高三七月第二周周考数学(文科)试题(7.20)

湖北省襄阳市襄阳四中
2017届高三七月第二周周考数学（文科）试题（7.20）
时间：120分钟分值150分
第I 卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分） 1．已知复数31i
z ai
-=+是纯虚数，则实数a ＝（） A ．3B ．﹣3C ．
13D ．13
- 2．已知集合{}
{}|2,0,|lg x M y y x N x y x ==>==，则M N ⋂为（） A ．()0,+∞B ．()1,+∞ C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞
3．无穷等比数列{}n a 中，“12a a >”是“数列{}n a 为递减数列”的（）
A ．充分而不必要条件
B ．充分必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
4．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，令边长分别等于线段AC ，CB 的长，
则该矩形面积小于32cm 2
的概率为() A.
23B.13C.16D.45
5．为了解凯里地区的中小学生视力情况，拟从凯里地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到凯里地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（） A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样 C ．按学段分层抽样D ．系统抽样
6．如图为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为（）
A ．20i <=
B ．20i <
C ．20i >=
D ．20i > 7．下列函数是偶函数，且在[]0,1上单调递增的是 A.cos 2y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
B.2
12cos 2y x =-
C.2
y x =- D.()sin y x π=+
8．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx
的定义域和值域相同的是
（A ）y=x （B ）y=lgx （C ）y=2x
（D ）y x =
9．已知函数()sin 26f x x m π⎛⎫
=-
- ⎪⎝
⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有两个零点，则m 的取值范围为（） A ．1,12⎛⎫
⎪⎝⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎛⎫
- ⎪⎝⎭
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）
1
11
2
（A ）822+（B ）1122+C ）1422+D ）15
11．已知二次函数2
()(f x x mx n m =++、)n R ∈的两个零点分别在(0,1)与(1,2)内，则
22(1)(2)m n ++-的取值范围是（）
A ．
B ．
C ．[2,5]
D ．(2,5)
12．平面直角坐标系中，点P 、Q 8
+
=表示的曲线C 上不同两点，且以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，则O 到直线PQ 的距离为（） A ．2B ．65C ．3D ．125
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）
13．已知定义在R 上的偶函数满足：(4)()(2)f x f x f +=+，且当[0,2]x ∈时，()y f x =单调递减，给出以下四个命题： ①(2)0f =；
②4x =-为函数()y f x =图象的一条对称轴； ③()y f x =在[8,10]单调递增；
④若方程()f x m =在[6,2]--上的两根为1x 、2x ，则128.x x +=- 以上命题中所有正确命题的序号为___________．
14．若函数21
()ln 12
f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围 ．
15．有两个等差数列2，6，10，…，190，及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为___________． 16．已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6的正方形，且该四棱椎的体积为96，则点P 到面ABCD 的距离是
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．共70分. 17．（本题12分）在∆ABC 中，记角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，角A 为锐角，设向量
(cos ,sin )m A A =u r (cos ,sin )n A A r
，且12
m n ⋅=u r r ．
（1）求角A 的大小及向量m u r 与n r
的夹角；
（2）若5a =，求∆ABC 面积的最大值．
18．（本题12分）（本小题8分）全国人民代表大会在北京召开，为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了16名男记者和14名女记者担任对外翻译工作．调查发现，男、女记者中分别有10人和6人会俄语．
会俄语 不会俄语 总计 男 女 总计
（2）能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关？ 19．（本题12分）AB 是O e 的直径，点C 是O e 上的动点，过动点C 的直线VC 垂直于O e 所在的平面，,D E 分别是,VA VC 的中点．
（1）试判断直线DE 与平面VBC 的位置关系，并说明理由；
（2）若已知2,AB VC ==当三棱锥V ABC -体积最大时，求点C 到面VBA 的距离．
20．（本题12分）已知抛物线C:27
42+
+=x x y ,过抛物线C 上点M 且与M 处的切线垂直
的直线称为抛物线C 在点M 的法线。

⑴若抛物线C 在点M 的法线的斜率为21
-
，求点M 的坐标()00,y x ；
⑵设P ()a ,2-为C 对称轴上的一点，在C 上是否存在点，使得C 在该点的法线通过点P 。

