上海市黄浦区高三数学下学期4月二模考试 理(含解析)(1

上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试卷
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．函数x
x
y -+=11log 2的定义域是 ． 【答案】(1,1)- 【解析】由
1+0111x x x
>-<<-得，所以函数x x
y -+=11log 2
的定义域是(1,1)-。

2．函数x x y 2
2
sin cos -=的最小正周期=T ． 【答案】p
【解析】x x y 2
2
sin cos -=cos2x =，所以22
T π
π=
=。

3．已知全集R U =，集合{}|0,R A x x a x =+≥∈，{}||1|3,R B x x x =-≤∈．若
U ()[2,4]C A B =-I ，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】4a <-
【解析】易知集合{}|0,R A x x a x =+≥∈ {}|x x a =≥-，{}||1|3,R B x x x =-≤∈
{}|24x x =-≤≤．所以{}|u C A x x a =<-，因为U ()[2,4]C A B =-I ，所以4a ->，所以实数a 的取值范围是4a <-。

4．已知等差数列{}*
(N )n a n ∈的公差为3，11-=a ，前n 项和为n S ，则n
n
n S na ∞→lim
的数值
是 ． 【答案】2
【解析】因为等差数列{}*
(N )n a n ∈的公差为3，11-=a ，所以34n a n =-，
23522n S n n =-，所以n n n S na ∞→lim 34lim 23522
n n n →∞-==-。

5
．
函
数
)
1,0(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间
是 ． 【答案】[1,)+?
【解析】若a ＞1，则
若0＜a ＜1，则 当a ＞1时，函数的单调递增区间为[1，+∞）；当0＜a ＜1时，函数的单调递增区间为[1，+∞）， 综上：函数的单调递增区间为[1，+∞），
6．函数)0()(2
≤-=x x x f 的反函数是)(1
x f -，则反函数的解析式是
=-)(1x f ．
【答案】1
()(0)f x x x -=-
-?
【解析】由)0()(2
≤-=x x x f 得x y =--，所以反函数的解析式是
1()(0)f x x x -=-
-?。

7．方程1)34(log 2+=-x x
的解=x ． 【答案】2log 3x =
【解析】因为1)34(log 2+=-x x
，所以1243x x +=-，即()(
)
21230x x
+-=，所以
2322x x ==-或（舍），所以2log 3x =。

8．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边的长度分别为c b a 、、，且ab c b a 32
2
2
=-+， 则=∠C . 【答案】
6
p
【解析】因为ab c b a 32
2
2
=-+，所以由余弦定理得2223
cos 22
a b c C ab +-==，所以
=
∠C 6p。

9．已知i (i 11-=x 是虚数单位，以下同)是关于x 的实系数一元二次方程02
=++b ax x 的一个根，则实数=a ，=b ． 【答案】2,2a b =-=
【解析】因为i (i 11-=x 是虚数单位，以下同)是关于x 的实系数一元二次方程
02=++b ax x 的一个根，所以方程02=++b ax x 的另一个根为1i +，所以
()()()()11,11i i a i i b -++=--+=，所以2,2a b =-=。

10．若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离是3，则这个
球的表面积是 ． 【答案】100p
【解析】因为截面的面积为16π，所以截面圆的半径为4，因为球心O 到平面α的距离为3，所以球的半径为2234+=5，所以球的表面积为4π×52
=100π．
11．(理)已知向量)1,0()4,3(-=-=b a ，，则向量a 在向量b 的方向上的投影
是 ． 【答案】4
【解析】因为)1,0()4,3(-=-=b a ，
，所以4,5,1a b a b ⋅===r r r r
，所以4
cos ,5
a b a b a b ⋅==r r
r r r r ，所以向量a 在向量b 的方向上的投影是cos ,4a a b =r r r 。

12．(理)直线l 的参数方程是12,
(R,2x t t y t
=-+⎧∈⎨
=-⎩t 是参数)，则直线l 的一个方向向量
是 ．(答案不唯一) 【答案】111
(2,1)(0,R)t t t ?刮
【解析】把直线l 的参数方程是12,
(R,2x t t y t
=-+⎧∈⎨
=-⎩t 是参数)化为直角坐标方程为
230x y +-=，所以直线l 的一个方向向量是（2，-1）。

