中考攻略中考数学专题15函数关系式的建立方法探讨

【2020年中考攻略】专题15：函数关系式的成立方法商讨
“模型思想的成立是学生领会和理解数学与外面世界联系的基本门路。

成立和求解模型的过程包含：从现实生活或详细情境中抽象出数学识题，用数学符号成立
方程、不等式、函数等表示数学识题中的数目关系和变化规律，求出结
果、并议论结果的意义。

这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提升学习数学的兴趣
和应意图识。

”这是《课标》对于模型思想的一段描绘。

所以，各地中
考试卷都有“方程（组）、不等式（组）、函数建模及其应用”类问题，专题5和6已经对方程（组）、不等式（组）的建模及其应用进行了商
讨，本专题再对函数建模及其应用进行商讨。

联合2020年全国各地中考的实例，我们从下边五方面进行函数关系式成立方法的商讨：（1）应用待定系数成立函数关系式；（2）应用等量关
系成立函数关系式；
3）应用几何关系成立函数关系式；（4）应用分段剖析成立函数关系式；
（5）应用猜想研究成立函数关系式。

一、应用待定系数成立函数关系式：待定系数法是解决求函数分析式问
题的常用方法，求函数分析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。

这类方法合用于已知了函数种类（或函数图象）的一类函数建模问题。

确立直线或曲线方程就是要确立方程中x的系数与常数，我们经常先设
它们为未知数，依据点在曲线上，点的坐
标知足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数，
写出表达式。

这是平面分析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。

初中阶段主要有正比率
函数、一次函数、反比率函数、二次函数这几类函数，前方三种分别可
设y=kx，
k
的形式(此中k、b为待定系数，且k≠0)。

而二次函数能够依据题目
y=kx+b，y
x
3)所给条件的不一样，设成一般式y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，极点式y=a(x－h)2+k(a、k、h
为待定系数)，交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a、x1、x2为待定系数)三类形式。

依据题意(能够是语句形式，
也能够是图象形式)，确立出a、b、c、k、x1、x2等候定系数，求出函数分析式。

典型例题：例1：（2020江苏南通3分）不论a取什么实数，点P(a－1，2a－都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的
点，则(2m－n＋3)2的值等于▲．
【答案】16。

【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。

【剖析】∵因为a不论为何值此点均在直线l上，
∴令a=0，则P1（－1，－3）；再令a=1，则P2（0，－1）。

设直线l的分析式为y=kx+b（k≠0），
∴k b3，解得k2。

b1b1
∴∴直线l的分析式为：y=2x－1。

∵Q（m，n）是直线l上的点，∴2m－1=n，即2m－n=1。

∴(2m－n＋3)2=（1+3）2=16。

例2：（2020山东聊城7分）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交
于点
B（0，﹣2）．
1）求直线AB的分析式；
2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．
【答案】解：（1）设直线AB的分析式为y=kx+b，
∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），
kb0，解得k2。

b= 2 b= 2
∴直线AB的分析式为y=2x﹣2。

（2）设点C的坐标为（x，y），
∵S△BOC=2，∴1?2?x=2，解得x=2。

2
y=2×2﹣2=2。

∴点C的坐标是（2，2）。

【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【剖析】（1）设直线AB的分析式为y=kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别
代入分析式即可构成方程组，进而获取AB的分析式。

（2）设点C的坐标为（x，y），依据三角形面积公式以及
S△BOC=2求出C的
横坐标，再代入直线即可求出y的值，进而获取其坐标。

例3：（2020湖南岳阳8分）游泳池常需进行换水冲洗，图中的折线表示的是游泳池
换水冲洗过程“排水﹣﹣冲洗﹣﹣注水”中水量3
y（m）与时间t（min）之间的函
数关系式．
3
（1）依据图中供给的信息，求整个换水冲洗过程水量y（m）与时间t（min）的函数分析式；（2）问：排水、冲洗、注水各花多少时间？
【答案】解：（1）排水阶段：设分析式为：y=kt+b，
∵图象经过（0，1500），（25，1000），
∴b=1500
，解
得：k=20。