若有，求出这些点，以及C 在这些点的法线方程；若没有，请说明理由。

21．（本题12分）某商品每件成本5元，售价14元，每星期卖出75件.如果降低价格，销
售量可以增加，且每星期多卖出．．．
的商品件数m 与商品单价的降低值x （单位：元，90<≤x ）的平方成正比，已知商品单价降低1元时，一星期多卖出5件. （1）将一星期的商品销售利润y 表示成x 的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑．
22．（本题10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，ABC ∆的外接圆为
，延长CB 至Q ，再延长QA 至P ，使得
22QC QA BA QC -=⋅．
（1）求证：QA 为
的切线；
（2）若AC 恰好为BAP ∠的平分线，6,12AB AC ==，求QA 的长度． 23．（本题10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为t t y t x (21323
1⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=--=为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)6
sin(4π
θρ-=．
（1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）若),(y x P 是直线与圆面)6
sin(4π
θρ-≤的公共点，求y x +3的取值范围．
24．（本题10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()235f x x x =-+-． （1）求不等式()4f x ≥的解集；
（2）若()f x a <的解集不是空集，求实数a 的取值范围．
参考答案
1．A 【解析】
试题分析：由条件，
()()()()
()2
31313111i ai a a i z ai ai a ----+==+-+，是虚数，所以
2
301a
a -=+，所以3a =，
故选A.
考点：复数的运算与复数的概念. 2．B 【解析】 试题
分析：
{}{}{}{}{}|2,0|1,|lg |0,|1x M y y x y y N x y x x x M N x x ==>=>===>⋂=>，
故选B.
考点：集合的运算. 3．C 【解析】
试题分析：若公比0<q ,尽管12a a >,则数列{}n a 为递减数列不成立；反之,若,则对任意正整数都有1+>n n a a ,则取1=n 也必有12a a >成立,应选C. 考点：充分必要条件． 4．A 【解析】
试题分析：令(),012AC x x =<<,则12CB x =-.矩形面积为()12S x x =-.当
()1232S x x =-<时解得4x <或8x >,即04x <<或812x <<.则所求概率为
(40)(128)2
123
P -+-=
=.故A 正确.
考点：几何概型概率.
5．C 【解析】
试题分析：本题总体是由差异明显的三个学段组成的，因此选择按学段分层抽样． 考点：分层抽样． 6．A
【解析】
试题分析：从所给算法流程的伪代码语言可以看出:当20≤i 时,运算程序仍在继续,当20>i 时,运算程序就结束了,所以应选A. 考点：算法流程的伪代码语言及理解． 7．D 【解析】
试题分析：因为cos =2y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
sin x -是奇函数，所以选项A 不正确； 因为212cos 2y x =-cos 4x =-是偶函数，其单调递增区间是,224k k πππ⎡⎤
+⎢⎥⎣
⎦()k z ∈，所以选项B 不正确；
2y x =-是偶函数，在()0,+∞上单调递减，所以选项C 不正大确；
因为()sin y x π=+sin sin x x =-=是偶函数，且在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以选项D 正确.
考点：1、三角函数的图象和性质；2、三角函数的诱导公式. 8．D 【解析】
试题分析：
lg 10x
y x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ． 【考点】函数的定义域、值域，对数的计算
