2024年初中升学考试专题复习数学总复习(按知识点分类)二次函数的最值

二次函数的最值
30．（2023•绍兴）在平面直角坐标系xOy 中，一个图形上的点都在一边平行于x 轴的矩形内部（（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y ＝（x ﹣2）2（（0≤x ≤3）的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC ．若二次函数y =14x 2+bx +c(0≤x ≤3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC ，则b ＝ 712或−2512 ．
【答案】712或−2512．
【分析】根据题意求得点A （（3，0），B （（3，4），C （（0，4），然后分两种情况，利用待定系数法求出解析式即可．
【解答】解：由y ＝（x ﹣2）2（0≤x ≤3），当x ＝0时，y ＝4，
∴C （0，4），
∵A （3，0），四边形ABCO 是矩形，
∴B （3，4），
①当抛物线经过O 、B 时，将点O （0，0），B （3，4）代入y =14x 2+bx +c （0≤x ≤3）得
{c =014
×9+3b +c =4，
解得b =712；
②当抛物线经过A 、C 时，将点A （3，0），C （0，4）代入y =14x 2+bx +c （0≤x ≤3）得
{c =414
×9+3b +c =0，
解得b =−2512，
综上所述，b =712或b =−2512，
故答案为：712或−2512，
【点评】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，能够理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．
二次函数的最值
31．（2023•杭州）设二次函数y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣m ﹣k ）（a ＞0，m ，k 是实数），则（ ）
A ．当k ＝2时，函数y 的最小值为﹣a
B ．当k ＝2时，函数y 的最小值为﹣2a
C ．当k ＝4时，函数y 的最小值为﹣a
D ．当k ＝4时，函数y 的最小值为﹣2a
【答案】A
【分析】令y ＝0，求出二次函数与x 轴的交点坐标，继而求出二次函数的对称轴，再代入二次函数解析式即可求出顶点的纵坐标，最后代入k 的值进行判断即可．
【解答】解：令y ＝0，则（x ﹣m ）（x ﹣m ﹣k ）＝0，
∴x 1＝m ，x 2＝m +k ，
∴二次函数y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣m ﹣k ）与x 轴的交点坐标是（m ，0），（m +k ，0），
∴二次函数的对称轴是：x =
x 1+x 22=m+m+k 2=2m+k 2， ∵a ＞0，
∴y 有最小值，
当x =2m+k 2时y 最小，
即y =a(2m+k 2−m)(2m+k 2−m −k)=−
k 24a ， 当k ＝2时，函数y 的最小值为y =−224
a =−a ； 当k ＝4时，函数y 的最小值为y =−
424a =−4a ，
故选：A ． 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握求二次函数的顶点坐标是解题的关键．。