∴排水阶段分析式为：y=﹣
25k+b=1
000b=1500
20t+1500。

冲洗阶段：y=0。

注水阶段：设分析式为：y=at+c，
∵图象经过（195，1000），（95，0），
∴195a+c=1000
，解得：a=10。

∴注水阶段分析式为：y=10t
95a+c=0
b
=
950
950。

2）∵排水阶段分析式为：y=﹣20t+1500，∴令y=0，即0=﹣20t+1500，
解得：t=75。

∴排水时间为75分钟。

冲洗时间为：95﹣75=20（分钟），
3
1500=10t﹣950，解得：t=245。

故注水所用时间为：245﹣95=150
（分钟）。

【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【剖析】（1）依据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段分析式，以及冲洗阶段：y=0和注水阶段分析式即可。

（2）依据（1）中所求分析式，即可得出图象与x轴交点坐标，即可得出答
案。

例4：（2020湖南娄底3分）已知反比率函数的图象经过点（﹣
1，2），则它的分析
式是
【】
A ．y 12
．
2
D．y
1 B．y C y
x 2x x x
【答案】B。

【考点】待定系数法求反比率函数分析式，曲线上点的坐标与方程的关系。

【剖析】设反比率函数图象设分析式为y k，
x
将点（﹣1，2）代入y k
得，k=﹣1×2=﹣2。

则函数分析式为y2。

故
x
x 选B。

例5：（2020江苏连云港12分）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的极点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，
求抛物线所对应的函数分析式；
求△ABD的面积；
将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G能否在该抛物线上？请说明原因．
【答案】解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，
∴点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)．
把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x2＋bx＋c，得
c=3
，解得b=2。

4+2b+c=3
c=3
∴抛物线所对应的函数分析式为y＝－x2＋2x＋3。

∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的极点坐标为D(1，4)。

∴△ABD中AB边的高为4。

令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3。

∴AB＝3－(－1)＝4。

∴△ABD的面积＝1×4×4＝8。

2
如图，△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，由（1）(2)可知OA＝1，OC=3，∵点A对应点G的坐标为(3，2)。

∵当x＝3时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2，
∴点G不在该抛物线上。

【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线图上点的坐标与方程的关系，解一元
二次方程，二次函数的性质，旋转的性质。

【剖析】(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，而后利用
待定系数法确立该函数的分析式。

依据(1)的函数分析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出△ABD的面积。

依据旋转条件求出点A对应点G的坐标，而后将点G的坐标代入抛物线的分析式中直接进行判断即可。

例6：（2020江苏无锡2分）若抛物线y=ax2+bx+c的极点是A（2，1），且经过点B
（1，0），则抛物线的函数关系式为▲．
【答案】y=﹣x2+4x﹣3。

【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。

【剖析】∵抛物线y=ax2+bx+c的极点是A（2，1），∴可设抛物线的分析式为
y=a（x
2）2+1。

22又∵抛物线y=a（x﹣2）+1经过点B（1，0），∴（1，0）知足y=a（x﹣2）+1。

（∴抛物线的函数关系式为y=﹣（x﹣2）2+1，即y=﹣x2+4x﹣3。

例7：（2020浙江宁波12分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，
0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．
1）求二次函数的分析式；
2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；
3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．①若M在y轴右
边，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；
②若⊙M的半径为45
，求点M的坐标．
5
【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0）
∴设该二次函数的分析式为：y=a（x+1）（x﹣2），
将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），解得a=1。

∴抛物线的分析式为y=
（x+1）（x﹣2），即y=x2﹣x﹣2。

2）设OP=x，则PC=PA=x+1，
在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，
解得，x=3，即OP=3。

2 2
3）①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO。

（i）如图1，当H在点C下方时，
∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x轴，∴y M=﹣2。

