2020高考数学一轮复习配餐作业9对数与对数函数含解析理

配餐作业(九) 对数与对数函数
(时间：40分钟)
一、选择题
1．(2016·衡阳八中一模)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x ，x
，
log 3x ，x ，
则f ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )
A ．－2
B ．－3
C ．9
D ．－9
解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x x ≤0，
log 3x x >0，
∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫19＝log 319＝－2， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－2
＝9。

故选C 。

答案 C
2．(2017·石家庄模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2e x －1
，x ，log 3x 2
－
，x
，
则不等式f (x )>2的解集为( )
A ．(－2,4)
B ．(－4，－2)∪(－1,2)
C ．(1,2)∪(10，＋∞)
D ．(10，＋∞)
解析 令2e x －1
>2(x <2)，解得1<x <2；令log 3(x 2
－1)>2(x ≥2)，解得x >10。

故选C 。

答案 C
A ．a >b >c
B ．b >c >a
C ．c >b >a
D ．b >a >c
解析 因为＝log 43<1，c ＝log 31
4<0，所以a >b >c ，故选A 。

答案 A
4．(2016·焦作一模)若函数y ＝a |x |
(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )
解析 若函数y ＝a |x |
(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则0<a <1，由此可知y ＝log a |x |的图象大致是A 。

答案 A
则( )
A ．x 1<x 2<x 3
B ．x 1<x 3<x 2
C ．x 2<x 1<x 3
D ．x 3<x 1<x 2
解析 由题意可知x 3是函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 与y 2＝log 3x 的图象交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫13x
与y 2＝log 3x 的图象，如图所示，由图象可知x 3>1，而x 1＝log 1
32<0,0<x 2＝2－
1
2<1，所以x 3>x 2>x 1。

故选A 。

答案 A
6．设a >b >1，c <0，给出下列四个结论： ①a c
>1; ②a c
<b c
；
③log b (a －c )>log a (b －c ); ④b
b －c
>a
a －c。

其中所有正确结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①②③
D ．②③④
解析 利用函数的单调性，结合排除法求解。

因为a >1，所以指数函数y ＝a x
单调递增，又c <0，所以a c
<1，①错误，排除A 和C ；而B 和D 中都有②和③，所以只要判断④是否正确。

又b b －c
<b
a －c
<a
a －c
，所以④错误，排除D ，故
选B 。

答案 B 二、填空题
7．(2016·浙江高考)已知a >b >1。

若log a b ＋log b a ＝52
，a b ＝b a
，则a ＝________，b ＝________。

解析 由于a >b >1，则log a b ∈(0,1)，因为log a b ＋log b a ＝52，即log a b ＋1log a b ＝52，所以log a b ＝1
2
或 log a b ＝2(舍
去)，所以a 1
2＝b ，即a ＝b 2，所以a b ＝(b 2)b ＝b 2b ＝b a ，所以a ＝2b ，b 2
＝2b ，所以b ＝2(b ＝0舍去)，a ＝4。

答案 4 2
8．(2016·常州一模)函数f (x )＝log 2(－x 2
＋22)的值域为________。

解析 由题意知0<－x 2
＋22≤22＝23
2，结合对数函数图象，知f (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32，故答案为⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，32。

答案 ⎝ ⎛⎦
⎥⎤－∞，32
9．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x >0，
3x
，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是
________。

解析 问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1。

答案 (1，＋∞) 三、解答题
10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2。

(1)求a 的值及f (x )的定义域；
(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，32上的最大值。

解析 (1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)， ∴a ＝2。

由⎩
⎪⎨
⎪⎧
1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)，
∴函数f (x )的定义域为(－1,3)。

(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2
＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，
故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2。

答案 (1)a ＝2 定义域为(－1,3) (2)2 11．已知函数f (x )＝log a (3－ax )。

(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由。

解析 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，
x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，
当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立。

∴3－2a >0。

∴a <3
2。

又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32。

(2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数。

∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 为增函数，
∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
3－2a >0，log a －a ＝1，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a <3
2，a ＝3
2。

故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1。

答案 (1)(0,1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32 (2)不存在，理由见解析
(时间：20分钟)
1．若函数y ＝log a (x 2
－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( ) A ．0<a <1 B ．0<a <2，a ≠1 C ．1<a <2
D ．a ≥2
解析 当a >1时，y 有最小值，则说明x 2
－ax ＋1有最小值，故x 2
－ax ＋1＝0中Δ<0，即a 2
－4<0，所以1<a <2。

当0<a <1时，y 有最小值，则说明x 2
－ax ＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去。

综上可知，故选C 。

答案 C
2．(2016·沈阳二中模拟)已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3,4]时，f (x )＝ln x ，则( )
A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 12
B ．f ⎝
⎛⎭⎪⎫sin π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3
C ．f (sin1)<f (cos1)
D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos 32 解析 由题意得f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，因为f (x )在[3,4]上是增函数，所以函数f (x )在[－1,0]上是增函数，在[0,1]上是减函数，因为0<cos1<sin1<1，所以选C 。

答案 C
3．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x
2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1
B.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，13
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，＋∞ 解析 函数f (x )＝ln(1＋|x |)－1
1＋x 2，所以f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数。

又当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝
ln(1＋x )－11＋x 2，f (x )是单调递增的，故f (x )>f (2x －1)⇔f (|x |)>f (|2x －1|)，所以|x |>|2x －1|，解得1
3
<x <1，故选A 。

答案 A
4．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x 。

(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；
(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2
)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围。

解析 (1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2
＋2。

因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]， 故函数h (x )的值域为[0,2]。

(2)由f (x 2
)·f (x )>k ·g (x )， 得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，
令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ； ②当t ∈(0,2]时，k <－4t
－t
t
恒成立，
即k <4t ＋9
t
－15，
因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝3
2时取等号，
所以4t ＋9
t
－15的最小值为－3。

综上，实数k 的取值范围为(－∞，－3)。

答案 (1)[0,2] (2)(－∞，－3)。