13．(理)某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的8个乒乓球(其中3个是白色球，5个是黄色球)，小李同学从袋中一个一个地摸乒乓球(每次摸出球后不放回)，当摸到的球是黄球时停止摸球．用随机变量ξ表示小李同学首先摸到黄色乒乓球时的摸球次数，则随机变量ξ的数学期望值=ξE ． 【答案】
3
2
【解析】由题意知：ξ=1,2,3,4，又5(1)8P ξ==,3515
(2)8756
P ξ==⨯=，
3255
(3)87656
P ξ==⨯⨯=
，
32151
(1)876556
P ξ==⨯⨯⨯=
，所以
14．已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数. 当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2log 2
0,21)(16
x x x x f x
．
若
关于x 的方程2
[()]()0f x a f x b +⋅+=(R)a b ∈、有且只有7个不同实数根，则(理)实数
a 的取值范围是 ．
【答案】5
24
a -<<- 【解析】由题意，f （x ）在（-∞，-2]和[0，2]上是减函数，在[-2，0]和[2，+∞）上是增函数，∴x=0时，函数取极大值1，x=±2时，取极小值
1
4
，|x|≥16时，f （x ）≥1， ∴关于x 的方程2
[()]()0f x a f x b +⋅+=(R)a b ∈、有且只有7个不同实数根， 设t=f （x ），则方程t 2
+at+b=0必有两个根t 1，t 2，其中t 1=1，t 2∈（
1
4
，1），所以5
24a -<<-。

二．选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．已知R a b ∈、，且0ab ≠，则下列结论恒成立的是 [答] ( )．
A ． ab b a 2≥+
B ．
2≥+a b b a C ．2||≥+a
b
b a D ．222a b ab +> 【答案】C
【解析】A ． ab b a 2≥+只有a,b 为正数时才成立； B ．2≥+a
b
b a 只有a,b 为正数时才成立； C ．2||
≥+a
b
b a 恒成立； D ．222a b ab +>只有a,b 不相等时才成立。

16．已知空间直线l 不在平面α内，则“直线l 上有两个点到平面α的距离相等”是“α||l ”的
[答] ( )．
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．非充分非必要条
件 【答案】B
【解析】若l∥α，则直线l 上有两个点到平面α的距离相等成立，当直线和平面相交时，直线l 上也可能存在两个点到平面α的距离相等，但此时l∥α不成立，所以“直线l 上
有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的必要不充分条件。

17．已知2
2
R,0a b a b ∈+≠、，则直线0=+by ax l ：与圆：02
2=+++by ax y x 的位置关系是
[答]
( )．
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不能确定
【答案】B
【解析】圆心到直线的距离22
22
2212
a b a b d a b a b ⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=
=
++，因为22R,0a b a b ∈+≠、，22
12
r a b =+，所以直线0=+by ax l ：与圆：
022=+++by ax y x 的位置关系是相切。

