第5讲-最大公因数与最小公倍数.doc

第5讲最大公因数与最小公倍数
第一部分知识梳理
1.公因数和最大公因数的意义
几个数共有的因数，叫作这几个数的公因数；其中最大的一个叫作它们的最大公因数。

2.求公因数和最大公因数的方法
（1）列举法：先分别求出两个数的因数，再找出它们的公因数，然后找出最大的一个
（2）试除法：先找出较小的那个数的因数，从中找出另一个数的因数，再找出最大的一个。

3.约分的含义及方法
含义：把一个分数的分子和分母同时除以它们的公因数，分数的值不变，这个过程叫作约分。

分子和分母只有公因数1的分数，叫作最简分数。

方法：（1）逐次约分法：用分数的分子和分母的公因数（1除外）逐次去除分子和分母，直到得出一个最简分数。

（2）一次约分法：用分数的分子和分母的最大公因数去除分子和分母。

4.公倍数和最小公倍数的意义
几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。

其中最小的一个叫作最小公倍数。

5.求最小公倍数的方法：
（1）列举法：分别写出两个数各自的倍数，再找出它们的公倍数，然后找出最小的一个。

（2）试除法：先找出较大的那个数的倍数，从找出另一个数的倍数，再找出最小的一个。

6.通分的含义方法
（1）含义：把几个分母不同的分数化成同分母且分数值保持不变的分数，这个过程叫作通分。

（2）方法：通分时，用原分母的公倍数作为公分母，通常选用最小公倍数作公分母。

7.比较分数大小的方法
（1）画图比较法（2）通分比较法（3）同分子比较法
第二部分课前热身
一、判断题
1.5和7没有最大的公因数（）
2.分子和分母都是偶数的分数，一定不是最简分数（）
3.分子和分母都是奇数的分数，一定是最简分数（）
4．最简分数的分子一定小于分母（）
5.分子和分母是两个不同的质数时，这个分数一定是最简分数（） 6．分母是8的最简真分数有7个（）
7.3和6的最小公倍数是12（）
8.两个不同自然数的最大公因数一定比最小公倍数小（）
9.两个自然数的乘积一定是这两个自然数的公倍数（）
10.两个数的最小公倍数一定比这两个数大（）
11.两个数的最小公倍数一定是这两数的最大公因数的倍数（）
12.通分时，只能用两个数或几个数分母的最小公倍数作公分母（）
13.通分的依据是分数的基本性质（）
14.两个分数通分后，都比原分数大（）
二、选择题
1.既有公因数2，又有公因数3的一组是（）
A15和6 B 27和28 C12和18 D16和30
2.最大公因数是1的一组是（）
A15和5 B11和12 C 38和20 D100和2
3.甲数是乙数的倍数，甲乙两数的最大公因数是（）
A1 B甲数 C乙数 D 甲乙两数的乘积
4.两个数的最大公因数是1，最小公倍数是35，这两个数分别是（）
A 5和7 B15和20 C 35和5
第三部分精讲点拨
考点一、用列举法和图解法解决复杂的找最大公因数的问题
1．一个长方形，长80dm,宽20dm。

现在把长方形分成若干个正方形，要使正方形的边长尽可能的大，并且长方形的长和宽没有剩余，可以分成多少个正方形？
考点二、用列举法解决找三个数的最大公因数的问题
2.有三根木棍分别长12cm、18cm和30cm，现在要把他们截成相等的小段，每根不许有剩余，每小段最长是多少？一共可以截成多少段？
考点三、用列举法解决复杂的分数问题
3.25
31
的分子和分母同时减去一个数，新的分数约分得
3
4
，减去的数是多少？
考点四、用找公因数法解决复杂分数的约分问题
4.把2005200520052005 2006200620062006
约分
考点五、用转化法解决稍复杂的最小公倍数问题
5.一些小朋友分组做游戏，第一次分组每组4个余下2个，第二次分组每组5个也余下2个，你知道最少有多少个小朋友做游戏？
考点六、用画线段图法解决复杂的植树问题
6.要在小路一侧种106棵梧桐树，相邻两棵树之间的距离原来是9m,现在要改成相邻两棵树之间的距离是15m,有多少棵树不需要移动？
考点七、用“1减”或“减1”的方法解决复杂的分数比较问题
7.比较2004
2005
与
2005
2006
的大小
考点八、用搭桥法解决复杂分数大小比较问题
8.比较分数11
23
和
15
29
的大小
第四部分变式练习
1.如图，街道ABCD在B，C处拐弯，在街道的一侧要等距离的安装路灯，要求在A,B,C,D处各装一盏路灯。

这条街道最少要安装多少盏路灯？
2在一个长30m,宽12m,的长方形池塘的四角和四条边上种树，若相邻两颗树之间的距离相等，最少要种多少棵树？每相邻两棵树之间的距离是多少米？
3把1515151515
2020202020
、
5823
17469
约成最简分数
4.晶晶冲了两杯糖水，第一杯放入10克红糖，60克水。