2
∴x﹣x﹣2=﹣2，解得x1=0（舍去），x2=1。

∴M（1，﹣2）。

ii）如图2，当H在点C上方时，∵∠M′CH=∠CAO，∴PA=PC。

由（2）得，M′为直线CP与抛物线的另一交点，设直线CM′的分析式为y=kx﹣2，
把P（3，0）的坐标代入，得3k﹣2=0，解得k=4。

2 2 3
∴y=4x﹣2。

3
由4x﹣2=x2﹣x﹣2，解得x1=0（舍去），x2=7。

33
此时
y=472
=
10。

339
∴M′（7，10
）。

3 9
4
②在x 轴上取一点D ，如图3，过点D 作DE⊥AC 于点E ，使DE= 5，
在Rt△AOC 中，AC=AO 2+CO 2=12+22
=5。

∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD， ∴△AED∽△AOC，
4 AD =DE ，即AD =
55
ACOC
52
，解得AD=2。

∴D（1，0）或D （﹣3，0）。

过点D 作DM∥AC，交抛物线于M ，如图
则直线DM 的分析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x ﹣6。

当﹣2x ﹣6=x 2﹣x ﹣2时，即x 2
+x+4=0，方程无实数根，
当﹣2x+2=x 2﹣x ﹣2 时，即 x 2
+x ﹣4=0，解得
x
1
117
，x 2 1+17。

2
2
∴点M 的坐标为（
1
17
，3+ 17）或
（
1+17，3
17
）。

2
2
练习题：
1. （2020上海市10分）某工厂生产一种产品，当生产数目起码为10吨，但不超
过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数目x（吨）的函数关系式以下图．（1）求y对于x的函数分析式，并写出它的定义域；
（2）当生产这类产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数目．（注：总成本=每吨的成本×生产数目）
2. （2020山东菏泽7分）如图，一次函数y=2
x
2的图象分别与x轴、y轴交于
3
点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．求过B、C两点直线的分析式．
（2020甘肃兰州4分）近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比率，已知
400度近视眼镜镜片的焦距为，则y与x的函数关系式为【】
A．y=4
00
B ．y=1
C ．y=100
D ．y= 1
x
4
x
x400x
4. （2020广东
佛山
8分）(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2＋bx
＋c的分析式；
①y随x变化的部分数值规律以下表：
x
－
10123
y03430
2
②有序数对（－1，0），（1，4），（3，0）知足y=ax＋bx＋c；
2
直接写出二次函数y=ax2＋bx＋c的三个性质．
（2020山东莱芜12分）如图，极点坐标为(2，－1)的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A、B两点．
求抛物线的表达式；
设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连结AC、AD，求△ACD的面积；
点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问
能否存在点E，使
得以D、E、F为极点的三角形与△BCO相像？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明原因．
6. （2020山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，
0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过
点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线l1、l2．
求抛物线对应二次函数的分析式；
求证以ON为直径的圆与直线l1相切；
求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN
的长．
二、应用等量关系成立函数关系式：等量关系法，又可称作方程转变法，即依据等量关系列出
含有两个未知数的等式（二元方程），而后整理成函数形式。

这类方法合用于“已知了对于变量之
间的等量关系（含公式）”类函数建模题。

常用的寻
找等量关系的方法有：（1）从常有的数目关系中找等量关系；（2）从重点句中找等量关系；（3）从题中反应的（或隐蔽的）基本数目关系确立等量关系。

（有关几何问题的等量关系我们在下边介
绍）
典型例题：例1.（2020宁夏区10分）某商场销售一种新鲜“酸奶”，此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出.这类“酸奶”的保质期不超出一天，对当天未售出的“酸奶”一定所有做销毁办理.
（1）该商场某一天购进20瓶酸奶进行销售.若设售出酸奶的瓶数为x（瓶），销售酸奶的利润为y
（元），写出这天销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式。

为保证商场
在销售这20瓶酸奶时不赔本，当天起码应售出多少瓶？
（2）小明在社会检查活动中，认识到近10天中间，该商场每天购进酸奶20瓶的销售状况统计以
下：
每天售出瓶数17 18 19 20
频数1 2 2 5
依据上表，求该商场这10天每天销售酸奶的利润的均匀数；
（3）小明依据（2）中，10天酸奶的销售状况统计，计算得出在近10天中间，
其实每天购进19瓶总赢利要比每天购进 20瓶总赢利还多.你以为小明的说法有道理
吗？试经过计算说明.
【答案】解：（1）由题意知，这天销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）
之间的函数关系式
为y=5x－60
当5x－60≥0时，x≥12，
∴当天起码应售出12瓶酸奶商场才不赔本。

