江西省九年级上册数学期中考试《一元二次方程》试题分类——解答题

2019年秋江西省九年级上册数学期中考试《一元二次方程》试
题分类——解答题
1．已知关于x 的方程220x mx m ++-=． （1）不解方程，判断方程的根的情况； （2）若方程有一个根为1，求x 的值． 2．解方程：
（1）2250x x --=； （2）2560x x +-= 3．2420x x +-=．
4．今年以来，因生猪受到猪瘟的影响，导致多地猪肉价格连续上涨，引起了民众与政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至9月20日，猪肉价格不断上涨，9月20日比年初价格上涨了60%、某市民于某超市今年9月20日购买3千克猪肉花120元钱． （1）问：那么今年年初猪肉的价格为每千克多少元？
（2）现在某超市以每千克30元的猪肉进货，按9月20日价格出售，平均一天能销售出100千克，经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加20千克，超市为了实现销售猪肉每天有1120元的销售利润，为了尽可能让顾客优惠应该每千克定价为多少元？ 5．已知关于x 的一元二次方程222(1)20x k x k k --+--=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）求k 的取值范围；
（2）若1x ，2x 满足22
12
1224x x x x +-=，求k 的值． 6．已知一元二次方程22(1)30x k x k --++=有两个根分别为1x ，2x （1）求k 的取值范围；
（2）若原方程的两个根1x ，2x 满足12(2)(2)15x x ++=，求k 的值．
7．某种商品的标价为1000元/件，经过两次降价后的价格为810元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为800元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于7300元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
8．（1）解方程：(5)50x x x +++=； （2）用配方法解方程：210210x x -+= 9．用适当的方法解方程． （1）22610x x -+=； （2）29(2)4x -= 2(25)x +． 10．（1）2410x x --=（配方法）； （2）22310x x --=（公式法）； （3）(2)360x x x --+=（因式分解法）． 11．解下列方程： （1）2630x x -+= （2）2(1)33x x x -=-．
12．赣州蓉江新区某汽车销售公司去年12月份销售新上市一种新型低能耗汽车200辆，由于该型汽车的优越的经济适用性，销量快速上升，今年2月份该公司销售该型汽车达到450辆，并且去年12月到今年1月和今年1月到2月两次的增长率相同． （1）求该公司销售该型汽车每次的增长率；
（2）若该型汽车每辆的盈利为5万元，则平均每天可售8辆，为了尽量减少库存，汽车销售公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，每辆汽车每降5000元，公司平均每天可多售出2辆，若汽车销售公司每天要获利48万元，每辆车需降价多少？ 13．已知关于x 的方程22210x x k -+-=有实数根． （1）求k 的取值范围；
（2）设方程的两根分别是1x ，2x ，且满足221212()()0x x x x -+=，试求k 的值．
14．（1）计算231128(2)2()82-+÷--⨯-
（2）解方程：3(2)2(2)x x x -=-
15．已知关于x 的方程2(1)40x k x --+=的两根为1x ，2x 满足：21212()4x x x x +=，求实数k 的值．
16．已知关于x 的一元二次方程：222(1)10x m x m -+++=有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为1x 、2x ，且满足22
12
12124x x x x x x +=++，求m 的值．
17．解方程：(2)3x x +=．
18．地铁东城某服装店销售一批衬衣，每件进价250元，开始以每件400元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经过两次降价后每件售价为324元，每星期能卖出172件．
（1）已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；
（2）喜欢研究数学的店长在降价的过程中发现，适当的降价可增加销售又可增加收入，且每件衬衣售价每降低1元，销售量会增加2件，若店长想要每星期获利11000元，为了让顾客得到更大的实惠，应把售价定为多少元？
19．关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有实数根． （1）求m 的取值范围；
（2）若两根为1x 、2x 且22
12
7x x +=，求m 的值． 20．随着港珠澳大桥的顺利开通， 预计大陆赴港澳旅游的人数将会从 2018 年的 100 万人增至 2020 年的 144 万人， 求 2018 年至 2020 年这两年的赴港旅游人数的年平均增长率 ．
21．已知关于x 的一元二次方程222(1)10x k x k --+-=有两个不相等的实数根 （1）求实数k 的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由． 22．已知关于x 的方程2(31)30kx k x +++=，求证：不论k 取任何实数，该方程都有实数根． 23．惠农商场于今年五月份以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，五月份销售256件．六、七月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，7月份的销售量达到400件．设六、七这两个月月平均增长率不变． （1）求六、七这两个月的月平均增长率；
