吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

2023-2024学年上学期东北师大附中（数学）科试卷
高（二）年级期末考试
注意事项：
1．答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.直线1:10l ax y ++=与直线()2:2320l x a y +-+=平行，则a 的值为（
）A.2
- B.1
- C.1
D.2
2.据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是“宫”不为末音节，“羽”不为首音节，可以排成不同音序的种数是（）A.36
B.60
C.72
D.78
3.已知点()5,0A ，点B 在圆22(1)4x y -+=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是（）
A.22680x y x +-+=
B.22650x y x +-+=
C.22680
x y x +++= D.22650
x y x +++=4.已知直线0ax y +=是双曲线2221(0)4
x y
a a -=>的一条渐近线，则该双曲线的半焦距为（
）
A.
B.
C. D.5.将4名志愿者分别安排到,,A B C 三个社区进行社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，每名志愿者只能去一个社区，若志愿者甲必须安排到A 社区，不同的安排方法有（）种A.6
B.9
C.12
D.36
6.已知B 是椭圆2
213
x y +=的上顶点，点M 是椭圆上的任意一点，则MB 的最大值为（
）
A.2
B. C.
32
2 D.
92
7.一枚硬币掷三次，已知一次正面朝上，那么另外两次都是反面朝上的概率为（）
A
.17
B.
37
C.18
D.
38
8.已知抛物线2:8E x y =，直线:360l ax y a +--=，过抛物线的焦点F 作直线l 的垂线，垂足为P ，若点Q 是拋物线E 上的动点，则FQ PQ +的最小值为（）
A.3
B.4
C.
72 D.
172
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.3名男生和3名女生站成一排，则下列结论中正确的有（）
A.3名男生必须相邻的排法有144种
B.3名男生互不相邻的排法有72种
C.甲在乙的左边的排法有360种
D.甲、乙中间恰好有2人的排法有144种
10.二项式6
1)x
-的展开式中（
）
A.前三项的系数之和为22
B.二项式系数最大的项是第4项
C.常数项为15
D.所有项的系数之和为64
11.盒子中有12个乒乓球，其中8个白球4个黄球，白球中有6个正品2个次品，黄球中有3个正品1个次品．依次不放回取出两个球，记事件=i A “第i 次取球，取到白球”，事件i B =“第i 次取球，取到正品”，
1,2i =．则下列结论正确的是（
）
A.()
1123P A B = B.()212
P B =
C.()2113
P A B =
D.()
2134
P B A =
12.设12,F F 分别是双曲线22214x y b
-=的左右焦点，过2F 的直线与双曲线的右支交于,A B 两点，12AF F △的内心为I ，则下列结论正确的是（
）
A.若
1ABF 为正三角形，则双曲线的离心率为B.若直线OA 交双曲线的左支于点D ，则1//F D AB C.若1,F H AI H ⊥为垂足，则2OH =D.12AF F △的内心I 一定在直线4x =上
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.某人忘记了他在一个网络平台的账户密码，
而平台只允许试错三次，如果三次都试错，则账户就会锁定，无法继续试验．假设该用户每次能试中的概率为0.1，记试验的次数为X ，则()3P X ==______．14.已知抛物线2:8E y x =，焦点为,F A 在抛物线上，B 在y 轴上，且2=
FA AB ，则AF =______．15.某商店成箱出售玻璃杯，每箱装有10只．假设在各箱中有0，1，2只残次品的概率依次为0.6，0.25，0.15，顾客随机取出一箱，并从中取出4只查看，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回．则顾客买下该箱玻璃杯的概率为______．
16.已知12,F F 分别为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点，B 为椭圆C 的下顶点，直线1BF 交椭圆C
于另一点P ，且260PF B ︒
∠=，则椭圆C 的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．
17.已知(2)n x +展开式中的第三项和第四项的二项式系数相等，且2012(2)+=++++ n n n x a a x a x a x ．（1）求01a a +的值；
（2）求0123(1)111
2482
n n n
a a a a a --+-++ 的值．18.ABC 的顶点()()1,0,2,0,A B ABC -△的垂心（三条高交点）为()1,1H ．（1）求顶点C 的坐标；（2）求ABC 的外接圆方程．
19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，1
,2
AB AP AD ==E ，F 分别是,AP BC 的中点．
（1）求证：//EF 平面PCD ；
（2）求平面CDE 与平面FDE 夹角的余弦值．
20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>，点()1,1M -到焦点F ，直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，设直线,MA MB 斜率分别为12,k k ．（1）求p ；
（2）若121k k +=-，证明直线l 过定点，并求出满足条件的定点坐标．
21.某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为211,,323
，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为2
3，第二次
抽中选择继续抽奖的概率为
1
4
，且每次是否抽中互不影响．（1）求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；
（2）设小李所得奖金总数为随机变量X ，求X 的分布列．
22.已知O 为坐标原点，双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>()2,2．
（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）圆224x y +=的切线l 与双曲线C 相交于,A B 两点．（ⅰ）证明：OA OB ⊥；（ⅱ）求OAB 面积的最小值．
2023-2024学年上学期
东北师大附中（数学）科试卷
高（二）年级期末考试
注意事项：
1．答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】C
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．【9题答案】
【答案】ACD
【10题答案】
【答案】BC
【11题答案】
【答案】AD
【12题答案】
【答案】ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
【13题答案】
【答案】0.81##81 100
【14题答案】
【答案】8 3
【15题答案】
【答案】4
5##
0.8
【16题答案】
【答案】
7
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．【17题答案】
【答案】（1）112
（2）243 32
【18题答案】【答案】（1）()
1,2
（2）
22
115
222 x y
⎛⎫⎛⎫
-+-= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
【19题答案】
【答案】（1）证明过程见详解；
（2）
6
【20题答案】
【答案】（1）2
p=
（2）证明见解析，定点坐标()
1,0【21题答案】
【答案】（1）7 27
（2）答案见解析【22题答案】
【答案】（1）
22
1 24
x y
-=
（2）（ⅰ）证明过程见解析；（ⅱ）4。