（2）在这10天中间，利润为25元的有1天，30元的有2天，35元的有2天，40元的有
天，
∴这10天中，每天销售酸奶的利润的均匀数为（25+30×2+35×2+40×5）÷。

（3）小明说的有道理。

原因以下：
∵在这10天中间，每天购进20瓶赢利合计355元.
而每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）
之间的函数关系式为：y=5x－57
在10天中间，利润为28元的有1天，33元的有2天，38元的有7天，总赢利为28+33×2+38×7=360>355。

∴小明说
的有道理。

【考点】一次函数的应用。

【剖析】（1）依据此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出，该商场某一天购进20瓶酸奶进行销售，
即可得出y与x的函数关系式，再利用y大于0得出x的取值范围。

（2）依据频数散布表得出总数，进而得出均匀数即可。

（3）利用每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式，得出在10天中间，利润为28元的有1天，33元的有2天，8元的有7天，进而得出总利润，比较即可得出答案。

例2.（2020新疆区12分）库尔勒某乡A，B两村盛产香梨，A村有香梨200吨，B村有香梨300吨，现将这些香梨运到C，D两个冷藏库房．已知C库房可储藏240吨，D库房可储藏260吨，从A村运往C，D两处的花费分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的花费分别为每吨25元和32元．设从A村运往C库房的香梨
为x吨，A，B两村运香梨往两库房的运输花费分别为yA元，yB元．（1）请填写下表，并求出yA，yB与x之间的函数关系式；
C D总计
A x吨200吨
B300吨
总计240吨260吨500吨
2）当x为何值时，A村的运费较少？
3）请问如何调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值．【答案】解：（1）填表以下：
C D总计
A x吨（200﹣x）吨200吨
B（240﹣x）吨（60+x）吨300吨
总计240吨260吨500吨
由题意得：yA=40x+45（200﹣x）=﹣5x+9000；
yB=25（240﹣x）+32（60+x）=7x+7920。

（2）对于yA=﹣5x+9000（0≤x≤200），
∵k=﹣5＜0，∴此一次函数为减函数，
∴当x=200吨时，yA最小，其最小值为﹣5×200+9000=8000（元）。

（3）设两村的运费之和为W（0≤x≤200），
则W=yA+yB=﹣5x+9000+7x+7920=2x+16920，
∵k=2＞0，∴此一次函数增函数，
∴当x=0，W有最小，W最小16920元。

∴按以下方案运，两村的运之和最小，最小16920元。

C D
A0吨200吨
B40吨240吨
【考点】一次函数的用。

【剖析】（1）由A村共有香梨200吨，从A村运往Cx吨，剩下的运往D，故运往D（200x）吨，由A村已运往Cx吨，C可存240吨，
故B村往C运（240x）吨，剩下的运往D，剩下的300（240x），化后即可获取B村运往D的吨数，填表即可。

由从A村运往C，D两的用分每吨40元和45元；从B村运往C，D两的用分
每吨25元和32元，由表格中的代数式，即可摆列出yA，yB与x之的函数关
系式。

（2）由第一表示出的yA与x之的函数关系式获取此函数一次函数，
依据x的系数数，获取此一次函数减函数，且0≤x≤200，故x取最大200
，yA有最小，即A村的运少x的。

（3）两村的运之和W，W=yA+yB，把第一表示出的两函数分析式代入，归并后获取W对于x的一次函数，且x的系数大于0，可得出此一次函数增函数，可得出x=0，W有最小，将x=0代入W对于x的函数关系式中，即可求出W的最小。