【名师点睛】对于基本初等函数的定义域、值域问题，应熟记图象，运用数形结合思想求解. 9．B 【解析】
试题分析：因20π
≤
≤x ,故65626ππ
π
≤
-
≤-
x ,由于函数)62sin(π-=x y 在]2,6[ππ-上
单调递增；在]65,2[ππ上单调递减,且21)65()6(==ππf f ,故当12
1
<≤m 时,函数
)(x f y =的图象与直线m y =有两个交点,应选B.
考点：三角函数的图象与性质．
10．B 【解析】
试题分析：根据三视图可知，该几何体为一个直四棱柱，底面是直角梯形，两底边长分别为
1,2，高为，直四棱柱的高为2，所以底面周长为1124++=
的表面积为12
2(421112
+⨯++⨯
⨯=+B ． 考点：1．三视图；2．几何体的表面积．
11．D 【解析】
试题分析：由题意得(0)0(1)0(2)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即01+n 0240n m m n >⎧⎪
+<⎨⎪++>⎩,画出可行域如图ABC ∆,不包含边界，
22(1)(2)m n ++-的几何意义为：可行域内的点到点（-1，2）的距离的平方，故取值范围
是(2,5).
考点：一元二次方程根的分布及线性规划 12．D 【解析】
试题分析：由题设可得8)7()7(2
2
2
2
=++++-y x y x ,注意到728>,由椭圆的定义可知动点),(y x M 的轨迹C 是以)0,7(),0,7(21F F -焦点,长轴长为8的椭圆,所
以其标准方程为
19
162
2=+y x .因为Q P ,是椭圆上点,且以PQ 为直径的圆过坐标原点O ,所以OQ OP ⊥,设))2
sin(),2
cos((),sin ,cos (2211π
θπ
θθθ±
±
r r Q r r P ,将这两点坐标代
入
19162
2=+y x 可得9sin 16cos 1222
1θθ+=r ,
9cos 16sin 1222
2θ
θ+
=r ,所以
9
1
161112221+
=+r r .即9162522212221⨯=+r r r r 也即125212221=+r r r r ,设原点O 到直线PQ 的距离
为d ,则d r r r r ⋅+
=222121,即5
12
2
22121=
+=
r r r r d ,应选D. 考点：椭圆的标准方程和参数方程．
【易错点晴】本题以方程的形式为背景考查的是圆锥曲线的几何性质与运用.解答本题的难点是如何建立两个动点Q P ,的坐标的形式,将两点之间的距离表示出来,以便求坐标原点到这条直线的距离.解答时充分利用题设条件,先运用椭圆的定义将其标准方程求出来,再将两动点Q P ,的坐标巧妙地设为))2
sin(),2
cos((),sin ,cos (2211π
θπ
θθθ±
±
r r Q r r P ,这也是
解答本题的关键之所在.进而将这两点的坐标代入椭圆的方程并进行化简求得OQ OP ,的长
度之间的关系12
5
2
12221=
+r r r r .最后运用等积法求出了坐标原点O 到直线PQ 的距离. 13．①②④ 【解析】
试题分析：∵()f x 是定义在R 上的偶函数，∴()()f x f x -=，可得(2)(2)f f -=，在(4)()(2)f x f x f +=+中，令2x =-，得(2)(2)(2)f f f =-+，∴(2)(2)0f f -==， ∴(4)()f x f x +=，∴函数()f x 是周期为4的周期函数，又当[0,2]x ∈时，()y f x =单调递减，结合函数的奇偶性画出函数()f x 的简图，如图所示，从图中可以得出； ②4x =-为函数()y f x =图象的一条对称轴； ③函数()y f x =在[8,10]单调递减；
④若方程()f x m =在[6,2]--上的两根为12,x x ，则128x x +=-， 故答案为：①②④．
考点：命题的真假判断与应用、函数单调性的判断与证明；函数奇偶性．
14．)2
3,1[ 【解析】
试题分析：函数的定义域为),0(+∞，令0214212)(2=-=-='x x x x x f 解得21=x 或2
1
-
=x （不在定义域内舍），所以要使函数在子区间（a-1，a+1）内存在极值等价于
),0()1,1(21+∞⊂+-∈a a 即⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
