河北省石家庄四十三中2024-2025学年高二上学期期中数学试题

河北省石家庄四十三中2024-2025学年高二上学期期中数学试
题
一、单选题
1．若直线经过(1,0),A B 两点，则直线AB 的倾斜角为（）
A ．30︒
B ．60︒
C ．45︒
D ．120︒
2．设,R x y ∈，向量(),1,1a x = ，()1,,1b y = ，()2,4,2c =- 且a c ⊥ ，b c
∥，则a b += （）
A ．3
B
C ．
D ．4
3．已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m =A ．1
±B ．
C ．
D ．2
±4．双曲线22
21(0)12
x y a a -=>的两个焦点分别是1F 和2F ，焦距为8，M 是双曲线上的一点，
且15MF =，则2MF 的值为（）A ．1
B ．4
C ．1或9
D ．9
5．已知抛物线22y px =，过其焦点F 的直线与该抛物线交于A 、B 两点，A 在第一象限，且2AF FB =，则直线AB 的斜率为（）
A ．1B
C ．
D ．无法确定
6．如图所示，点F 是抛物线24y x =的焦点，点,A B 分别在抛物线24y x =及圆
()
2
2116x y -+=的实线部分上运动，且A 总是平行于x 轴，则FAB 的周长的取值范围是
（
）
A ．[]8,10
B ．()5,8
C ．()10,12
D ．()
8,107．已知双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过1F 的
直线l 与圆C ：2
22
124c x c y ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭相切，与双曲线在第四象限交于一点M ，且有2MF x ⊥轴，
则离心率为（）
A ．3
B
C D ．2
8．设抛物线28x y =，直线l 与抛物线交于A 、B 两点且6AB =，则AB 的中点到x 轴的最短距离为（）
A ．
9
8B ．1
C ．
910
D ．2
二、多选题
9．下列利用直线的方向向量、平面的法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（
）
A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()()2,3,1,2,3,1a b =-=
，则12
l l ∥B ．平面α外的直线l 的方向向量为()1,1,2a =-
，平面α的法向量为()6,4,1u =- ，则l α∥C ．两个不同的平面,αβ的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2u v =-=-
，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量()0,3,0a =
，平面α的法向量是()0,5,0u =- ，则l α
∥10．已知直线1l ：230ax y a ++=和直线2l ：()3170x a y a +-+-=，下列说法正确的是（
）
A ．当2
5
a =
时，12l l ⊥B ．当2a =-时，12
l l ∥C ．直线1l 过定点()3,0-，直线2l 过定点()
1,1-
D ．当1l ，2l 11．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左，右两焦点分别是12,F F ，其中12||2F F c =.直线
()():R l y k x c k =+∈与椭圆交于,A B 两点，则下列说法中正确的有（
）
A ．2ABF △的周长为4a
B ．若AB 的中点为M ，则2
2
OM
b k k a
⋅=
C ．若2124AF AF c ⋅= ，则椭圆的离心率的取值范围是65⎣
⎦D ．若1k =时，则2ABF △的面积是
222
22ab c a b +三、填空题
12．已知椭圆22
14x y m
+=的左、右焦点分别为点1F 、2F ，若椭圆上顶点为点B ，且12F BF 为
等边三角形，则m 是
．
13．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，MN 是正方体外接球的直径，P 为正方体表面上的
动点，则PM PN ⋅
的取值范围是
.
14．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线l 过点F 且倾斜角为2π
3
，若抛物线C 上存在点M 与点3,02N ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
关于直线l 对称，则p =
．
四、解答题
15．已知点()1,0A -和点B 关于直线l ：10x y +-=对称．
（1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，求直线1l 的方程；（2）若直线2l 过点A 且与直线l 交于点C ，ABC V 的面积为2，求直线2l 的方程．16．已知圆22:04D C x Ey x y +---=关于直线1y x =+对称，且(4,2)在圆上.(1)求圆C 的标准方程；
(2)若直线()():12120l m x m y m +-+--=与圆C 交于点A ，B ，求ABC V 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.
17．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率e 1P ，2P 分别为其两条渐近线上
的点，若满足1
2PP PP =
的点P 在双曲线上，且12OPP 的面积为8，其中O 为坐标原点．(1)求双曲线C 的方程；
(2)过双曲线C 的右焦点2F 的动直线与双曲线相交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在定点M ，使MA MB ⋅
为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，在四棱锥C ABDE -中，平面ABDE ⊥平面BCD ，24BD AE ==，
DE =BD ED ⊥，BC CD ⊥，//AE BD ．
(1)证明：⊥BC 平面DEC ．(2)若π
3
BDC ∠=
，求点E 到平面ABC 的距离．(3)求直线AC 与平面ABDE 所成角的正弦值的最大值．
19．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为B ，左、右顶点分别为1A 、2A ，左焦
点为1F ，离心率为1
2
．过1F 作垂直于x 轴的直线与C 交于D ，E 两点，且3DE =．
(1)求C 的方程；
(2)若M ，N 是C 上任意两点，
①若点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，点N 位于x 轴下方，直线MN 交x 轴于点G ，设1MA G 和2NA G 的面积分
别为12,S S ，若12223S S -=，求线段MN 的长度；
②若直线MN 与坐标轴不垂直，H 为线段MN 的中点，直线OH 与C 交于P ，Q 两点，已知P ，Q ，M ，N 四点共圆，求MN 的最大值．。