例3.（2020甘白10分）衫系列多数采纳国家准号、型（通抽剖析取的均匀）．“号”指人的身高，“型”指人的胸，数指衫的（子大小），位均：厘米．下表是男士衫的部分号、型和数的关系：
号/型⋯170/84 170/88 175/92 175/96 180/100 ⋯
数⋯38 39 40 41 42 ⋯
1）男士衫的数y，胸x，研究y与x之的函数关系式；
2）若某人的胸108厘米，人多大数的衫？
【答案】解：（1）依据表能够获取号每增大1，胸增添4cm，
y与x必定是一次函数关系，函数关系式是：x=84+4（y－38），
即y1x17
4
（2）当x=108，y110817=44。

4
∴若某人的胸108厘米，人44的衫。

【考点】一次函数的用。

【剖析】（1）依据表能够获取号每增大1，胸增添4cm，y与x必定是一次函数关系，函数关系式能够求得。

2）把x=108代入（1）所求的函数分析式，即可求得数。

例4.（2020湖北3分）已知：多式x2kx+1是一个完整平方式，反比率
函数y=k1的分析式【】
x
A．y=1B．y=3C．y=1或y=3D．y=2或y=2 x x x x x x 【答案】C。

【考点】完整平方式，待定系数法求反比率函数分析式。

【剖析】∵多式x2kx+1是一个完整平方式，∴k=±2。

把k=±2分代入反比率函数y=k1的分析式得：y=1或y=3。

故C。

x x x
例6.（2020北京市7分）已知二次函数y (t 1)x2 2(t 2)x 3在x0和x2时的
2
函数值相等。

（1）求二次函数的分析式；
（2）若一次函数
ykx6的图象与二次函数的图象都经过点A
，m)
，求m (3
和k的值；
（3）设二次函数的图象与x轴交于点B,C（点B在点C的左边），将二次函数的图象在点B,C间
的部分（含点B和点C）向左平移n(n0)个单位后获取的图象记为C，同时将（2）中获取的直线ykx6向上平移n个单位。

请联合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围。

【答案】解：（1）∵二次函数在x0和x2时的函数值相等，∴二次函数图象的对称轴为x1。

中考攻略中考数学专题15函数关系式的建立方法探讨
∴2t21，解得t3。

2t12
∴二次函数分析式为y 12
x3。

x
22
（2）∵二次函数图象经过A
3，m)点，
(
∴m1×3336，A（－3，－6）。

2
22
又∵一次函数y kx6的图象经过A点，
∴3k66，解得k4。

（3）由题意可知，二次函数在点B，C间的部分图象的分析式为y1x3x1，1≤x≤3，
2
则向左平移后获取的图象
1
3nx1n，C的分析式为yx
2
n1≤x≤3n。

此时一次函数y4x6的图象平移后的分析式为y4x6n。

∵平移后的直线与图象C有公共点，∴两个临界的交点为
n1，0与3n，0。

∴当x=n1时，04n16n，即n2；
3
当x=3n时，043n6n，即n6。

∴2≤n≤6
3
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质。

【剖析】（1）由二次函数在x 0和x 2时的函数值相等，可知二次函数图象的对称
轴为x 0+2b
可求得t
3
，进而求得二次函数的解=1，进而由对称轴公式x=1
2
22a
析式。

（2）由二次函数图象经过A(3，m)点代入y 1
x
2
x
3
可求得m6，进而由一22
次函数y kx6的图象经过A点，代入可求得k4。

（3）依据平移的性质，求得平移后的二次函数和一次函数表达式，依据平移后的直线与图象C有公共点，求得公共点的坐标即可。

例7.（2020浙江嘉兴、舟山12分）某汽车租借公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的
日租金为400元时，可所有租出；当每辆车的日租金每增添50元，未租出的车将增添1辆；
公司均匀每天的各项支出共4800元．设公司每天租出工辆车时，日利润为y元．（日利润=
日租金收入一均匀每天各项支出）
（1）公司每天租出x辆车时，每辆车的日租金为元（用含x的代数式表
示）；
2）当每天租出多少辆时，租借公司日利润最大？最大是多少元？
3）当每天租出多少辆时，租借公司的日利润不盈也不亏？【答案】解：（1）1400﹣50x。