（2）从八月份起，商场采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利2640元？
24．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的减价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降1元，商场平均每天可多售出5件．若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？这时应进货多少件？
25．已知关于x 的一元二次方程2(3)(2)x x m --=
（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m 的值及方程的另一个根．
2019年秋江西省九年级上册数学期中考试《一元二次方程》试
题分类——解答题
一．解答题（共25小题）
1．已知关于x 的方程220x mx m ++-=． （1）不解方程，判断方程的根的情况； （2）若方程有一个根为1，求x 的值．
【解答】解：（1）由题意得，1a =，b m =，2c m =-，
△2222441(2)48(2)40b ac m m m m m =-=-⨯⨯-=-+=-+>， ∴方程220x mx m ++-=有两个不相等的实数根；
（2）
220x mx m ++-=有一个根是1，
21120m m ∴+⨯+-=，
解得1
2
m =， 把12m =
代入原方程得213
022
x m +-=， 解得11x =，3
2x =-．
2．解方程：
（1）2250x x --=； （2）2560x x +-=
【解答】解：（1）2250x x --=，
225x x -=， 22151x x -+=+，
2(1)6x -=，
1x -1x =，
∴11x =，21x =．
（2）2560x x +-=，
(1)(6)0x x -+=，
11x ∴=，26x =-．
3．2420x x +-=． 【解答】解：
2420x x +-=，
2446x x ∴++=，
2(2)6x ∴+=，
2x ∴=-±4．今年以来，因生猪受到猪瘟的影响，导致多地猪肉价格连续上涨，引起了民众与政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至9月20日，猪肉价格不断上涨，9月20日比年初价格上涨了60%、某市民于某超市今年9月20日购买3千克猪肉花120元钱． （1）问：那么今年年初猪肉的价格为每千克多少元？
（2）现在某超市以每千克30元的猪肉进货，按9月20日价格出售，平均一天能销售出100千克，经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加20千克，超市为了实现销售猪肉每天有1120元的销售利润，为了尽可能让顾客优惠应该每千克定价为多少元？ 【解答】解：（1）今年9月20日猪肉的价格100 2.540=÷=（元/千克）． 设今年年初猪肉的价格为每千克x 元， 依题意，得：(160%)40x +=， 解得：25x =．
答：今年年初猪肉的价格为每千克25元．
（2）设每千克降价y 元，则日销售(10020)y +千克， 依题意，得：(4030)(10020)1120y y --+=， 整理，得：12y =，23y =， 尽可能让顾客优惠，
3y ∴=， 4037y ∴-=．
答：应该每千克定价为37元．
5．已知关于x 的一元二次方程222(1)20x k x k k --+--=有两个不相等的实数根1x ，2x ．
（1）求k 的取值范围；
（2）若1x ，2x 满足22
12
1224x x x x +-=，求k 的值． 【解答】解：（1）关于x 的一元二次方程222(1)20x k x k k --+--=有两个不相等的实数根，
∴△22[2(1)]4(2)0k k k =----->，
解得：3k <； （2）122(1)x x k +=-，2122x x k k =--，
又
22
121224x x x x +-=，
21212()324x x x x ∴+-=， 22[2(1)]3(2)24k k k ∴----=， 解得：12k =-，27k =， 3k <， 2k ∴=-．
6．已知一元二次方程22(1)30x k x k --++=有两个根分别为1x ，2x （1）求k 的取值范围；
（2）若原方程的两个根1x ，2x 满足12(2)(2)15x x ++=，求k 的值． 【解答】解：（1）由题意可知：△24(1)4(3)0k k =--+， 2320k k ∴--，
317k
-∴或317
k +； （2）由根与系数的关系可知：122(1)x x k +=-，123x x k =+， 12(2)(2)15x x ++=， 12122211x x x x ∴++=，
34(1)11k k ∴++-=，
解得：125
k =
； 7．某种商品的标价为1000元/件，经过两次降价后的价格为810元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为800元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于7300元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？ 【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x ， 依题意，得：21000(1)810x -=，
解得：10.110%x ==，2 1.9x =（不合题意，舍去）． 答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）设第一次降价后售出该种商品m 件，则第二次降价后售出该种商品(100)x -件， 依题意，得：[1000(110%)800](810800)(100)7300m m ⨯--+--， 解得：70m ．