第二杯放入6克红糖，50克水。

哪杯糖
水更甜一些？
5.五（1）班在上科学实验课，无论把同学分成2人一组，3人一组或5人一组，都正好分完，五（1）班至少有多少人？
6.一排电线杆，原来每两根之间的距离是30m，现在距离要改为45m，如果起点的一根电线杆不移动，至少要隔多远又有一根电线杆不移动？如果这排电线杆共30根，那么有几根不需要移动？
7.比较分数35
38
和
64
67
，
27
53
和
41
83
的大小
8.四个分数2008
2007
，
2007
2008
，
2009
2008
，
2008
2009
，其中最大的数是（），最小的数是（）。

第五部分过关检测
一、填空题：
1．如果自然数A除以自然数B商是17，那么A与B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

2．最小质数与最小合数的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

3．能被5、7、16整除的最小自然数是（）。

4．5和12的最小公倍数减去（）就等于它们的最大公因数。

91和13的最小公倍数是它们最大公因数的（）倍。

5．已知两个互质数的最小公倍数是153，这两个互质数是（）和（）。

6.甲数=2×3×5×7，乙数=2×3×11，甲乙两数的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

7．3个连续自然数的最小公倍数是60，这三个数是（）、（）和（）。

8．被2、3、5除，结果都余1的最小整数是（），最小三位整数是（）。

9．一筐苹果4个4个拿，6个6个拿，或者8个8个拿都正好拿完，这筐苹果最少有（）个。

10．三个连续偶数的和是42，这三个数的最大公因数是（）。

11．三个不同质数的最小公倍数是105，这三个质数是（）、（）和（）。

12．自然数m和n，n= m+1，m和n的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

13．把自然数a与b分解质因数，得到a=2×5×7×m，b=3×5×m ，如果a与b的最小公倍数是2730，那么m = （）。

14．三个数的和是312，这三个数分别能被7、8、9整除，而且商相同。

这三个数分别是（）、（）和（）。

15.已知（A，40）=8，[A，40]=80，那么A=（）。

二、判断题
1．几个数的公倍数是无限的，最小的只有一个．（）
2．两个不同的自然数的最大公因数一定比最小公倍数小．（）
3．如果三个自然数两两互质，它们的最大公因数是1，最小公倍数就是三个数的乘积。

（）
4．如果一个质数与一个合数不是互质数，那么这个合数是这两个数的最小公倍数．（）5．一个数的因数必定小于它的倍数．（）
三、选择题
1．96是16和12的（）
①公倍数②最小公倍数③公因数
2．几个质数的连乘积是（）
①合数②质数③最大公因数④最小公倍数
3．甲是乙的15倍，甲和乙的最小公倍数是（）
①15 ②甲③乙④甲×乙
4．12是24和36的（）
①因数②质因数③最大公因数
5．一个数的最大因数（）它的最小倍数．
①＞②＜③＝
6.成为互质数的两个数（）．
①没有公因数②只有公因数1 ③两个数都是质数④都是质因数
7.下列各数中与18互质的数是（）．
①21 ②40 ③25 ④18
8.下列各组数中，两个数互质的是（）．
①17和51 ②52和91 ③24和25 ④ 11和22
9.甲数的质因数里有1个7，乙数的质因数里没有7，它们的最大公因数的质因数里应该（）．
①有一个7 ②没有7 ③不能确定
10.甲、乙两数的最大公约数是7，甲数的3倍与乙数的5倍的最大公约数（）
①肯定是7 ②肯定不是7 ③不能肯定
四、用短除法求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。

32和24 12和18 72和48
78和39 3、15和20 12、60和18
3、4和5
4、8和16
五、解决下列的问题：
1．有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。

现在要把它们截成同样长的小段。

每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？
2．一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？
3．用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。

若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？
（1）最多可以做多少个花束
（2）每个花束里有几朵红玫瑰花
（3）每个花束里有几朵白玫瑰花
（4）每个花束里最少有几朵花
4．公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。

第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。

三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？
5．某厂加工一种零件要经过三道工序。

第一道工序每个工人每小时可完成3个；第二道工序每个工人每小时可完成12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。

要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？
6．有一行数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，在前100个数中，偶数有多少个？
7．一个长方形的长和宽都是自然数，面积是36平方米，这样的形状不同的长方形共有多少种？
8．一种长方形的地砖，长24厘米，宽16厘米，用这种砖铺一个正方形，至少需多少块砖？
9．一块长方形铁皮,长96厘米,宽80厘米,要把它剪成同样大小的正方形且没有剩余,这种正方形的边长最大是多少?被剪成几块?
10．已知某小学六年级学生超过100人，而不足140人。

将他们按每组12人分组，多3人；按每组8人分，也多3人。

这个学校六年级学生多少？
11．有四个小朋友，他们的年龄一个比一个大一岁，四个人的年龄的乘积是360。

他们中年龄最大是多少岁？
12．汽车站内每隔3分钟发一辆公交车，4分钟发一辆中巴车，1小时共发了几辆汽车？
其中有几辆中巴车？
13.一块长方形铁皮，长96厘米，宽80厘米，要把它剪成同样大小的正方形且没有剩
余，这种正方形的边长最大是多少？被剪成了几块？
14．有一个长80厘米，宽60厘米，高115厘米的长方体储冰容器，往里面装入大小相同的立方体冰块，这个容器最少能装多少数量的冰块？
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。