一般式方程

小结:方程Ax+By+C=0, 只有当A,B不同时为零时, 表示直线.
直线的一般式方程
1. 平面上任何一条直线都可以用二元一次方程表示 2. 所有二元一次方程都表示直线
Ax By C 0
（其中A，B不同时为0）
此方程叫做直线的一般式方程
例1已知直线经过点A(-2,5),斜率为-4/3,求直线 一般式方程。 解:由直线方程的点斜式得: 3 y 5 ( x 2) 4
反过来,方程Ax+By+C=0是否一定代 表直线?
1.若B≠0,方程可变为
A A y B x C , 它是表示直线的斜截式 ，表示斜率为 B ， B
在y轴上截距为 C 的直线。 B
2.若B=0时,方程Ax+C=0 (1)当A≠0时,方程变为 x C 表示垂直于x轴的直线,即 A 斜率不存在的直线. (2)当A=0时,则不表示直线.
直线方程的一般 形式
一、复习回顾
直线方程的四种形式：
第一种：点斜式 第二种：斜截式 第三种：两点式 第四种：截距式
y y1 k ( x x1 )
y kx b
y y1 x x1 x1 x2 , y1 y2 y2 y1 x2 x1
x y 1 a b
k MQ
3 ∴k≥ 2
2 (1) 3 20 2
或 k≤-2
k PM
1 (1) 2 1 0
例2.过点P(2,1)作直线 l 分别交 x，y 正半轴于A、B两点， 当△AOB面积最小时，求直线 l 的方程。
2 1 2 1 a b ∵P(2,1)在直线 l 上， 1 于是 a b 2 a b 2 1 1 当且仅当 时，上式等号成立。 a b 2
即
2 1 时， 最大 a b
x y 1 (a 0, b 0) 2 解：设直线 l 的方程为 a b 2 1
1 4
a 4, b 2 1 x y ∴S△AOB的最小值为 ab 4 此时，直线 l 的方程为 1 2 4 2
x y 1 ∴当△AOB的面积最小时，直线 l 的方程为 4 2
例3、 设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－ a=0(a∈R)． （1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； （2）若 l 不经过第二象限，求实数a的取 值范围．
课堂练习
补充练习： １、若直线ax+by+c=0,在第一、二、三象限， 则： Ａ、ab>0,bc>0 B、ab>0,bc<0 C、ab<0,bc>0 D、ab<0,bc<0 2 、直线x-2y+2k=0与两坐标轴所围成的三角形 面积不大于１，求k的取值范围。

课堂练习

平面内任何一条直线方程 Ａx+By+C=0(A2+B2≠0)
y y1 y 2 y1

取两点 （a,0), (0,b)
x x1 x2 x1
y y1 k ( x x1 ) 斜截式y kx b
2 1
令k x 2 x1
思考：
是否任何一条直线方程都可以写成 AX+BY+C=0的形式?

(1)当倾斜角不为90°时,任何一条直线都可以
写成y=kx+b形式,即kx-y+b=0;
(2)当倾斜角为90°时,任何一条直线都可以写
成x=x1的形式,即1· y+(-x1)=0 x+0·
∴任何一条直线的方程都可以写成 Ax+By+C=0的形式.
y y
取点（0 ,b )化简 Nhomakorabea化简化简
y x 截距式 a b 1 化简 一般式Ax By C 0( A 2 B 2 0)
恒过定点，并求出此定点坐标。
例1.已知点P(-1,1)、Q(2,2)，直线l：y=kx-1 与线段PQ相交，求实数 k 的范围。
解:∵直线l的纵截距为-1,
∴直线过点M(0,-1) ∵l与线段PQ相交,
P(-1,1)
．
2 1 -1
y
L
．
Q(2,2)
1 2 -1 M(0,-1)
．
o
x
∴k ≥ kMQ或k≤kPM
角形面积等于4, 求直线L的一般式方程.
例4、设直线L的方程为
(m 2m 3) x (2m m 1) y 2m 6 0
2 2
根据下列条件，分别确定m的值。 （1）在X轴上的截距为-3。 （2）斜率为-1
例5、求证：不论m取什么值， 直线L： (m 1) x
(2m 1) y m 5
整理,得所求直线的方程为:
3x 4 y 14 0
例2 求直线L：2x-3y+6=0的斜率和它在y轴上 的截距。

解：将原方程移项，得3y=2x+6.两边同除以3，得斜 截式 2
y 3 x 2.
y 因此，直线l的斜率k=2/3,它在y轴上的截距是2。
2
－3
O
x
例3:直线L过点P(-2,3),它与两坐标轴围成的三