2）依据题意得：
2
y=x （﹣50x+1400）﹣4800=﹣50x 2
+1400x ﹣4800=﹣50（x ﹣14） +5000。

当x=14时，在范围内，y 有最大值5000。

∴当天租出14辆时，租借公司日利润最大，最大值为
5000元。

（3）要使租借公司日利润不盈也不亏，即：
y=0，即：50
（x ﹣14）
＋ 2+5000=0，
解得x1=24，xz=4，
∵x=24不合题意，舍去。

∴当天租出4辆时，租借公司日利润不盈也不亏。

【考点】二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程。

【剖析】（1）∵某汽车租借公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可所有租出， 当每辆车的日租金每增添 50元，未租出的车将增添 1辆， ∴当所有未租出时，每辆租金为： 400+20×50=1400元，
∴公司每天租出 x 辆车时，每辆车的日租金为： 1400﹣50x 。

（2）依据已知获取的二次函数关系应用二次函数的最值求得日利润的最大值即可。

（3）要使租借公司日利润不盈也不亏，即：y=50（x-14）2
+5000=0，求出x 即可。

例8.（2020江苏常州7分）某商场购进一批L 型服饰（数目足够多），进价为40元/件，以60元/件销售，每天销售20件。

依据市场调研，若每件每降1元，则每天销售数目比本来多3件。

现商场决定对L 型服饰展开降价促销活动，每件降价x 元（x 为正整数）。

在促销时期，商场要想每天获取最大销售利润，每件降价多少元？每天最大销售毛利润为多少？（注：每件服饰销售毛利润指每件服饰的销售价与进 货价的差）
【答案】解：依据题意，商场每天的销售毛利润 Z=（60－40－x ）（20＋3x ）=－3x 2
40x+400
∴当x=b=40=62时，函数Z获得最大值。

2a33
∵x为正整数，且762<626，
33
∴当x=7时，商场每天的销售毛利润最大，最大销售毛利润为－2 3·7
＋40·7+400=533。

答：商场要想每天获取最大销售利润，每件降价7元，每天最大销售
毛利润为533元。

【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。

【剖析】求出二次函数的最值，找出x最靠近最值点的整数值即可。

例9.（2020江苏盐城12分）
知识迁徙：当a0且x0时，因为(x a)2≥0,所以x2a a≥0,进而
x x
x a≥2a(当
x
x a时取等号
).记函数y x a(a
0,x0),由上述结论可知：当x a时,该函
x
数有最小值为2 a.
直策应用：已知函数
10)与函数
2
10),
则当
_________
x
时,y1y2获得最小值
为_________.
变形应用：已知函数y1x1(x1)与函数y2(x1)24(x1),求y2的最小值,y1
并指出获得该
最小值时相应的x的值.
实质应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定花费,共360元；
二是燃油费,每
千米为元；三是折旧费,它与行程的平方成正比,比率系数为.设该汽车一次
运输的行程为x千米,
求当x为多少时,该汽车均匀每千米的运输成本最低？最低是多少元？
．．．．．．．．．．
【答案】解：直策应用：1；2。

变形应用：∵y2(x1)24(x1)4(x1)，
y1x1x1
∴
y2有最小值为244。

y1
当x14，即x1时获得该最小值。

实质应用：设该汽车均匀每千米的运输成本为y元，则
2360360
0.001(x 360000
y
x
) x x
，
∴当x 360000 600(千米)时,
该汽车均匀每千米的运输成本 y最低，
最低成本为2360000元。

例10.（2020湖北鄂州10分）某私营服饰厂依据2020年市场剖析，决定2020年调整服饰制作方案，准备
每周（按120工时计算）制作西服、休闲服、衬衣共360件，且衬衣起码60件。

已知每件服饰的收入和
所需工时以下表：
西休闲衬
服饰名称
服服衣
111
工时/件
234
收入（百元）/
321
件
设每周制作西服x件，休闲服y件，衬衣z件。

1）请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y的代数式表示衬衣的件数z。

2）求y与x之间的函数关系式。

3）问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收
入是多少？
【答案】解：（1）从件数方面：z=360－x－y，
从工时数方面：由1x+1y+1z=120整理得：z=480－2x－4y。