>+<-≥-21121101a a a ，解得231<≤a ，答案为)23,1[．
考点：导数与极值 15．1472
【解析】
试题分析：因数列190,,10,6,2⋅⋅⋅的首项为2公差为4,故通项为)1(42-+=n a n ;因数列
200,,14,8,2⋅⋅⋅的首项为2公差为6,故)1(62-+=m b n ,由题设可得3
1
2+=
n m ,故31,,5,3,1⋅⋅⋅=m ,即数列200,,14,8,2⋅⋅⋅中的奇数项构成新的数列,首项为2公差为12,等差
数列,其和为1472122
15
16162=⨯⨯+
⨯=S . 考点：等差数列的定义和通项公式．
【易错点晴】数列的本质是将数按一定的顺序进行排列,本题考查的是将两个数列中的相同项进行从新组合而得一个新的数列,求的问题是这个新数列的各项之和.求解时是探求两个数列的项数m n ,之间的关系.探求出其关系是3
1
2+=
n m 后,再对正整数m n ,进行取值,从而探究求出新数列中的新数的特征是第二个数列中的所有奇数项所组成的.于是运用等差数列的求和公式求出这个数列的各项之和. 16．8 【解析】
试题分析：由体积公式13V Sh =得1
963683
h h =⨯∴=，点P 到面ABCD 的距离是8 考点：棱锥体积
17．（1）6A π
=，,3
m n π
<>=u r r ；（2
【解析】
试题分析：（1）由数量积的坐标表示得221
cos sin cos 22
m n A A A ⋅=-==u r r ，根据
02
A π
<<
，求A ；（2）三角形ABC 中，知道一边a =和对角6
A π
=
，利用余弦定理得
关于,b c 的等式，利用基本不等式和三角形面积公式1
sin 2
S bc A =
得∆ABC 面积的最大值． 试题解析：（1）221
cos sin cos 22
m n A A A ⋅=-==u r r
因为角A 为锐角，所以23A π
=
，6
A π
=
根据1||||cos ,2
m n m n m n ⋅=⋅⋅<>=u r r u r u u r u u r u u u r
,3
m n π<>=u r r
(2)因为a =，6
A π
=
2
2
2cos
6
bc b c π
=+-得：5(2bc ≤+
1sin 2S bc A =≤
即ABC ∆考点：1、平面向量数量积运算；2、余弦定理和三角形面积公式． 18．详见解析 【解析】 试题分析：（1）根据要求填入数字；（2）首先根据所给公式，代入22⨯列联表中的数字，计算2
K ,然后对照表，找到1.0下的数字706.2，比较2k 与706.2的大小，如果大于就是能认为有关，如果小于则不能认为有关.
（2）解：假设：是否会俄语与性别无关.由已知数据可求得
所以在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断会俄语与性别有关 考点：1.独立性检验；2.22⨯.列联表
19．（1）证明见解析；（2）
55
2
. 【解析】 试题分析：（1）运用线面垂直的判定定理推证；（2）借助题设条件和基本不等式等知识求解. 试题解析:
（1）证明：∵,VC AC AC BC ⊥⊥， ∴AC ⊥面VBC ，
∵E D 、分别为VA VC 、中点， ∴//DE AC ， ∴DE ⊥面VBC ．
（说明：若只说明DE 与面VBC 相交给2分） （2）设,AC b BC b ==，则224a b +=，
111
2323V ab ab =⋅⋅=，
∴()22112
323
V a b ≤⋅+=当且仅当a b ==时取等号
∴体积最大时AC BC ==
AV BV ==VAB ∆
设所求的距离为d ，由等体积法知3
V d S =
= 考点：空间直线与平面的垂直关系及点面距离的计算．
【易错点晴】立体几何是高中数学的重要内容之一,也历届高考必考的题型之一.本题考查是空间的直线与平面的垂直问题和点与平面的距离的计算问题.解答时第一问充分借助已知条件与判定定理,探寻直线DE 与AC 平行,再推证DE 与平面VBC 垂直即可.关于第二问中的最值问题,解答时巧妙运用基本不等式,探求出三棱锥ABC V -的体积取得最大值时成立的条件,然后运用等积法求出点C 到平面VAB 的距离. 20．
（1）（1-，21
）
（2）略
【解析】解：
⑴函数
27
42+
+=x x y 的导数42/
+=x y ，点()00,y x 处切线的斜率k0=420+x
.∵过点()00,y x 的法线斜率为21-
，∴21-（420
+x ）=1-，解得10-=x ，21
0=y 。