答：第一次降价后至少要售出该种商品70件． 8．（1）解方程：(5)50x x x +++=； （2）用配方法解方程：210210x x -+= 【解答】解：（1）(5)50x x x +++=，
(5)(1)0x x ++=，
50x ∴+=或10x +=，
15x ∴=-，21x =-；
（2）210210x x -+=，
21021x x -=-，
210252125x x -+=-+，即2(5)4x -=，
52x ∴-=或52x -=-，
17x ∴=，23x =．
9．用适当的方法解方程．
（1）22610x x -+=； （2）29(2)4x -= 2(25)x +．
【解答】解：（1）2a =，6b =-，1c =， ∴△2(6)421280=--⨯⨯=>，
则62737
x ±±==
；
（2）29(2)4x -= 2(25)x +．
3(2)2(25)x x ∴-=+或3(2)2(25)x x -=-+，
解得116x =-，24
7
x =-．
10．（1）2410x x --=（配方法）； （2）22310x x --=（公式法）； （3）(2)360x x x --+=（因式分解法）． 【解答】解：（1）
2410x x --=，
2445x x ∴-+=，
2(2)5x ∴-=， 25x ∴=±；
（2）22310
x x --=，
2a ∴=，3b =-，1c =-， ∴△9817=+=，
317
x ±∴=
； （3）(2)360x x x --+=，
(2)3(2)0x x x ∴---=， (3)(2)0x x ∴--=，
3x ∴=或2x =；
11．解下列方程： （1）2630x x -+=
（2）2(1)33x x x -=-． 【解答】解：（1）
263x x -=-，
26939x x ∴-+=-+，即2(3)6x -=，
则3x -=
3x ∴=；
（2）2(1)3(1)x x x -=--，
2(1)3(1)0x x x ∴-+-=，
则(1)(23)0x x -+=， 10x ∴-=或230x +=，
解得1x =或 1.5x =-．
12．赣州蓉江新区某汽车销售公司去年12月份销售新上市一种新型低能耗汽车200辆，由于该型汽车的优越的经济适用性，销量快速上升，今年2月份该公司销售该型汽车达到450辆，并且去年12月到今年1月和今年1月到2月两次的增长率相同． （1）求该公司销售该型汽车每次的增长率；
（2）若该型汽车每辆的盈利为5万元，则平均每天可售8辆，为了尽量减少库存，汽车销售公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，每辆汽车每降5000元，公司平均每天可多售出2辆，若汽车销售公司每天要获利48万元，每辆车需降价多少？ 【解答】解：（1）设该公司销售该型汽车每次的增长率为x ， 依题意，得：2200(1)450x +=，
解得：1 2.5x =-（不合题意，舍去），20.550%x ==． 答：该公司销售该型每次增长率为50%． （2）设每辆车需降价y 万元，则日销售量为82(84)0.5
y
y +⨯=+辆， 依题意，得：(5)(84)48y y -+=， 解得：11y =，22y =． 要尽快减少库存，
2y ∴=．
答：每辆车需降价2万元．
13．已知关于x 的方程22210x x k -+-=有实数根． （1）求k 的取值范围；
（2）设方程的两根分别是1x ，2x ，且满足221212()()0x x x x -+=，试求k 的值． 【解答】解：（1）根据题意得△2(2)4(21)0k =---， 解得1k ；
（2）根据题意得122x x +=，1221x x k =-，
221212()()0x x x x -+=， 1212x x x x ∴+=或12120x x x x ++=，
即221k =-或2210k +-=， 解得32k =
或1
2
k =-， 而1k ，
k ∴的值为1
2
-．
14．（1）计算2311
28(2)2()82-+÷--⨯-
（2）解方程：3(2)2(2)x x x -=-
【解答】解：（1）原式3
48(8)2()8=-+÷--⨯-
3414
=--+ 144=-；
（2）3(2)2(2)0x x x ---=，
(2)(32)0x x ∴--=，
则20x -=或320x -=， 解得2x =或23
x =
． 15．已知关于x 的方程2(1)40x k x --+=的两根为1x ，2x 满足：21212()4x x x x +=，求实数k 的值．
【解答】解：由根与系数的关系可知：121x x k +=-，124x x =，
21212()4x x x x += 2(1)16k ∴-=， 14k ∴-=±， 5k ∴=或3k =-，
△2(1)160k =--， 5k ∴=或3k =-
16．已知关于x 的一元二次方程：222(1)10x m x m -+++=有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为1x 、2x ，且满足22
12
12124x x x x x x +=++，求m 的值． 【解答】解：（1）方程222(1)10x m x m -+++=有两个不相等的实数根， ∴△224(1)4(1)80m m m =+-+=>，
解得：0m >．
故m 的取值范围是0m >；
（2）原方程的两个实数根为1x 、2x ， 122(1)x x m ∴+=+，2121x x m =+．
22
1212124x x x x x x +=++，
∴2121212()6x x x x x x +-=+
224(1)6(1)2(1)m m m ∴+-+=+，即22640m m -+-=， 解得：11m =，22m =． 故m 的值是1或2． 17．解方程：(2)3x x +=．
【解答】解：方程整理得：223x x +=， 配方得：2214x x ++=，即2(1)4x +=， 开方得：12x +=或12x +=-，
解得：11x =，23x =-．