2 3 4 3
（2）由（1）得360－x－y=480－2x－4y，整理得：y=360－3x。

3
（3）由题意得总收入s=3x＋2y＋z=3x＋2（360－3x）＋2x=－x＋720
2x 60
由题意得x
，解得30≤x≤120。

360 3x 0
由一次函数的性质可知，当x=30的时候，s最大，即当每周生
产西服30件，休闲服
270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元。

【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。

【剖析】（1）依据题目中的已知条件分别从件数和工时数两个方面用含x，y的关系式表示z。

2）由（1）整理得：y=360－3x。

3）由题意得s=3x+2y+z，化为一个自变量，获取对于x的一次函数。

由
2x60
题意得x0，
3603x0
解得30≤x≤120，进而依据一次函数的性质作答。

练习题：
1.（2020青海省8分）夏都花卉基地销售两栽花卉，此中马蹄莲每株元，康
乃馨每株5元．假如同一客户所购的马蹄莲数目多于 1000株，那么所有的马蹄莲每
株还可优惠元．现某鲜花店向夏都花卉基地采买马蹄莲800～1200株、康乃馨
若干株，本次采买共用了7000元．而后再以马蹄莲每株元、康乃馨每株7元的
价钱卖出，问：该鲜花店应如何采买这两种鲜花才能使获取的利润最大？
（注：800～1200株表示采买株数大于或等于800株，且小于或等于1200株；利润
=销售所得金额﹣进货所需金额）
2. （2020四川巴中9分）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月
可卖出200件。

假如每
件商品的售价上升1元，则每个月少卖
10件（每件售价不可以高于
72元）。

设每件商品的售价上升x元（x
为整数），每个月的销售利润为y元，
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获取最大利润？最大月利润是多
少元？
（2020辽宁锦州10分）某商铺经营小孩益智玩具，已知成批购进时的单价是20
元.检查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上升1元，月销售量就减少
10件，但每件玩具售价不可以高于40元.设每件玩具的销售单价上．
涨了元时（为正整数），月销售利润为元
．x x．．．．．y .
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围.
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
．．
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
．．
（2020福建漳州10分）某校为实行国家“营养早饭”工程，食堂用甲、乙两种原料配制成某种营
养食品，已知这两种原料的维生素C含量及购置这两种原料的价钱以下表：
现要配制这类营养食品20千克，要求每千克起码含有480单位的维生素C.设购置甲种原料x千克．
起码需要购置甲种原料多少千克?
(2)设食堂用于购置这两种原料的总花费为y元，求y与x的函数关系式．并说
明购置
甲种原料多少千克时，总花费最少?
5.（2020湖北十堰10分）某工厂计划生产A、B两种产品共50件，需购置甲、乙
两种资料．生产一件A产品需甲种资料30千克、乙种资料10千克；生产一件B产品需甲、乙两种资料各20千克．经测算，购置甲、乙两种资料各1千克共需资本40元，购置甲种资料2千克和乙种资料3千克共需资本105元．
1）甲、乙两种资料每千克分别是多少元？
2）现工厂用于购置甲、乙两种资料的资本不超出38000元，且生产B产品许多于
件，问切合条件的生产方案有哪几种？
（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费200元，生产一件B产品需加工费300元，应选择哪一种生产方案，使生产这50件产品的成本最低？（成本=资料费+加工费）
6. （2020湖北恩施8分）小丁每天从某报社以每份元买进报纸200分，而后
以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份元退给
小丁，假如小丁均匀每天卖出报纸x份，纯收入为y元．
7.1）求y与x之间的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）；
2）假如每个月以30天计算，小丁每天起码要买多少份报纸才能保证每个月收入不低于2000元？
（2020湖南益阳8分）为响应市政府“创立国家丛林城市”的呼吁，某小区计划购进A、B两种
树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．（1）若购进A、B两种树苗恰巧用
去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？
（2）若购置B种树苗的数目少于A种树苗的数目，请你给出一栽花费最省的方案，并求出该方案
所需花费．
（2020湖南常德7分）某工厂生产A、B两种产品共50件，其生产成本与利润以下表：
A 种产品
B种产品
成本（万元／
件）
利润（万元／
件）。