故点M 的坐标为（1-，21
）。

⑵设M
()00,y x 为C 上一点，
若20
-=x ，则C 上点M ⎪
⎭⎫ ⎝⎛
--21,2处的切线斜率k=0, 过点M
⎪
⎭⎫ ⎝⎛
--21,2的法线方程为2-=x ，次法线过点P ()a ,2-; 若
20-≠x ，则过点M ()00,y x 的法线方程为：
()000421
x x x y y -+-
=-。

若法线过点P ()a ,2-，则
()0002421
x x y a --+-
=-，即
()a x =+2
02。

若0>a ，则a x ±-=20，从而
21
20-=
a y ，
代入得0222=-++a a y a x ，0222=++-a a y a x 。

若0=a ，与20
-≠x 矛盾，若0<a ，则无解。

综上，当0>a 时，在C 上有三点（a +-2，212-a ），（a --2，21
2-a ）及⎪
⎭⎫ ⎝⎛--21,2，
在该点的法线通过点P ，
法线方程分别为0222=-++a a y a x ，0222=++-a a y a x ，2
-=x 。

当0≤a 时，在C 上有一点⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
--21,2，在该点的法线通过点P ，法线方程为2-=x 。

21．（1）32
54575675y x x x ∴=-+-+)90(<≤x ；（2）当5=x 即商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大800max =y .
【解析】
试题分析：（1）先写出多卖的商品数，则可计算出商品在一个星期的获利数，再依题意：“商品单价降低1元时，一星期多卖出5件”求出比例系数，即可得一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；（2）根据（1）中得到的函数，利用导数研究其极值，也就是求出函数的极大值，从而得出定价为多少元时，能使一个星期的商品销售利润最大. 试题解析：（1）依题意，设2kx m =，由已知有215⋅=k ，从而5=k
25x m =∴3分
)575)(514(2x x y +--=∴
6757545523+-+-=x x x )90(<≤x 7分
（2）)5)(1(157590152
---=-+-='x x x x y Θ9分
由0>'y 得51<<x ，由0<'y 得10<≤x 或95<<x 可知函数y 在[)1,0上递减，在()5,1递增，在()9,5上递减11分 从而函数y 取得最大值的可能位置为0=x 或是5=x
675)0(=y Θ，800)5(=y ∴当5=x 时，800max =y 13分
答：商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大14分. 考点：1.函数模型及其应用；2.导数的实际应用.
22．（1）证明见解析；（2）8. 【解析】 试题分析：（1）运用相似三角形和圆幂定理推证；（2）借助题设条件和圆幂定理求解. 试题解析:
（1）证明：∵2
2
QC QA BC QC -=⋅， ∴()2
QC QC BC QA -=，即2
QC QB QA ⋅=，
于是
QC QA
QA QB
=， ∴QCA QAB ∆∆:， ∴QAB QCA ∠=∠，
根据弦切角定理的逆定理可得QA 为的切线．
（2）∵QA 为
的切线，
∴PAC ABC ∠=∠，而AC 恰好为BAP ∠的平分线， ∴BAC ABC ∠=∠，于是12AC BC ==， ∴2
2
12QC QA QC -=，①
又由QCA QAB ∆∆:得::12:6QC QA AC AB ==，② 联合①②消掉QC ，得8QA =． 考点：圆中的有关定理及运用．
23．（1）032222=-++y x y x ；（2）[2,2]-． 【解析】
试题分析：（1）根据θρcos =x ，θρsin =y ，再对极坐标方程作三角恒等变形，即可得
到直角坐标方程；（2）利用直线的参数方程⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 21323
1
可得到z y t =+=-，再根据直线过圆心，圆的半径是2，即可求解的范围．
试题解析：（1）∵圆C 的极坐标方程为)6
sin(4π
θρ-
=，∴
)cos 2
1
sin 2
3(4)6
sin(42θθρπθρρ-=-=，
又∵2
2
2
y x +=ρ，θρcos =x ，θρsin =y ，∴x y y x 23222-=+， ∴圆C 的普通方程为032222=-++y x y x ；（2）设y x z +=
3，
故圆C 的方程4)3()1(03222222=-++⇒=-++y x y x y x ，
∴圆C 的圆心是)3,1(-，半径是2，将⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=--=t y t x 21323
1代入y x z +=3得t z -=， 又∵直线过)3,1(-C ，圆C 的半径是2，∴22≤≤-t ，∴22≤-≤-t ，即y x +3的取值范围是]2,2[-．
考点：1．极坐标方程与直角方程的相互转化；2．直线的参数方程． 24．（1）4|53x x x ⎧
⎫
≥≤
⎨⎬⎩
⎭
或；
（2）72a >. 【解析】
试题分析：（1）运用分类整合的方法去掉绝对值求解；（2）借助题设条件和不等式恒成立的等价条件求解.
试题解析:
（1）由题意：()38,532,52383,2
x x f x x x x x ⎧
⎪-≥⎪
⎪
=+<<⎨⎪
⎪
-≤⎪⎩．①
∴()4f x ≥解得：5x ≥或4
3
x ≤
， 所以不等式的解集为：4|53x x x ⎧⎫≥≤⎨⎬⎩
⎭
或． （2）由题意：()min a f x >， 由（1）式可知：5x ≥时，()37,
52f x x ≥<<时()72f x >，3
2
x ≤时，()72f x ≥，
∴()min 7
2
f x =
∴a 的范围为：72
a >
． 考点：绝对值不等式及有关知识的运用．。