18．地铁东城某服装店销售一批衬衣，每件进价250元，开始以每件400元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经过两次降价后每件售价为324元，每星期能卖出172件．
（1）已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；
（2）喜欢研究数学的店长在降价的过程中发现，适当的降价可增加销售又可增加收入，且每件衬衣售价每降低1元，销售量会增加2件，若店长想要每星期获利11000元，为了让顾客得到更大的实惠，应把售价定为多少元？ 【解答】解：（1）设每次降价的百分率为x ， 依题意，得：2400(1)324x -=，
解得：10.110%x ==，2 1.9x =（不合题意，舍去）． 答：每次降价的百分率为10%．
（2）设售价应定为y 元，则每星期可售出[202(400)]y +-件， 依题意，得：(250)[202(400)]11000y y -+-=， 整理，得：26601080000y y -+=， 解得：1300y =，2360y =． 让顾客得到更大的实惠，
300y ∴=．
答：应把售价定为300元．
19．关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有实数根． （1）求m 的取值范围；
（2）若两根为1x 、2x 且22
12
7x x +=，求m 的值． 【解答】解：（1）关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有实数根， ∴△22(21)41410m m m =--⨯⨯=-+，
解得：1
4
m
． （2）1x ，2x 是一元二次方程22(21)0x m x m +-+=的两个实数根，
1212x x m ∴+=-，212x x m =，
22
2121212()27x x x x x x ∴+=+-=，即22(12)27m m --=，
整理得：2230m m --=， 解得：11m =-，23m =． 又1
4
m
， 1m ∴=-．
20．随着港珠澳大桥的顺利开通， 预计大陆赴港澳旅游的人数将会从 2018 年的 100 万人增至 2020 年的 144 万人， 求 2018 年至 2020 年这两年的赴港旅游人数的年平均增长率 ．
【解答】解： 设年平均增长率为x ，依题意，
2100(1)144x +=，
解得10.2x =，2 2.2x =-（不 合题意， 舍去） ． 答： 年平均增长率为20%．
21．已知关于x 的一元二次方程222(1)10x k x k --+-=有两个不相等的实数根 （1）求实数k 的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由． 【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根， ∴△224(1)4(1)8(1)0k k k =---=-->，
解得1k <．
（2）当0x =时，有210k -=， 解得1k =±． 1k <， 1k ∴=-．
0∴可能是方程的一个根．
当1k =-时，方程可能化为240x x +=． 解得0x =或4x =-．
∴方程另一个根是4-．
22．已知关于x 的方程2(31)30kx k x +++=，求证：不论k 取任何实数，该方程都有实数根． 【解答】证明：①当0k =时，方程为30x += 解得3x =- 方程有实数根； ②当0k ≠ 时，△22(31)43(31)0k k k ==-⨯=-方程有两个实数根， 综上所述，方程总有实数根．
23．惠农商场于今年五月份以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，五月份销售256件．六、七月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，7月份的销售量达到400件．设六、七这两个月月平均增长率不变． （1）求六、七这两个月的月平均增长率；
（2）从八月份起，商场采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利2640元？
【解答】解：（1）设六、七这两个月的月平均增长率为x ，根据题意可得：
2256(1)400x +=，
解得：10.25x =，2 2.25x =-（不合题意舍去）． 答：六、七这两个月的月平均增长率为25%；
（2）设当商品降价m 元时，商品获利2640元，根据题意可得：
(4030)(40010)2640m m --+=，
解得：14m =，234m =-（不合题意舍去）． 答：当商品降价4元时，商品获利2640元．
24．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的减价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降1元，商场平均每天可多售出5件．若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？这时应进货多少件？ 【解答】解：设每件衬衫应降价x 元． 根据题意，得(44)(205)1600x x -+=， 解得14x =，236x =．
“扩大销售量，减少库存”，
14x ∴=应略去， 36x ∴=．
205200x +=．
答：每件衬衫应降价36元，进货200件． 25．已知关于x 的一元二次方程2(3)(2)x x m --=
（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m 的值及方程的另一个根． 【解答】解：（1）关于x 的一元二次方程2(3)(2)x x m --=，
22560x x m ∴-+-=，
∴△22254(6)140m m =--=+>，
∴对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1， 则2(13)(12)m -⨯-=，
22m =，
m =，
原方程变形为2540x x -+=， 设方程的另一个根为a ， 则14a ⨯=， 4a =，
则方程的另一个根为4．。