18．(理)给出下列命题：
(1)已知事件B A 、是互斥事件，若35.0)(,25.0)(==B P A P ，则60.0)(=B A P Y ； (2)已知事件B A 、是互相独立事件，若60.0)(,15.0)(==B P A P ，则51.0)(=B A P (A 表示事件A 的对立事件)； (3)183)1(x
x +
的二项展开式中，共有4个有理项．
则其中真命题的序号是 [答]( )．
A ．(1)、(2)．
B ．(1)、(3)．
C ．(2)、(3)．
D ．(1)、(2)、(3)． 【答案】D
【解析】（1）已知事件A 、B 是互斥事件，若P （A ）=0.25，P （B ）=0.35，则P （A∪B）=P （A ）+P （B ）=0.25+0.35=0.60，故（1）正确．
（2）已知事件A 、B 是互相独立事件，若P （A ）=0.15，P （B ）=0.60，则
51.0)(=B A P =0.85×0.6=0.51，故（2）正确；
（3）由于183)1(x
x +
的二项展开式的通项公式为
，故只有当r=0，6，
12，18时，展开式为有理项，故此二项式共有4个有理项，故（3）正确．
三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
第21题图 A
B
C
O
1C
第19题图
Ａ
Ｃ
1
B
1
A Ｄ
Ｂ
(理)已知直三棱柱111ABC A B C -中，0
190,2,4ACB AC BC AA ∠====，D 是棱
1AA 的中点．如图所示．
(1)求证：1DC ⊥平面BCD ； (2)求二面角A BD C --的大小．
20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知复数12cos i,1isin ,R z x z x x =+=-∈．
(1)求||21z z -的最小值；
(2)设21z z z ⋅=，记z z x f (Im Im )(=表示复数z 的虚部). 将函数)(x f 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得的图像向右平移2
π
个单位长度，得到函数)(x g 的图像. 试求函数)(x g 的解析式．
21．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
某通讯公司需要在三角形地带OAC 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC 内，乙中转站建在区域AOB 内．分界线OB 固定，且OB =(1+百米，边界线AC 始终过点B ，边界线OC OA 、满足
00075,30,45AOC AOB BOC ∠=∠=∠=．
设OA x =(36x ≤≤)百米，OC y =百米.
(1)试将y 表示成x 的函数，并求出函数y 的解析式；
(2)当x 取何值时？整个中转站的占地面积OAC S ∆最小，并求出其面积的最小值．
22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知数列{}n a 满足n n n n n n a a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*
N n ∈)．
(1)求753a a a 、、的值； (2)求12-n a (用含n 的式子表示)；
(3) (理)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S (用含n 的式子表示)．
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
(理)已知点),(y x M 是平面直角坐标系上的一个动点，点M 到直线4=x 的距离等于点M 到点(1,0)D 的距离的2倍．记动点M 的轨迹为曲线C .
(1)求曲线C 的方程； (2)斜率为
21的直线l 与曲线C 交于B A 、两个不同点，若直线l 不过点)2
3
,1(P ，设直线PB PA 、的斜率分别为PB PA k k 、，求PB PA k k +的数值；
(3)试问：是否存在一个定圆N ，与以动点M 为圆心，以MD 为半径的圆相内切？若
存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．
参考答案和评分标准(2014年4月10日)
一、填空题
1．(1,1)-； 8．
6
p ； 2．p ； 9．2,2a b =-= ；
3．4a <- ； 10．100p ； 4．2； 11．(理)4；
5．[1,)+?； 12．(
理)111
(2,1)(0,R)t t t ?刮；
6．1
()0)f x x -=-
?； 13．(理)
32
； 7．2log 3x = ； 14．(理)524
a -<<-． 二、选择题： 15．C 16．B 17．B 18．D 三、解答题
19．本题满分12分．
(理)证明(1)按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点C
(2,0,0)A 、
(0,2,0)B 、(2,0,2)D 、1(2,0,4)A 、1(0,0,4)C ．
于是，1(2,0,2),(2,0,2),(2,2,2)DC DC DB =-=--=--u u u u r u u u r u u u r
． 可算得110,0DC DC DC DB ⋅=⋅=u u u u r u u u r u u u u r u u u r
．
因此，11,DC DC DC DB ⊥⊥． 又DC DB D =I ，
所以，1DC BDC ⊥平面．
(2)设(,,)n x y z =r
是平面ABD 的法向量．
