（ⅰ）求四边形ABCD 面积的最小值；
（ⅱ）设线段AC 、BD 的中点分别为M 、N 两点，试问：直线MN 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
青岛二中高三数学理科考前模拟训练参考答案
一、选择题：BADBA BBCCD 二、填空题：11.3±；12.10
4
33-；13.614-π；14.4；15.]21,0(]2,49( --
三、解答题：
16．（Ⅰ）()2sin()8
4
f x x ππ
=+；
（Ⅱ）结合图像可知1c =，由余弦定理得222
2cos c a b ab C =+-，
2212a b ab ab ab ab =+--=≥， 1133sin 1,2
2
2
4
ABC ab C S ⨯⨯
=
=△≤
所以ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值为
34
17. 解：（Ⅰ）连接BD 交AC 于点F ,
因为ABCD 是平行四边形，对角线互相平分，
所以F 是BD 中点， 点E 是PD 中点，所以PB EF //, 又⊄PB 平面AEC ,所以//PB 平面AEC ；----7分 （Ⅱ）取AD 中点G ，连接EG ,⊥PA 平面ABCD ， PA EG //，⊥EG 平面ABCD ， AC EG ⊥∴，-----------9分 连接GF AB GF //∴，AC AB ⊥， AC GF ⊥∴，AC EF ⊥∴
∴二面角D AC E --的平面角就是EFG ∠, 令2==AB PA ，
在 EFG Rt ∆中 1=EG ，1=FG ，4
π
=
∠∴EFG ，
又二面角B AC E --的大小与二面角D AC E --的大小互补
∴二面角B AC E --的大小为π4
3
18. 故从该社区中任选1人，成绩是“优良”的概率为2
3
， ………………2分
设“在该社区老人中任选3人，至少有1人成绩是‘优良’的事件”为A ， 则0
3
32126()1(1)13
2727
P A C =-⨯-=-
=； ………………5分 （Ⅱ）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．
3
431241(0)22055C P C ξ====，12843124812
(1)22055
C C P C ξ====，
218431211228(2)22055C C P C ξ====，383
125614
(3)22055
C P C ξ====，……………9分 所以ξ的分布列为 ξ 0
1 2 3
P
1
55 1255 2855 1455
1122814
0123255555555
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=．.............12分
19. 解：（Ⅰ）设23
2
n n b a =-
， 因为21221221
33(21)3223322
n n n n
n n a n a b b a a +++++--
=
=--
=2213(6)(21)3232n n a n n a -++--=2211132332n n a a -=-, 所以数列23{}2n a -是以232a -即16
-为首项，以1
3为公比的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得1
23111126323n n n n b a -⎛⎫
⎛⎫=-=-⋅=-⋅ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭，即2113
232
n
n a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，
由2211(21)3n n a a n -=
+-，得12121115
33(21)()6232
n n n a a n n --=--=-⋅-+， 所以12121111[()()]692()692333n n n
n n a a n n --+=-⋅+-+=-⋅-+，
21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++
++
2111
2[()()]6(12)9333n n n =-+++-++++
11[1()]
(1)3
32691213
n n n n -+=-⋅-⋅+-2211()136()3(1)233n n n n n =--+=--+ 20.【解析】 (Ⅰ)由题意知：函数()ln()y f x a x a =+=+与y x =相切，设切点00(,),P x y
1
,y x a
'=
+011x a ∴
=+又有00ln()x x a =+∴00,x = 所以1a = （Ⅱ）21
'()x mx g x x -+=由题意知：210x mx -+=的两个根为1212,()x x x x <
1212,1x x m x x ∴+==又因为12,x x 是函数2()()h x f x cx bx =--的零点 2111ln 0x cx bx ∴--=，2222ln 0x cx bx --=
两式相减得：12
1212
ln
()x x b c x x x x =-+-
12
12()(
)2
x x y x x h +'=-1212122()[
()]x x c x x b x x =--+-+
1
2121212
ln
2
()[]x x x x x x x x =--+-1211222()ln x x x x x x -=
-+121122
2(1)ln 1x x x x x x -=-+， 令
12,(01)x t t x =<<由1212,1x x m x x +==得212,t m t ++=又52m ≥，得1(0,]4
t ∈， 设函数2(1)
()ln 1
t G t t t -=-+，22
(1)'()0(1)t G t t t --=<+ 所以()G x 在1
(0,]4t ∈上单调递减，所有min 16
()()2ln 245
G x G ==-+ 21. 【解析】（1）由已知
12
p
=∴2p = （2）（i ）由题意可设直线
1的方程为
2x my =+（0m ≠）
，代入24y x =得2
480y my --= 设1122(,),()A x y C x y 则121248
y y m y y +=⎧⎨
=-⎩，2
16(2)0m ∆=+>
∴2
2
2
2
2
2
1212121212()()(1)()(1)[()4]AC x x y y m y y m y y y y =-++=+-=+--
242(1)(1632)4(1)(2)432m m m m m m 222=++=++=++ 6分
同理可得42
134
2BD m m =++ 7分 S 四边形ABCD 4242113
=
8(32)(2)2AC BD m m m m
=++++ 42222
4222
111182()9()1482()9()10m m m m m m m m =+
+++=++++ 8分 设22
1t m m =+
则2t ≥∴S 四边形ABCD 282910t t =++ ∵函数2
2910y t t =++在[)2,+∞上是增函数
∴S 四边形ABCD 83648≥=，当且仅当即2t =即1m =±时取等号 ∴四边形ABCD 面积的最小值是48. 9分 （ii ）由①得124,y y m +=∴12
+y 22
M y y m =
=∴2222M M x my m =+=+ ∴2
(22,2)M m m +， 11分
同理得222(2,)N m m
+
- 12分 ∴直线的方程可表示为
222(2)(
2)y m m m --22(2)(22)m x m m
=---- 即2
2
(2)(1)(22)y m m m x m --=--- 当0y =时得4x =
∴直线MN 过定点（4,0）. 14分
注：第（2）中的第（i ）问：
S 四边形ABCD 2222
1
11=
8(1)(2)(
1(+2)2
AC BD m m m m =+++）
=
48≥=（当且仅当1m =±时取等号）也可.。