∴0,0.n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 又(2,2,0),(0,0,2)AB AD =-=u u u r u u u r
，
∴220,20.x y z -+=⎧⎨=⎩ 取1y =，可得1,1,0.
x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
即平面ABD 的一个法向量是(1,1,0)n =r ． 由(1)知，1DC u u u u r
是平面DBC 的一个法向量，
记n r 与1DC u u u u r 的夹角为θ，则111cos 2||||
n DC n DC θ⋅==-r u u u u r
r u u u u r ， 23π
θ=．
结合三棱柱可知，二面角A BD C --是锐角， ∴所求二面角A BD C --的大小是
3
π
．
20．本题满分14分
解(1)∵12cos i,1isin ,R z x z x x =+=-∈，
∴12||z z -=
= ∴当sin()14x -
=-π
，即2(Z)4
x k k π
=π-∈时，
12min ||1)z z -==.
(2)∵12z z z =⋅，
∴12sin cos (1sin cos )i z z z x x x x =⋅=++-. ∴1
()1sin cos 1sin 2(R)2
f x x x x x =-=-∈.
将函数)(x f 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后，得到的图
像所对应的函数是11
1sin 2
y x =-
. 把函数11sin 2
y x =-的图像向右平移2π
个单位长度，得到的图像对应的函数是
211sin()22
y x π
=--．
∴11
()1sin()1cos (R)222
g x x x x π=-
-=+∈. 21．本题满分12分．
解(1)结合图形可知，BOC AOB AOC S S S ∆∆∆+=．
于是，
000111
(130(145sin 75222x y xy ++=，
解得(36)2
y x x =
≤≤-．
(2)由(1)知，(36)2
y x x =
≤≤-，
因此，01sin 752AOC
S xy ∆==
14
2)4]42
x x +=
-++-
2≥+(当且仅当4
22
x x -=
-，即4x =时，等号成立)．
答：当400x =米时，整个中转站的占地面积OAC S ∆最小，最小面积是4
(210+⨯平方
米. 12分
22．本题满分18分．
解(1)Q n n n n n n a a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*
N n ∈)，
121132432
5465376(1)0,33,14,313,112,339.
a a a a a a a a a a a a ∴=+-==+==+==+==-==+=
(2)由题知，有*
21213(1)(N )n n n n a a n +--=+-∈．
112123222325121121
21122
5311313(1)3(1)(333)[(1)(1)(1)]
3(1)3(1)n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----------⎫
∴-=+-⎪
-=+-⎪
⎪⇒-=++++-+-++-⎬⎪-=+-⎪
⎪-=+-⎭
M L L ．
∴*213(1)1(N )2n n
n a n ---=
-∈． (理)(3) ∵*213(1)1(N )2n n
n a n ---=
-∈， ∴*23(1)1(N )2
n n
n a n +-=
-∈． ∴21232n
n n a a -+=-．
又1231n n n S a a a a a -=+++++L ，
01当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++++L
1
2
2
(32)(32)(32)n =-+-++-L
233
322
n n =⋅--．
02当n 为奇数时，123421()()()n n n n S a a a a a a a --=+++++++L
111221223(1)(32)(32)(3
2)12n n n ++---=-+-++-+-L 11
223(1)322n n n ++-=---． 综上，有2*11
2
2333,22(N )3(1)3.22n n n n n n S n n n ++⎧⋅--⎪⎪=∈⎨⎪----⎪⎩为偶数为奇数
23．本题满分18分．
(理)解(1)
由题知，有|4|x -= 化简，得曲线C 的方程：22
143x y +=．
(2)∵直线l 的斜率为1
2，且不过3
(1,)2P 点，
∴可设直线l ：1
(1)2y x m m =+≠且． 联立方程组22
1,
431
.
2x y y x m ⎧+=
⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x mx m ++-=．
又交点为1122(,)(,)A x y B x y 、，
∴122
12,
3,02 2.
x x m x x m m +=-
⎧⎪=-⎨⎪∆>⇒-<<⎩． ∴12123
3
2211
PA PB y y k k x x --+=+-- 12121212(2)()23
()1
x x m x x m x x x x +-+-+=-++
0.=
(3)答：一定存在满足题意的定圆N .
理由：∵动圆M 与定圆N 相内切，
∴两圆的圆心之间距离||MN 与其中一个圆的半径之和或差必为定值.
又(1,0)D 恰好是曲线(椭圆)C 的右焦点，且M 是曲线C 上的动点，
记曲线C 的左焦点为(1,0)F -，联想椭圆轨迹定义，有||||4MF MD +=， ∴若定圆的圆心N 与点F 重合，定圆的半径为4时，则定圆N 满足题意. ∴定圆N 的方程为：22
(1)16x y ++=.。